2017年贵港市中考数学试卷及答案解析

2017 年广西贵港市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．7 的相反数是（ ） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 2．数据 3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（ ） A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2 3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（ ） A．3a2+a=3a3 B．2a3•（﹣a2）=2a5 C．4a6+2a2=2a3 D．（﹣3a）2﹣a2=8a2 6．在平面直角坐标系中，点 P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．下列命题中假命题是（ ） A．正六边形的外角和等于 360° B．位似图形必定相似 C．样本方差越大，数据波动越小 D．方程 x2+x+1=0无实数根 8．从长为 3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概 率是（ ） A． B． C． D．1 9．如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，B 是 的中点，M 是半径 OD 上任意 一点．若∠BDC=40°，则∠AMB 的度数不可能是（ ） A．45° B．60° C．75° D．85° 10．将如图所示的抛物线向右平移 1个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后， 得到的抛物线解析式是（ ） A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C， M 是 BC 的中点，P 是 A'B'的中点，连接 PM．若 BC=2，∠BAC=30°，则线段 PM 的最大值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC与 BD 的交点，M是 BC 边上的动 点（点 M 不与 B，C重合），CN⊥DM，CN 与 AB 交于点 N，连接 OM，ON，MN．下 列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④ AN2+CM2=MN2；⑤若 AB=2，则 S△OMN的最小值是 ，其中正确结论的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5[来源:Z#xx#k.Com] 二、填空题（每题 3 分，满分 18 分，将答案填在答题纸上） 13．计算：﹣3﹣5= ． 14．中国的领水面积约为 370 000km2，将数 370 000用科学记数法表示为 ． 15．如图，AB∥CD，点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ ABF=40°，那么∠BEF 的度数为 ． 16．如图，点 P 在等边△ABC 的内部，且 PC=6，PA=8，PB=10，将线段 PC 绕点 C顺时针旋转 60°得到 P'C，连接 AP'，则 sin∠PAP'的值为 ． 17．如图，在扇形 OAB 中，C是 OA 的中点，CD⊥OA，CD 与 交于点 D，以 O 为圆心，OC 的长为半径作 交 OB 于点 E，若 OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影 部分的面积为 ．（结果保留π） 18．如图，过 C（2，1）作 AC∥x 轴，BC∥y 轴，点 A，B 都在直线 y=﹣x+6上， 若双曲线 y= （x＞0）与△ABC 总有公共点，则 k的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 19．（1）计算：|﹣3|+（ +π）0﹣（﹣ ） ﹣2﹣2cos60°； （2）先化简，在求值：（ ﹣ ）+ ，其中 a=﹣2+ ． 20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： 已知线段 a和∠AOB，点 M在 OB 上（如图所示）． （1）在 OA边上作点 P，使 OP=2a； （2）作∠AOB 的平分线； （3）过点 M 作 OB 的垂线． 21．如图，一次函数 y=2x﹣4 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A，B 两点， 且点 A的横坐标为 3． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点 B 的坐标． x§k§b 1 22．在开展“经典阅读”活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况， 学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果 绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题： 频率分布表 阅读时间 （小时） 频数 （人） 频率 1≤x＜2 18 0.12 2≤x＜3 a m 3≤x＜4 45 0.3 4≤x＜5 36 n 5≤x＜6 21 0.14 合计 b 1 （1）填空：a= ，b= ，m= ，n= ； （2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）； （3）若该校由 3000 名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅 读时间不足三小时的人数． 23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有 10 场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队 胜一场得 2分，负一场得 1 分，积分超过 15分才能获得参赛资格． （1）已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场； （2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？ 