2017年荆州市中考数学试卷及答案解析

2017 年湖北省荆州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题只有唯一正确答案，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列实数中最大的数是（ ） A．3 B．0 C． D．﹣4 2．中国企业 2016 年已经在“一带一路”沿线国家建立了 56 个经贸合作区，直接 为东道国增加了 180 000 个就业岗位．将 180 000 用科学记数法表示应为（ ） A．18×104 B．1.8×105 C．1.8×106 D．18×105 3．一把直尺和一块三角板 ABC（含 30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边 与三角板的两直角边分别交于点 D、点 E，另一边与三角板的两直角边分别交于 点 F、点 A，且∠CDE=40°，那么∠BAF 的大小为（ ） A．40° B．45° C．50° D．10° 4．为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽 样调查，结果如下表： 户外活动的时间（小 时） 1 2 3 6 学生人数（人） 2 2 4 2 则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ） A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、3 5．下列根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则 ∠CBD 的度数为（ ） A．30° B．45° C．50° D．75° 7．为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张 卡售价 20 元，凭卡购书可享受 8 折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠 卡再凭卡付款，结果节省了 10 元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付 款多少元？（ ） A．140 元 B．150 元 C．160 元 D．200 元 8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问 折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10 尺），一阵风将竹子折断， 其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设 折断处离地面的高度为 x 尺，则可列方程为（ ） A．x2﹣6=（10﹣x）2 B．x2﹣62=（10﹣x）2 C．x2+6=（10﹣x）2 D ． x2+62= （10﹣x）2 9．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ） A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 10．规定：如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其 中一个根是另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程 x2+2x﹣8=0 是倍根方程； ②若关于 x 的方程 x2+ax+2=0 是倍根方程，则 a=±3； ③若关于 x 的方程 ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线 y=ax2﹣6ax+c 与 x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m，n）在反比例函数 y= 的图象上，则关于 x 的方程 mx2+5x+n=0 是倍 根方程． 上述结论中正确的有（ ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．化简（π﹣3.14）0+|1﹣2 |﹣ +（ ）﹣1 的结果是 ． 12．若单项式﹣5x4y2m+n 与 2017xm ﹣ ny2 是同类项，则 m﹣7n 的算术平方根 是 ． 13．若关于 x 的分式方程 =2 的解为负数，则 k 的取值范围为 ． 14．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 9 个图形中共有 个点． 15．将直线 y=x+b 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度，点 A（﹣1，2）关于 y 轴的对 称点落在平移后的直线上，则 b 的值为 ． 16．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，且四边形 OABC 是菱形．若点 D 是圆上异 于 A、B、C 的另一点，则∠ADC 的度数是 ． 17．如图，在 5×5 的正方形网格中有一条线段 AB，点 A 与点 B 均在格点上．请 在这个网格中作线段 AB 的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直 尺中的直角；②保留必要的作图痕迹． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴的负半轴、 y 轴的正半轴上，点 B 在第二象限．将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使点 B 落 在 y 轴上，得到矩形 ODEF，BC 与 OD 相交于点 M．若经过点 M 的反比例函数 y= （x＜0）的图象交 AB 于点 N，S 矩形 OABC=32，tan∠DOE= ，则 BN 的长为 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．