2017年东营市中考数学试卷及答案解析

2017 年山东省东营市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列四个数中，最大的数是（ ） A．3 B． C．0 D．π 【分析】根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得答案． 【解答】解：0＜ ＜3＜π， 故选：D． 【点评】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握利用数轴也可以比较任意 两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左 侧，绝对值大的反而小． 2．下列运算正确的是（ ） A．（x﹣y）2=x2﹣y2 B．| ﹣2|=2﹣ C． ﹣ = D．﹣（﹣a+1）=a+1 【分析】根据完全平方公式，二次根式的化简以及去括号的法则进行解答． 【解答】解：A、原式=x2﹣2xy+y2，故本选项错误； B、原式=2﹣ ，故本选项正确； C、原式=2 ﹣ ，故本选项错误； D、原式=a﹣1，故本选项错误； 故选：B． 【点评】本题综合考查了二次根式的加减法，实数的性质，完全平方公式以及去 括号，属于基础题，难度不大． 3．若|x2﹣4x+4|与 互为相反数，则 x+y 的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9 【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+ =0，再根据非负数的性质得 x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出 x，再求出 y，最后计算它们的和 即可． 【解答】解：根据题意得|x2﹣4x+4|+ =0， 所以|x2﹣4x+4|=0， =0， 即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0， 所以 x=2，y=1， 所以 x+y=3． 故选 A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考 查了非负数的性质． 4．小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车 沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程 s（m）与时 间 t（min）的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意判断出 S 随 t的变化趋势，然后再结合选项可得答案． 【解答】解：小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此 S 随时间 t的增长而增 长， 等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S 不增长， 坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此 S 又随时间 t的增长而增长， 故选：C． 【点评】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，根据题意判断出两个 变量的变化情况． 5．已知 a∥b，一块含 30°角的直角三角板如图所示放置，∠2=45°，则∠1 等于 （ ） A．100°B．135°C．155°D．165° 【分析】先过 P 作 PQ∥a，则 PQ∥b，根据平行线的性质即可得到∠3 的度数， 再根据对顶角相等即可得出结论． 【解答】解：如图，过 P作 PQ∥a， ∵a∥b， ∴PQ∥b， ∴∠BPQ=∠2=45°， ∵∠APB=60°， ∴∠APQ=15°， ∴∠3=180°﹣∠APQ=165°， ∴∠1=165°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等， 同旁内角互补． 6．如图，共有 12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的 5 个小正方形是一个 正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构 成这个正方体的表面展开图的概率是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展 开图的概率． 【解答】解：设没有涂上阴影的分别为：A、B、C、D、E、F、G，如图所示， 从其余的小正方形中任取一个涂上阴影共有 7种情况， 而能够构成正方体的表面展开图的有以下情况，D、E、F、G， ∴能构成这个正方体的表面展开图的概率是 ， 故选（A） 【点评】本题考查概率，解题的关键是熟识正方体表面展开图的结构，本题属于 中等题型． 7．如图，在▱ ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E．若 BF=8，AB=5，则 AE 的长为（ ） A．5 B．6 C．8 D．12 【分析】由基本作图得到 AB=AF，AG 平分∠BAD，故可得出四边形 ABEF 是菱形， 由菱形的性质可知 AE⊥BF，故可得出 OB 的长，再由勾股定理即可得出 OA 的长， 进而得出结论． 【解答】解：连结 EF，AE与 BF 交于点 O， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB=AF， ∴四边形 ABEF 是菱形， ∴AE⊥BF，OB= BF=4，OA= AE． ∵AB=5， 在 Rt△AOB 中，AO= =3， ∴AE=2AO=6． 故选 B． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知平行四边形的性质、勾股定理、平 行线的性质是解决问题的关键． 8．若圆锥的侧面积等于其底面积的 3 倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心 角的度数为（ ） A．60° B．90° C．120°D．180° 【分析】根据圆锥侧面积恰好等于底面积的 3 倍可得圆锥的母线长=3×底面半 径，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，可得圆锥侧面展开图所 对应的扇形圆心角度数． 