24．如图，在菱形 ABCD 中，点 P在对角线 AC 上，且 PA=PD，⊙O 是△PAD的外 接圆． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 AC=8，tan∠BAC= ，求⊙O 的半径． 25．如图，抛物线 y=a（x﹣1）（x﹣3）与 x轴交于 A，B 两点，与 y 轴的正半轴 交于点 C，其顶点为 D． （1）写出 C，D两点的坐标（用含 a 的式子表示）； （2）设 S△BCD：S△ABD=k，求 k 的值； （3）当△BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 26．已知，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D 是 AC 边上的一个动点， 将△ABD 沿 BD 所在直线折叠，使点 A落在点 P 处． （1）如图 1，若点 D是 AC中点，连接 PC． ①写出 BP，BD 的长； ②求证：四边形 BCPD 是平行四边形． （2）如图 2，若 BD=AD，过点 P 作 PH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H，求 PH的长． 2017年广西贵港市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．7 的相反数是（ ） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 【考点】14：相反数． 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：7的相反数是﹣7， 故选：B． 2．数据 3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（ ） A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2 【考点】W5：众数；W4：中位数． 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：把这组数据从小到大排列：2，2，2，3，3，4，5， 最中间的数是 3， 则这组数据的中位数是 3； 2出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 2． 故选：C． 3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】U1：简单几何体的三视图． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线， 故选：B． 4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． B． C． D． 【考点】74：最简二次根式． 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次 根式，否则就不是． 【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， 故 A符合题意； B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 B 不符合题意； C、被开方数含分母，故 C 不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故 D 不符合题意； 故选：A． 5．下列运算正确的是（ ） A．3a2+a=3a3 B．2a3•（﹣a2）=2a5 C．4a6+2a2=2a3 D．（﹣3a）2﹣a2=8a2 【考点】49：单项式乘单项式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方． 【分析】运用合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方等运算法则运算即可． 【解答】解：A.3a2与 a 不是同类项，不能合并，所以 A 错误； B .2a3•（﹣a2）=2×（﹣1）a5=﹣2a5，所以 B 错误； C.4a6与 2a2不是同类项，不能合并，所以 C 错误； D．（﹣3a）2﹣a2=9a2﹣a2=8a2，所以 D正确， 故选 D． 6．在平面直角坐标系中，点 P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】D1：点的坐标． 【分析】分点 P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解． 【解答】解：①m﹣3＞0，即 m＞3 时，﹣2m＜﹣6， 4﹣2m＜﹣2， 所以，点 P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限； ②m﹣3＜0，即 m＜3 时，﹣2m＞﹣6， 4﹣2m＞﹣2， 点 P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限， 综上所述，点 P不可能在第一象限． 故选 A． 7．下列命题中假命题是（ ） A．正六边形的外角和等于 360° B．位似图形必定相似 C．样本方差越大，数据波动越小 D．方程 x2+x+1=0无实数根 【考点】O1：命题与定理． 【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可． 【解答】解：A、正六边形的外角和等于 360°，是真命题； B、位似图形必定相似，是真命题； C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题； D、方程 x2+x+1=0无实数根，是真命题； 故选：C． 8．从长为 3，5，7，10 的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概 率是（ ） A． B． C． D．