（1）解方程组： （2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中 x=2． 20．如图，在矩形 ABCD 中，连接对角线 AC、BD，将△ABC 沿 BC 方向平移，使 点 B 移到点 C，得到△DCE． （1）求证：△ACD≌△EDC； （2）请探究△BDE 的形状，并说明理由． 21．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行 测试，然后把测试结果分为 4 个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅 不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题： （1）补全条形统计图 （2）该年级共有 700 人，估计该年级足球测试成绩为 D 等的人数为 人； （3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四 个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方 法，求恰好选到甲、乙两个班的概率． 22．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度，沿旗杆正前方 2 米处 的点 C 出发，沿斜面坡度 i=1： 的斜坡 CD 前进 4 米到达点 D，在点 D 处安置 测角仪，测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°，量得仪器的高 DE 为 1.5 米．已知 A、B、 C、D、E 在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆 AB 的高度．（参考数据：sin37° ≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ．计算结果保留根号） 23．已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中 k 为常数． （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）已知函数 y=x2+（k﹣5）x+1﹣k 的图象不经过第三象限，求 k 的取值范围； （3）若原方程的一个根大于 3，另一个根小于 3，求 k 的最大整数值． 24．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元， 在整个销售旺季的 80 天里，销售单价 p（元/千克）与时间第 t（天）之间的函 数关系为： ，日销售量 y（千克）与时间第 t（天）之间 的函数关系如图所示： （1）求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于 2400 元？ （4）在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 千克小龙虾，就捐赠 m （m＜7）元给村里的特困户．在这前 40 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随 时间 t 的增大而增大，求 m 的取值范围． 25．如图在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 点 P、Q 同时从点 A 出发，运动时间为 t 秒．其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为 每秒 4 个单位长度，点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位长度．以点 Q 为圆心，PQ 长为半径作⊙Q． （1）求证：直线 AB 是⊙Q 的切线； （2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m，0），作直线 AB 的垂线 CM，垂足为 M．若 CM 与⊙Q 相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值 范围）； （3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、CM、y 轴与⊙Q 同时相切？ 若存在，请直接写出此时点 C 的坐标；若不存在，请说明理由． 2017 年湖北省荆州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题只有唯一正确答案，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列实数中最大的数是（ ） A．3 B．0 C． D．﹣4 【考点】2A：实数大小比较． 【分析】将各数按照从大到小顺序排列，找出最大数即可． 【解答】解：各数排列得：3＞ ＞0＞﹣4， 则实数找最大的数是 3， 故选 A 2．中国企业 2016 年已经在“一带一路”沿线国家建立了 56 个经贸合作区，直接 为东道国增加了 180 000 个就业岗位．将 180 000 用科学记数法表示应为（ ） A．18×104 B．1.8×105 C．1.8×106 D．18×105 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10， n 为整数，据此判断即可． 【解答】解：180000=1.8×105． 故选：B． 3．一把直尺和一块三角板 ABC（含 30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边 与三角板的两直角边分别交于点 D、点 E，另一边与三角板的两直角边分别交于 点 F、点 A，且∠CDE=40°，那么∠BAF 的大小为（ ） A．40° B．45° C．50° D．10° 【考点】JA：平行线的性质． 