【解答】解：设母线长为 R，底面半径为 r， ∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积= lr=πrR， ∵侧面积是底面积的 3倍， ∴3πr2=πrR， ∴R=3r， 设圆心角为 n，有 = πR， ∴n=120°． 故选 C． 【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时 要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇 形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积 公式求出是解题的关键． 9．如图，把△ABC 沿着 BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是 △ABC 面积的一半，若 BC= ，则△ABC 移动的距离是（ ） A． B． C． D． ﹣ 【分析】移动的距离可以视为 BE 或 CF 的长度，根据题意可知△ABC 与阴影部分 为相似三角形，且面积比为 2：1，所以 EC：BC=1： ，推出 EC 的长，利用线 段的差求 BE 的长． 【解答】解：∵△ABC 沿 BC 边平移到△DEF 的位置， ∴AB∥DE， ∴△ABC∽△HEC， ∴ =（ ）2= ， ∴EC：BC=1： ， ∵BC= ， ∴EC= ， ∴BE=BC﹣EC= ﹣ ． 故选：D． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC 与阴影部分为相似三角形． 10．如图，在正方形 ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD于点 E、F，连接 BD、DP，BD 与 CF 相交于点 H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PHPC 其中正确的是（ ） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论． 【解答】解：∵△BPC 是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形 ABCD 中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， ∴BE=2AE；故①正确； ∵PC=CD，∠PCD=30°， ∴∠PDC=75°， ∴∠FDP=15°， ∵∠DBA=45°， ∴∠PBD=15°， ∴∠FDP=∠PBD， ∵∠DFP=∠BPC=60°， ∴△DFP∽△BPH；故②正确； ∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°， ∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°， ∴∠PFD≠∠PDB， ∴△PFD与△PDB 不会相似；故③错误； ∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC， ∴△DPH∽△CPD， ∴ ， ∴DP2=PHPC，故④正确； 故选 C． 【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和 性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理． 二、填空题（本大题共 8 小题，共 28 分） 11．《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》以“一带一路”贸易合作现状分 析和趋势预测为核心，采集调用了 8000 多个种类，总计 1.2 亿条全球进出口贸 易基础数据…，1.2亿用科学记数法表示为 1.2×108 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：1.2亿用科学记数法表示为 1.2×108． 故答案为：1.2×108． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的 形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．分解因式：﹣2x2y+16xy﹣32y= ﹣2y（x﹣4）2 ． 【分析】根据提取公因式以及完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣8x+16） =﹣2y（x﹣4）2 故答案为：﹣2y（x﹣4）2 【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础 题型． 13．为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛，我市四名中学生参 加了男子 100米自由泳训练，他们成绩的平均数 及其方差 s2如下表所示： 甲 乙 丙 丁 1′05″33 1′04″26 1′04″26 1′07″29 S2 1.1 1.1 1.3 1.6 如果选拔一名学生去参赛，应派 乙 去． 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【解答】解：∵ ＞ ＞ = ， ∴从乙和丙中选择一人参加比赛， ∵S ＜S ， ∴选择乙参赛， 故答案为：乙． 【点评】题考查了平均数和方差，一般地设 n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ， 则方差 S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，它反映了一组数据的波 动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 14．如图，AB 是半圆直径，半径 OC⊥AB 于点 O，D 为半圆上一点，AC∥OD， AD 与 OC 交于点 E，连结 CD、BD，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB；②BD=CD； ③CD2=CECO，其中正确结论的序号是 ①②③ ． 