1 【考点】X6：列表法与树状图法；K6：三角形三边关系． 【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所 求概率． 【解答】解：从长为 3，5，7，10 的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可 能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共 4 种， 其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共 2种， 则 P（能构成三角形）= = ， 故选 B 9．如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，B 是 的中点，M是半径 OD 上任意 一点．若∠BDC=40°，则∠AMB 的度数不可能是（ ） A．45° B．60° C．75° D．85° 【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系． 【分析】根据圆周角定理求得∠AOB 的度数，则∠AOB 的度数一定不小于∠AMB 的度数，据此即可判断． 【解答】解：∵B是 的中点， ∴∠AOB=2∠BDC=80°， 又∵M是 OD 上一点， ∴∠AMB≤∠AOB=80°． 则不符合条件的只有 85°． 故选 D． 10．将如图所示的抛物线向右平移 1个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后， 得到的抛物线解析式是（ ） A．y=（x﹣1）2+1 B．y=（x+1）2+1 C．y=2（x﹣1）2+1 D．y=2（x+1）2+1 【考点】H6：二次函数图象与几何变换． 【分析】根据平移规律，可得答案． 【解答】解：由图象，得 y=2x2﹣2， 由平移规律，得 y=2（x﹣1）2+1， 故选：C． 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕顶点 C 逆时针旋转得到△A'B'C， M 是 BC 的中点，P 是 A'B'的中点，连接 PM．若 BC=2，∠BAC=30°，则线段 PM 的最大值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】R2：旋转的性质． 【分析】如图连接 PC．思想求出 PC=2，根据 PM≤PC+CM，可得 PM≤3，由此 即可解决问题． 【解答】解：如图连接 PC． 在 Rt△ABC 中，∵∠A=30°，BC=2， ∴AB=4， 根据旋转不变性可知，A′ B′=AB=4， ∴A′P=PB′， ∴PC= A′B′=2， ∵CM=BM=1， 又∵PM≤PC+CM，即 PM≤3， ∴PM的最大值为 3（此时 P、C、M 共线）． 故选 B． 12．如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC与 BD 的交点，M是 BC 边上的动 点（点 M 不与 B，C重合），CN⊥DM，CN 与 AB 交于点 N，连接 OM，ON，MN．下 列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④ AN2+CM2=MN2；⑤若 AB=2，则 S△OMN的最小值是 ，其中正确结论的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正 方形的性质． 【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON ≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即 可得出结论． 【解答】解：∵正方形 ABCD 中，CD=BC，∠BCD=90°， ∴∠BCN+∠DCN=90°， 又∵CN⊥DM， ∴∠CDM+∠DCN=90°， ∴∠BCN=∠CDM， 又∵∠CBN=∠DCM=90°， ∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确； 根据△CNB≌△DMC，可得 CM=BN， 又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB， ∴△OCM≌△OBN（SAS）， ∴OM=ON，∠COM=∠BON， ∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON， 又∵DO=CO， ∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确； ∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°， ∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴△OMN∽△OAD，故③正确； ∵AB=BC，CM=BN， ∴BM=AN， 又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2， ∴AN2+CM2=MN2，故④正确； ∵△OCM≌△OBN， ∴四边形 BMON的面积=△BOC 的面积=1，即四边形 BMON的面积是定值 1， ∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小， 设 BN=x=CM，则 BM=2﹣x， ∴△MNB的面积= x（2﹣x）=﹣ x2+x， ∴当 x=1 时，△MNB的面积有最大值 ， 此时 S△OMN的最小值是 1﹣ = ，故⑤正确； 综上所述，正确结论的个数是 5个， 故选：D． 二、填空题（每题 3 分，满分 18 分，将答案填在答题纸上） 13．计算：﹣3﹣5= ﹣8 ． 【考点】1A：有理数的减法． 【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：﹣3﹣5=﹣8． 故答案为：﹣8． 14．中国的领水面积约为 370 000km2，将数 370 000 用科学记数法表示为 3.7 ×105 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数．