【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据 DE∥AF，即可得到∠CAF=50°， 最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF 的大小． 【解答】解：由图可得，∠CDE=40°，∠C=90°， ∴∠CED=50°， 又∵DE∥AF， ∴∠CAF=50°， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAF=60°﹣50°=10°， 故选：D． 4．为了解某班学生双休户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽 样调查，结果如下表： 户外活动的时间（小 时） 1 2 3 6 学生人数（人） 2 2 4 2 则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ） A．3、3、3 B．6、2、3 C．3、3、2 D．3、2、3 【考点】W5：众数；W2：加权平均数；W4：中位数． 【分析】根据中位数、平均数和众数的概念求解即可． 【解答】解：∵共 10 人， ∴中位数为第 5 和第 6 人的平均数， ∴中位数=（3+3）÷3=5； 平均数=（1×2+2×2+3×4+6×2）÷10=3； 众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为 3； 故选 A． 5．下列根式是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【考点】74：最简二次根式． 【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或 因式，可得答案． 【解答】解：A、该二次根式的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本 选项错误； B、该二次根式的被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误； C、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确； D、20=22×5，该二次根式的被开方数中含开的尽的因数，不是最简二次根式， 故本选项错误； 故选：C． 6．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，AB 的垂直平分线 l 交 AC 于点 D，则 ∠CBD 的度数为（ ） A．30° B．45° C．50° D．75° 【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质． 【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠C，再根据线段垂直平分线的性质， 推得∠A=∠ABD=30°，由外角的性质求出∠BDC 的度数，从而得出∠CBD=45°． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°， ∵AB 的垂直平分线交 AC 于 D， ∴AD=BD， ∴∠A=∠ABD=30°， ∴∠BDC=60°， ∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°． 故选 B． 7．为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张 卡售价 20 元，凭卡购书可享受 8 折优惠．小慧同学到该书店购书，她先买优惠 卡再凭卡付款，结果节省了 10 元．若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付 款多少元？（ ） A．140 元 B．150 元 C．160 元 D．200 元 【考点】8A：一元一次方程的应用． 【分析】此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币 10 元”， 设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解． 【解答】解：设李明同 学此次购书的总价值是人民币是 x 元， 则有：20+0.8x=x﹣10 解得：x=150 即：小慧同学不凭卡购书的书价为 150 元． 故选：B． 8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问 折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10 尺），一阵风将竹子折断， 其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部 6 尺远，问折断处离地面的高度是多少？设 折断处离地面的高度为 x 尺，则可列方程为（ ） A．x2﹣6=（10﹣x）2 B．x2﹣62=（10﹣x）2 C．x2+6=（10﹣x）2 D ． x2+62= （10﹣x）2 【考点】KU：勾股定理的应用． 【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为 x 尺，再利用勾股定理列 出方程即可． 【解答】解：如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，则 AB=10﹣x，BC=6， 在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2，即 x2+62=（10﹣x）2． 故选 D． 9．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（ ） A．800π+1200 B．160π+1700 C．3200π+1200 D．800π+3000 【考点】U3：由三视图判断几何体． 【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组 成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可． 