【分析】①由 OC⊥AB 就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由 OC=OA 就可以得出 ∠OCA=∠OAC=45°，由 AC∥OD 就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°， 从而得出结论； ②由∠BOD=∠COD 即可得出 BD=CD； ③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC ∽△EDC．进而得出 ，得出 CD2=CECO． 【解答】解：①∵OC⊥AB， ∴∠BOC=∠AOC=90°． ∵OC=OA， ∴∠OCA=∠OAC=45°． ∵AC∥OD， ∴∠BOD=∠CAO=45°， ∴∠DOC=45°， ∴∠BOD=∠DOC， ∴OD平分∠COB．故①正确； ②∵∠BOD=∠DOC， ∴BD=CD．故②正确； ③∵∠AOC=90°， ∴∠CDA=45°， ∴∠DOC=∠CDA． ∵∠OCD=∠OCD， ∴△DOC∽△EDC， ∴ ， ∴CD2=CECO．故③正确． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，圆的性质，圆心角与弦的关系 定理的运用，相似三角形的判定及性质；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判 定与性质是解决问题的关键． 15．如图，已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为 8 ，E 为 AB 的中点，若 P 为 对角线 BD 上一动点，则 EP+AP 的最小值为 2 ． 【分析】如图作 CE′⊥AB 于 E′，甲 BD 于 P′，连接 AC、AP′．首先证明 E′与 E 重合， 因为 A、C 关于 BD 对称，所以当 P 与 P′重合时，PA′+P′E 的值最小，由此求出 CE 即可解决问题． 【解答】解：如图作 CE′⊥AB 于 E′，甲 BD 于 P′，连接 AC、AP′． ∵已知菱形 ABCD 的周长为 16，面积为 8 ， ∴AB=BC=4，ABCE′=8 ， ∴CE′=2 ， 在 Rt△BCE′中，BE′= =2， ∵BE=EA=2， ∴E 与 E′重合， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴BD 垂直平分 AC， ∴A、C 关于 BD 对称， ∴当 P与 P′重合时，PA′+P′E 的值最小，最小值为 CE 的长=2 ， 故答案为 2 ． 【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，本题的突破点是证明 CE 是△ABC 的高，学会利用对称解决最短 问题． 16．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有 葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺， 有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的 最短长度是 25 尺． 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开 后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长 20尺， 另一条直角边长 5×3=15（尺）， 因此葛藤长为 =25（尺）． 故答案为：25． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形， 本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 17．一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在 A 处测得塔 顶的仰角为α，在 B处测得塔顶的仰角为β，又测量出 A、B 两点的距离为 s 米， 则塔高为 米． 【分析】在 Rt△BCD 中有 BD= ，在 Rt△ACD 中，根据 tan∠A= = 可 得 tanα= ，解之求出 CD 即可得． 【解答】解：在 Rt△BCD 中，∵tan∠CBD= ， ∴BD= ， 在 Rt△ACD 中，∵tan∠A= = ， ∴tanα= ， 解得：CD= ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据 两直角三角形的公共边利用三角函数建立方程求解． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y= x﹣ 与 x 轴交于点 B1，以 OB1 为边长作等边三角形 A1OB1，过点 A1作 A1B2平行于 x 轴，交直线 l 于点 B2，以 A1B2为边长作等边三角形 A2A1B2，过点 A2作 A2B3平行于 x 轴，交直线 l 于点 B3， 以 A2B3为边长作等边三角形 A3A2B3，…，则点 A2017的横坐标是 ． 【分析】先根据直线 l：y= x﹣ 与 x轴交于点 B1，可得 B1（1，0），OB1=1， ∠OB1D=30°，再，过 A1作 A1A⊥OB1于 A，过 A2作 A2B⊥A1B2于 B，过 A3作 A3C ⊥A2B3于 C，根据等边三角形的性质以及含 30°角的直角三角形的性质，分别求 得 A1的横坐标为 ，A2的横坐标为 ，A3的横坐标为 ，进而得到 An的横坐标为 ，据此可得点 A2017的横坐标． 【解答】解：由直线 l：y= x﹣ 与 x 轴交于点 B1，可得 B1（1，0），D（﹣ ， 0）， ∴OB1=1，∠OB1D=30°， 如图所示，过 A1作 A1A⊥OB1于 A，则 OA= OB1= ， 即 A1的横坐标为 = ， 由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°， ∴∠A1B1B2=90°， ∴A1B2=2A1B1=2， 过 A2作 A2B⊥A1B2于 B，则 A1B= A1B2=1， 即 A2的横坐标为 +1= = ， 过 A3作 A3C⊥A2B3于 C， 同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C= A2B3=2， 即 A3的横坐标为 +1+2= = ， 同理可得，A4的横坐标为 +1+2+4= = ， 由此可得，An的横坐标为 ， ∴点 A2017的横坐标是 ， 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质的 运用，解决问题的关键是依据等边三角形的性质找出规律，求得 An的横坐标为 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 62 分） 19．