确定 a×10n（1≤|a|＜10，n 为整数）中 n 的值，由于 370 000 有 6位，所以可以确定 n=6﹣1=5． 【解答】解：370 000=3.7×105， 故答案为：3.7×105． 15．如图，AB∥CD，点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ ABF=40°，那么∠BEF 的度数为 60° ． 【考点】JA：平行线的性质． 【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFB 的度数，再根据∠CFE：∠EFB=3：4 以及平行线的性质，即可得出∠BEF 的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ABF=40°， ∴∠CFB=180°﹣∠B=140°， 又∵∠CFE：∠EFB=3：4， ∴∠CFE= ∠CFB=60°， ∵AB∥CD， ∴∠BEF=∠CFE=60°， 故答案为：60°． 16．如图，点 P 在等边△ABC 的内部，且 PC=6，PA=8，PB=10，将线段 PC 绕点 C顺时针旋转 60°得到 P'C，连接 AP'，则 sin∠PAP'的值为 ． 【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形． 【分析】连接 PP′，如图，先利用旋转的性质得 CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判 定△CPP′为等边三角形得到 PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA 得到 PB=P′A=10， 接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正 弦的定义求解． 【解答】解：连接 PP′，如图， ∵线段 PC 绕点 C顺时针旋转 60°得到 P'C， ∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°， ∴△CPP′为等边三角形， ∴PP′=PC=6， ∵△ABC 为等边三角形， ∴CB=CA，∠ACB=60°， ∴∠PCB=∠P′CA， 在△PCB 和△P′CA 中 ， ∴△PCB≌△P′CA， ∴PB=P′A=10， ∵62+82=102， ∴PP′2+AP2=P′A2， ∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°， ∴sin∠PAP′= = = ． 故答案为 ． 17．如图，在扇形 OAB 中，C是 OA 的中点，CD⊥OA，CD 与 交于点 D，以 O 为圆心，OC 的长为半径作 交 OB 于点 E，若 OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影 部分的面积为 π+2 ．（结果保留π） 【考点】MO：扇形面积的计算；KG：线段垂直平分线的性质． 【分析】连接 OD、AD，根据点 C 为 OA 的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO 为等边三角形，求出扇形 AOD的面积，最后用扇形 AOB 的面积减去扇形 COE 的 面积，再减去 S 空白 ADC即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：连接 O、AD， ∵点 C为 OA的中点， ∴∠CDO=30°，∠DOC=60°， ∴△ADO为等边三角形， ∴S 扇形 AOD= = π， ∴S 阴影=S 扇形 AOB﹣S 扇形 COE﹣（S 扇形 AOD﹣S△COD） = ﹣ ﹣（ π﹣ ×2×2 ） = π﹣ π﹣ π+2 = π+2 ． 故答案为 π+2 ． 18．如图，过 C（2，1）作 AC∥x 轴，BC∥y 轴，点 A，B 都在直线 y=﹣x+6上， 若双曲线 y= （x＞0）与△ABC 总有公共点，则 k的取值范围是 2≤k≤9 ． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】把 C 的坐标代入求出 k≥2，解两函数组成的方程组，根据根的判别式 求出 k≤9，即可得出答案． 【解答】解：当反比例函数的图象过 C点时，把 C 的坐标代入得：k=2×1=2； 把 y=﹣x+6 代入 y= 得：﹣x+6= ， x2﹣6x+k=0， △=（﹣6）2﹣4k=36﹣4k， ∵反比例函数 y= 的图象与△ABC 有公共点， ∴36﹣4k≥0， k≤9， 即 k的范围是 2≤k≤9， 故答案为：2≤k≤9． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 19．（1）计算：|﹣3|+（ +π）0﹣（﹣ ） ﹣2﹣2cos60°； （2）先化简，在求值：（ ﹣ ）+ ，其中 a=﹣2+ ． 【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数 指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数幂的 意义即可求出答案； （2）先化简原式，然后将 a 的值代入即可求出答案． 【解答】解：（1）原式=3+1﹣（﹣2）2﹣2× =4﹣4﹣1=﹣1 （2）当 a=﹣2+ 原式= + = = =7+5 20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： 已知线段 a和∠AOB，点 M在 OB 上（如图所示）． （1）在 OA边上作点 P，使 OP=2a； （2）作∠AOB 的平分线； （3）过点 M 作OB 的垂线． 【考点】N3：作图—复杂作图． 【分析】（1）在 OA上截取 OP=2a 即可求出点 P的位置； （2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB 的平分线； （3）以 M 为圆心，作一圆与射线 OB 交于两点，再以这两点分别为圆心，作两 个相等半径的圆交于 D点，连接 MD即为 OB 的垂线； 【解答】解：（1）点 P 为所求作； （2）OC 为所求作； （3）MD为所求作； 21．