【解答】解：由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成， 圆柱底面直径为 20，高为 8，长方体的长为 30，宽为 20，高为 5， 故该几何体的体积为：π×102×8+30×20×5=800π+3000， 故选：D． 10．规定：如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其 中一个根是另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程 x2+2x﹣8=0 是倍根方程； ②若关于 x 的方程 x2+ax+2=0 是倍根方程，则 a=±3； ③若关于 x 的方程 ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线 y=ax2﹣6ax+c 与 x 轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）； ④若点（m，n）在反比例函数 y= 的图象上，则关于 x 的方程 mx2+5x+n=0 是倍 根方程． 上述结论中正确的有（ ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；AA：根的判别式；AB：根与系 数的关系；HA：抛物线与 x 轴的交点． 【分析】①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断； ②设 x2=2x1，得到 x1•x2=2x12=2，得到当 x1=1 时，x2=2，当 x1=﹣1 时，x2=﹣2， 于是得到结论； ③根据“倍根方程”的定义即可得到结论； ④若点（m，n）在反比例函数 y= 的图象上，得到 mn=4，然后解方程 mx2+5x+n=0 即可得到正确的结论； 【解答】解：①由 x2﹣2x﹣8=0，得 （x﹣4）（x+2）=0， 解得 x1=4，x2=﹣2， ∵x1≠2x2，或 x2≠2x1， ∴方程 x2﹣2x﹣8=0 不是倍根方程． 故①错误； ②关于 x 的方程 x2+ax+2=0 是倍根方程， ∴设 x2=2x1， ∴x1•x2=2x12=2， ∴x1=±1， 当 x1=1 时，x2=2， 当 x1=﹣1 时，x2=﹣2， ∴x1+x2=﹣a=±3， ∴a=±3，故②正确； ③关于 x 的方程 ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程， ∴x2=2x1， ∵抛物线 y=ax2﹣6ax+c 的对称轴是直线 x=3， ∴抛物线 y=ax2﹣6ax+c 与 x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0）， 故③正确； ④∵点（m，n）在反比例函数 y= 的图象上， ∴mn=4， 解 mx2+5x+n=0 得 x1=﹣ ，x2=﹣ ， ∴x2=4x1， ∴关于 x 的方程 mx2+5x+n=0 不是倍根方程； 故选 C． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．化简（π﹣3.14）0+|1﹣2 |﹣ +（ ）﹣1 的结果是 2 ． 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂． 【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义化简，计算 即可得到结果． 【解答】解：原式=1+2 ﹣1﹣2 +2=2， 故答案为：2 12．若单项式﹣5x4y2m+n 与 2017xm﹣ ny2 是同类项，则 m﹣7n 的算术平方根是 4 ． 【考点】22：算术平方根；34：同类项；98：解二元一次方程组． 【分析】根据同类项定义可以得到关于 m、n 的二元一次方程，即可求得 m、n 的值即可解题． 【解答】解：∵单项式﹣5x4y2m+n 与 2017xm﹣ny2 是同类项， ∴4=m﹣n，2m+n=2， 解得：m=2，n=﹣2， ∴m﹣7n=16， ∴m﹣7n 的算术平方根= =4， 故答案为 4． 13．若关于 x 的分式方程 =2 的解为负数，则 k 的取值范围为 k＜3 且 k≠ 1 ． 【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数 确定出 k 的范围即可． 【解答】解：去分母得：k﹣1=2x+2， 解得：x= ， 由分式方程的解为负数，得到 ＜0，且 x+1≠0，即 ≠﹣1， 解得：k＜3 且 k≠1， 故答案为：k＜3 且 k≠1 14．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 9 个图形中共有 135 个点． 【考点】38：规律型：图形的变化类． 【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入 9 求解即可． 【解答】解：第一个图形有 3=3×1=3 个点， 第二个图形有 3+6=3×（1+2）=9 个点； 第三个图形有 3+6+9=3×（1+2+3）=18 个点； … 第 n 个图形有 3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）= 个点； 当 n=9 时， =135 个点， 故答案为：135． 15．将直线 y=x+b 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度，点 A（﹣1，2）关于 y 轴的对 称点落在平移后的直线上，则 b 的值为 4 ． 【考点】F9：一次函数图象与几何变换． 【分析】先根据一次函数平移规律得出直线 y=x+b 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度 后的直线解析式，再把点 A（﹣1，2）关于 y 轴的对称点（1，2）代入，即可求 出 b 的值． 【解答】解：将直线 y=x+b 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度，得直线 y=x+b﹣3． ∵点 A（﹣1，2）关于 y 轴的对称点是（1，2）， ∴把点（1，2）代入 y=x+b﹣3，得 1+b﹣3=2， 解得 b=4． 故答案为 4． 16．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，且四边形 OABC 是菱形．若点 D 是圆上异 于 A、B、C 的另一点，则∠ADC 的度数是 60°或 120° ． 【考点】M6：圆内接四边形的性质；L8：菱形的性质；M5：圆周角定理． 【分析】连接 OB，则 AB=OA=OB 故可得出△AOB 是等边三角形，所以∠ADC=60°， ∠AD′C=120°，据此可得出结论． 【解答】解：连接 OB， ∵四边形 OABC 是菱形， ∴AB=OA=OB=BC， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°． 故答案为：60°或 120°． 17．如图，在 5×5 的正方形网格中有一条线段 AB，点 A 与点 B 均在格点上．请 在这个网格中作线段 AB 的垂直平分线．要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直 尺中的直角；②保留必要的作图痕迹． 【考点】N4：作图—应用与设计作图；KG：线段垂直平分线的性质． 【分析】以 AB 为边作正方形 ABCD，正方形 ABEF，连接 AC，BD 交于 O，连接 AE，BF 交于 O′，过O，O′作直线 OO′于是得到结论． 【解答】解：如图所示，直线 OO′即为所求． 18．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴的负半轴、 y 轴的正半轴上，点 B 在第二象限．将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使点 B 落 在 y 轴上，得到矩形 ODEF，BC 与 OD 相交于点 M．若经过点 M 的反比例函数 y= （x＜0）的图象交 AB 于点 N，S 矩形 OABC=32，tan∠DOE= ，则 BN 的长为 3 ． 【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数 k 的几何意义；T7： 解直角三角形． 【分析】利用矩形的面积公式得到 AB•BC=32，再根据旋转的性质得 AB=DE， OD=OA，接着利用正切的定义得到 an∠DOE= = ，所以 DE•2DE=32，解得 DE=4， 于是得到 AB=4，OA=8，同样在 Rt△OCM 中利用正切定义得到 MC=2，则 M（﹣ 2，4），易得反比例函数解析式为 y=﹣ ，然后确定 N 点坐标，最后计算 BN 的 长． 【解答】解：∵S 矩形 OABC=32， ∴AB•BC=32， ∵矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使点 B 落在 y 轴上，得到矩形 ODEF， ∴AB=DE，OD=OA， 在 Rt△ODE 中，tan∠DOE= = ，即 OD=2DE， ∴DE•2DE=32，解得 DE=4， ∴AB=4，OA=8， 在 Rt△OCM 中，∵tan∠COM= = ， 而 OC=AB=4， ∴MC=2， ∴M（﹣2，4）， 把 M（﹣2，4）代入 y= 得 k=﹣2×4=﹣8， ∴反比例函数解析式为 y=﹣ ， 当 x=﹣8 时，y=﹣ =1，则 N（﹣8，1）， ∴BN=4﹣1=3． 故答案为 3． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．（1）解方程组： （2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中 x=2． 【考点】6D：分式的化简求值；98：解二元一次方程组． 【分析】（1）根据代入消元法可以解答此方程； （2）根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后 的式子即可解答本题． 【解答】解：（1） 将①代入②，得 3x+2（2x﹣3）=8， 解得，x=2， 将 x=2 代入①，得 y=1， 故原方程组的解是 ； （2） ﹣ ÷ = = = ， 当 x=2 时，原式= ． 20．如图，在矩形 ABCD 中，连接对角线 AC、BD，将△ABC 沿 BC 方向平移，使 点 B 移到点 C，得到△DCE． （1）求证：△ACD≌△EDC； （2）请探究△BDE 的形状，并说明理由． 【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质． 【分析】（1）由矩形的性质得出 AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°， 由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出 AD=EC，由 SAS 即可得出结论； （2）由 AC=BD，DE=AC，得出 BD=DE 即可． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°， 由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB， ∴AD=EC， 在△ACD 和△EDC 中， ， ∴△ACD≌△EDC（SAS）； （2）解：△BDE 是等腰三角形；理由如下： ∵AC=BD，DE=AC， ∴BD=DE， ∴△BDE 是等腰三角形． 21．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行 测试，然后把测试结果分为 4 个等级：A、B、C、D，并将统计结果绘制成两幅 不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题： （1）补全条形统计图 （2）该年级共有 700 人，估计该年级足球测试成绩为 D 等的人数为 56 人； （3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四 个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方 法，求恰好选到甲、乙两个班的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC： 条形统计图． 