如图，一次函数 y=2x﹣4 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A，B 两点， 且点 A的横坐标为 3． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点 B 的坐标． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）把 x=3 代入一次函数解析式求得 A 的坐标，利用待定系数法求得反 比例函数解析式； （2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得 B 的坐标． 【解答】解：（1）把 x=3 代入 y=2x﹣4 得 y=6﹣4=2， 则 A的坐标是（3，2）． 把（3，2）代入 y= 得 k=6， 则反比例函数的解析式是 y= ； （2）根据题意得 2x﹣4= ， 解得 x=3 或﹣1， 把 x=﹣1 代入 y=2x﹣4 得 y=﹣6，则 B的坐标是（﹣1，﹣6）． 22．在开展“经典阅读”活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况， 学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果 绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题： 频率分布表 阅读时间 （小时） 频数 （人） 频率 1≤x＜2 18 0.12 2≤x＜3 a m 3≤x＜4 45 0.3 4≤x＜5 36 n 5≤x＜6 21 0.14 合计 b 1 （1）填空：a= 30 ，b= 150 ，m= 0.2 ，n= 0.24 ； （2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）； （3）若该校由 3000 名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅 读时间不足三小时的人数． 【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率） 分布表． 【分析】（1）根据阅读时间为 1≤x＜2 的人数及所占百分比可得，求出总人数 b=150，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出 m、n、a； （2）根据数据将频数分布直方图补充完整即可； （3）由总人数乘以时间不足三小时的人数的频率即可． 【解答】解：（1）b=18÷0.12=150（人）， ∴n=36÷150=0.24， ∴m=1﹣0.12﹣0.3﹣0.24﹣0.14=0.2， ∴a=0.2×150=30； 故答案为：30，150，0.2，0.24； （2）如图所示： （3）3000×（0.12+0.2）=960（人）； 即估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数为 960人． 23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有 10 场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队 胜一场得 2分，负一场得 1 分，积分超过 15分才能获得参赛资格． （1）已知甲队在初赛阶段的积分为 18 分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场； （2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？ 【考点】C9：一元一次不等式的应用；8A：一元一次方程的应用． 【分析】（1）设甲队胜了 x 场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得 2 分， 负一场得 1分，利用甲队在初赛阶段的积分为 18 分，进而得出等式求出答案； （2）设乙队在初赛阶段胜 a 场，根据积分超过 15分才能获得参赛资格，进而得 出答案． 【解答】解：（1）设甲队胜了 x 场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得： 2x+10﹣x=18， 解得：x=8， 则 10﹣x=2， 答：甲队胜了 8场，则负了 2 场； （2）设乙队在初赛阶段胜 a 场，根据题意可得： 2a+（10﹣a）≥15， 解得：a≥5， 答：乙队在初赛阶段至少要胜 5场． 24．如图，在菱形 ABCD 中，点 P在对角线 AC 上，且 PA=PD，⊙O 是△PAD的外 接圆． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 AC=8，tan∠BAC= ，求⊙O 的半径． 【考点】ME：切线的判定与性质；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形． 【分析】（1）连结 OP、OA，OP交 AD于 E，由 PA=PD得弧 AP=弧 DP，根据垂径 定理的推理得 OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+ ∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线 的判定定理得到直线 AB 与⊙O 相切； （2）连结 BD，交 AC 于点 F，根据菱形的性质得 DB 与 AC 互相垂直平分，则 AF=4， tan∠DAC= ，得到 DF=2 ，根据勾股定理得到 AD= =2 ，求得 AE= ，设⊙O 的半径为 R，则 OE=R﹣ ，OA=R，根据勾股定理列方程即可得 到结论． 