【分析】（1）根据 A 等学生人数除以它所占的百分比求得总人数，然后乘以 B 等所占的百分比求得 B 等人数，从而补全条形图； （2）用该年级学生总数乘以足球测试成绩为 D 等的人数所占百分比即可求解； （3）利用树状图法，将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）总人数为 14÷28%=50 人， B 等人数为 50×40%=20 人． 条形图补充如下： （2）该年级足球测试成绩为 D 等的人数为 700× =56（人）． 故答案为 56； （3）画树状图： 共有 12 种等可能的结果数，其中选取的两个班恰好是甲、乙两个班的情况占 2 种， 所以恰好选到甲、乙两个班的概率是 = ． 22．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度，沿旗杆正前方 2 米处 的点 C 出发，沿斜面坡度 i=1： 的斜坡 CD 前进 4 米到达点 D，在点 D 处安置 测角仪，测得旗杆顶部 A 的仰角为 37°，量得仪器的高 DE 为 1.5 米．已知 A、B、 C、D、E 在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆 AB 的高度．（参考数据：sin37° ≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ．计算结果保留根号） 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用﹣ 坡度坡角问题． 【分析】延长 ED 交 BC 延长线于点 F，则∠CFD=90°，Rt△CDF 中求得 CF=CDcos ∠DCF=2 、DF= CD=2，作 EG⊥AB，可得 GE=BF=4 、GB=EF=3.5，再求出 AG=GEtan∠AEG=4 •tan37°可得答案． 【解答】解：如图，延长 ED 交 BC 延长线于点 F，则∠CFD=90°， ∵tan∠DCF=i= = ， ∴∠DCF=30°， ∵CD=4， ∴DF= CD=2，CF=CDcos∠DCF=4× =2 ， ∴BF=BC+CF=2 +2 =4 ， 过点 E 作 EG⊥AB 于点 G， 则 GE=BF=4 ，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5， 又∵∠AED=37°， ∴AG=GEtan∠AEG=4 •tan37°， 则 AB=AG+BG=4 •tan37°+3.5=3 +3.5， 故旗杆 AB 的高度为（3 +3.5）米． 23．已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中 k 为常数． （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）已知函数 y=x2+（k﹣5）x+1﹣k 的图象不经过第三象限，求 k 的取值范围； （3）若原方程的一个根大于 3，另一个根小于 3，求 k 的最大整数值． 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系； H3：二次函数的性质． 【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△＞0，根据判别式的 意义即可证明； （2）由于二次函数 y=x2+（k﹣5）x+1﹣k 的图象不经过第三象限，又△=（k﹣5） 2﹣4（1﹣k）=（k﹣3）2+12＞0，所以抛物线的顶点在 x 轴的下方经过一、二、 四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于 k 的不等式组， 解不等式组即可求解； （3）设方程的两个根分别是 x1，x2，根据题意得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，根据一 元二次方程根与系数的关系求得 k 的取值范围，再进一步求出 k 的最大整数值． 【解答】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0， ∴无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）解：∵二次函数 y=x2+（k﹣5）x+1﹣k 的图象不经过第三象限， ∵二次项系数 a=1， ∴抛物线开口方向向上， ∵△=（k﹣3）2+12＞0， ∴抛物线与 x 轴有两个交点， 设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1，x2， ∴x1+x2=5﹣k＞0，x1•x2=1﹣k＞0， 解得 k＜1， 即 k 的取值范围是 k＜1； （3）解：设方程的两个根分别是 x1，x2， 根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0， 即 x1•x2﹣3（x1+x2）+9＜0， 又 x1+x2=5﹣k，x1•x2=1﹣k， 代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0， 解得 k＜ ． 则 k 的最大整数值为 2． 24．荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元， 在整个销售旺季的 80 天里，销售单价 p（元/千克）与时间第 t（天）之间的函 数关系为： ，日销售量 y（千克）与时间第 t（天）之间 的函数关系如图所示： （1）求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式？