【解答】解：（1）连结 OP、OA，OP 交 AD 于 E，如图， ∵PA=PD， ∴弧 AP=弧 DP， ∴OP⊥AD，AE=DE， ∴∠1+∠OPA=90°， ∵OP=OA， ∴∠OAP=∠OPA， ∴∠1+∠OAP=90°， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴∠1=∠2， ∴∠2+∠OAP=90°， ∴OA⊥AB， ∴直线 AB 与⊙O 相切； （2）连结 BD，交 AC 于点 F，如图， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴DB 与 AC 互相垂直平分， ∵AC=8，tan∠BAC= ， ∴AF=4，tan∠DAC= = ， ∴DF=2 ， ∴AD= =2 ， ∴AE= ， 在 Rt△PAE 中，tan∠1= = ， ∴PE= ， 设⊙O 的半径为 R，则 OE=R﹣ ，OA=R， 在 Rt△OAE 中，∵OA2=OE2+AE2， ∴R2=（R﹣ ）2+（ ）2， ∴R= ， 即⊙O 的半径为 ． 25．如图，抛物线 y=a（x﹣1）（x﹣3）与 x轴交于 A，B 两点，与 y 轴的正半轴 交于点 C，其顶点为 D． （1）写出 C，D两点的坐标（用含 a 的式子表示）； （2）设 S△BCD：S△ABD=k，求 k 的值； （3）当△BCD 是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）令 x=0 可求得 C点坐标，化为顶点式可求得 D点坐标； （2）令 y=0 可求得 A、B 的坐标，结合 D 点坐标可求得△ABD 的面积，设直线 CD 交 x 轴于点 E，由 C、D 坐标，利用待定系数法可求得直线 CD 的解析式，则 可求得 E 点坐标，从而可表示出△BCD 的面积，可求得 k的值； （3）由 B、C、D 的坐标，可表示出 BC2、BD2和 CD2，分∠CBD=90°和∠CDB=90° 两种情况，分别利用勾股定理可得到关于 a 的方程，可求得 a 的值，则可求得抛 物线的解析式． 【解答】解： （1）在 y=a（x﹣1）（x﹣3），令 x=0 可得 y=3a， ∴C（0，3a）， ∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a， ∴D（2，﹣a）； （2）在 y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令 y=0 可解得 x=1 或 x=3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∴AB=3﹣1=2， ∴S△ABD= ×2×a=a， 如图，设直线 CD 交 x轴于点 E，设直线 CD 解析式为 y=kx+b， 把 C、D 的坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线 CD 解析式为 y=﹣2ax+3a，令 y=0 可解得 x= ， ∴E（ ，0）， ∴BE=3﹣ = ∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×（3a+a）=3a， ∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3， ∴k=3； （3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a）， ∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2， ∵∠BCD＜∠BCO＜90°， ∴△BCD 为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况， ①当∠CBD=90°时，则有 BC2+BD2=CD2，即 9+9a2+1+a2=4+16a2，解得 a=﹣1（舍去） 或 a=1，此时抛物线解析式为 y=x2﹣4x+3； ②当∠CDB=90°时，则有 CD2+BD2=BC2，即 4+16a2+1+a2=9+9a2，解得 a=﹣ （舍 去）或 a= ，此时抛物线解析式为 y= x2﹣2 x+ ； 综上可知当△BCD 是直角三角形时，抛物线的解析式为 y=x2﹣4x+3 或 y= x2﹣ 2 x+ ． 26．已知，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D 是 AC边上的一个动点， 将△ABD 沿 BD 所在直线折叠，使点 A落在点 P 处． （1）如图 1，若点 D是 AC中点，连接 PC． ①写出 BP，BD 的长； ②求证：四边形 BCPD 是平行四边形． （2）如图 2，若 BD=AD，过点P 作 PH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H，求 PH 的长． 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）①分别在 Rt△ABC，Rt△BDC 中，求出 AB、BD 即可解决问题； ②想办法证明 DP∥BC，DP=BC 即可； （2）如图 2中，作 DN⊥AB 于 N，PE⊥AC于 E，延长 BD 交 PA于 M．设 BD=AD=x， 则 CD=4﹣ x，在 Rt△ BDC 中，可得 x2=（ 4﹣ x） 2+22，推出 x= ，推出 DN= = ，由△BDN∽△BAM，可得 = ，由此求出 AM，由△ADM ∽△APE，可得 = ，由此求出 AE= ，可得 EC=AC﹣AE=4﹣ = 由此即可 解决问题． 【解答】解：（1）①在 Rt△ABC 中，∵BC=2，AC=4， ∴AB= =2 ， ∵AD=CD=2， ∴BD= =2 ， 由翻折可知，BP=BA=2 ． ②如图 1中， ∵△BCD 是等腰直角三角形， ∴∠BDC=45°， ∴∠ADB=∠BDP=135°， ∴∠PDC=135°﹣45°=90°， ∴∠BCD=∠PDC=90°， ∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2， ∴四边形 BCPD 是平行四边形． （2）如图 2 中，作 DN⊥AB 于 N，PE⊥AC 于 E，延长 BD 交 PA于 M． 设 BD=AD=x，则 CD=4﹣x， 在 Rt△BDC 中，∵BD2=CD2+BC2， ∴x2=（4﹣x）2+22， ∴x= ， ∵DB=DA，DN⊥AB， ∴BN=AN= ， 在 Rt△BDN 中，DN= = ， 由△BDN∽△BAM，可得 = ， ∴ = ， ∴AM=2， ∴AP=2AM=4， 由△ADM∽△APE，可得 = ， ∴ = ， ∴AE= ， ∴EC=AC﹣AE=4﹣ = ， 易证四边形 PECH 是矩形， ∴PH=EC= ． 2017年 7 月 4 日