[来源:Z*xx*k.Com] （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于 2400 元？ （4）在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 千克小龙虾，就捐赠 m （m＜7）元给村里的特困户．在这前 40 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随 时间 t 的增大而增大，求 m 的取值范围． 【考点】HE：二次函数的应用． 【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得； （2）设日销售利润为 w，分 1≤t≤40 和 41≤t≤80 两种情况，根据“总利润=每 千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断； （3）求出 w=2400 时 x 的值，结合函数图象即可得出答案； （4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由 1≤t≤40 且销 售利润随时间 t 的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案． 【解答】解：（1）设解析式为 y=kt+b， 将（1，198）、（80，40）代入，得： ， 解得： ， ∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t 为整数）； （2）设日销售利润为 w，则 w=（p﹣6）y， ①当 1≤t≤40 时，w=（ t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣ （t﹣30）2+2450， ∴当 t=30 时，w 最大=2450； ②当 41≤t≤80 时，w=（﹣ t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100， ∴当 t=41 时，w 最大=2301， ∵2450＞2301， ∴第 30 天的日销售利润最大，最大利润为 2450 元． （3）由（2）得：当 1≤t≤40 时， w=﹣ （t﹣30）2+2450， 令 w=2400，即﹣ （t﹣30）2+2450=2400， 解得：t1=20、t2=40， 由函数 w=﹣ （t﹣30）2+2450 图象可知，当 20≤t≤40 时，日销售利润不低于 2400 元， 而当 41≤t≤80 时，w 最大=2301＜2400， ∴t 的取值范围是 20≤t≤40， ∴共有 21 天符合条件． （4）设日销售利润为 w，根据题意，得： w=（ t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣ t2+（30+2m）t+2000﹣200m， 其函数图象的对称轴为 t=2m+30， ∵w 随 t 的增大而增大，且 1≤t≤40， ∴由二次函数的图象及其性质可知 2m+30≥40， 解得：m≥5， 又 m＜7， ∴5≤m＜7． 25．如图在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 点 P、Q 同时从点 A 出发，运动时间为 t 秒．其中点 P 沿射线 AB 运动，速度为 每秒 4 个单位长度，点 Q 沿射线 AO 运动，速度为每秒 5 个单位长度．以点 Q 为圆心，PQ 长为半径作⊙Q． （1）求证：直线 AB 是⊙Q 的切线； （2）过点 A 左侧 x 轴上的任意一点 C（m，0），作直线 AB 的垂线 CM，垂足为 M．若 CM 与⊙Q 相切于点 D，求 m 与 t 的函数关系式（不需写出自变量的取值 范围）； （3）在（2）的条件下，是否存在点 C，直线 AB、CM、y 轴与⊙Q 同时相切？ 若存在，请直接写出此时点 C 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】FI：一次函数综合题． 【分析】（1）只要证明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠AOB=90°，推出 QP⊥ AB，推出 AB 是⊙O 的切线； （2）分两种情形求解即可：①如图 2 中，当直线 CM 在⊙O 的左侧与⊙Q 相切 时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方形．②如图 3 中，当直线 CM 在⊙O 的 右侧与⊙Q 相切时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方形．分别列出方程即可 解决问题． （3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件． 【解答】（1）证明：如图 1 中，连接 QP． 在 Rt△AOB 中，OA=4，OB=3， ∴AB= =5， ∵AP=4t，AQ=5t， ∴ = = ，∵∠PAQ=∠BAO， ∴△PAQ∽△BAO， ∴∠APQ=∠AOB=90°， ∴QP⊥AB， ∴AB 是⊙O 的切线． （2）解：①如图 2 中，当直线 CM 在⊙O 的左侧与⊙Q 相切时，设切点为 D，则 四边形 PQDM 是正方形． 易知 PQ=DQ=3t，CQ= •3t= ， ∵OC+CQ+AQ=4， ∴m+ t+5t=4， ∴m=4﹣ t． ②如图 3 中，当直线 CM 在⊙O 的右侧与⊙Q 相切时，设切点为 D，则四边形 PQDM 是正方形． ∵OC+AQ﹣CQ=4， ∴m+5t﹣ t=4， ∴m=4﹣ t． （3）解：存在．理由如下： 如图 4 中，当⊙Q 在 y 则的右侧与 y 轴相切时，3t+5t=4，t= ， 由（2）可知，m=﹣ 或 ． 如图 5 中，当⊙Q 在 y 则的左侧与 y 轴相切时，5t﹣3t=4，t=2， 由（2）可知，m=﹣ 或 ． 综上所述，满足条件的点 C 的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）或 （ ，0）． 2017 年 7 月 6 日