（1）计算：6cos45°+（ ） ﹣1+（ ﹣1.73）0+|5﹣3 |+42017×（﹣0.25） 2017 （2）先化简，再求值：（ ﹣a+1）÷ + ﹣a，并从﹣1，0，2 中 选一个合适的数作为 a的值代入求值． 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值、 幂的乘方可以解答本题； （2）根据分式的加减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣1，0，2 中选 一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题． 【解答】解：（1）6cos45°+（ ） ﹣1+（ ﹣1.73）0+|5﹣3 |+42017×（﹣0.25） 2017 =6× +3+1+5﹣3 +42017×（﹣ ）2017 = =8； （2）（ ﹣a+1）÷ + ﹣a = = = = =﹣a﹣1， 当 a=0时，原式=﹣0﹣1=﹣1． 【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算、殊角的三角函数值、负整数指 数幂、零指数幂、绝对值、幂的乘方，解答本题的关键是明确它们各自的计算方 法． 20．为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、 提升自我”的志愿服务理念，东营市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区 服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年 级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据 后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）求该班的人数； （2）请把折线统计图补充完整； （3）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；[来源:学&科&网 Z&X&X&K] （4）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一 服务活动的概率． 【分析】（1）根据参加生态环保的人数以及百分比，即可解决问题； （2）社区服务的人数，画出折线图即可； （3）根据圆心角=360°×百分比，计算即可； （4）用列表法即可解决问题； 【解答】解：（1）该班全部人数：12÷25%=48人． （2）48×50%=24，折线统计如图所示： （3） ×360°=45°． （4）分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四 个服务活动，列表如下： 则所有可能有 16种，其中他们参加同一活动有 4 种， 所以他们参加同一服务活动的概率 P= = ． 【点评】本题考查折线图、扇形统计图、列表法等知识，解题的关键是记住基本 概念，属于中考常考题型． 21．如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作⊙ O 的切线 DE，交 AC 于点 E，AC 的反向延长线交⊙O 于点 F． （1）求证：DE⊥AC； （2）若 DE+EA=8，⊙O 的半径为 10，求 AF 的长度． 【分析】（1）欲证明 DE⊥AC，只需推知 OD∥AC 即可； （2）如图，过点 O 作 OH⊥AF 于点 H，构建矩形 ODEH，设 AH=x．则由矩形的 性质推知：AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在 Rt△AOH 中，由勾股定理 知：x2+（x﹣2）2=102，通过解方程得到 AH 的长度，结合 OH⊥AF，得到 AF=2AH=2 ×8=16． 【解答】（1）证明：∵OB=OD， ∴∠ABC=∠ODB， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠ACB， ∴OD∥AC． ∵DE是⊙O 的切线，OD 是半径， ∴DE⊥OD， ∴DE⊥AC； （2）如图，过点 O 作 OH⊥AF于点 H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°， ∴四边形 ODEH 是矩形， ∴OD=EH，OH=DE． 设 AH=x． ∵DE+AE=8，OD=10， ∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2． 在 Rt△AOH 中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即 x2+（x﹣2）2=102， 解得 x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）． ∴AH=8． ∵OH⊥AF， ∴AH=FH= AF， ∴AF=2AH=2×8=16． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用 了方程思想，属于中档题． 22．如图，一次函数 y=kx+b 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数 y= 的图象在第一象限的交点为 C，CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB=3，OD=6，△AOB 的面积为 3． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当 x＞0 时，kx+b﹣ ＜0 的解集． 【分析】（1）根据三角形面积求出 OA，得出 A、B 的坐标，代入一次函数的解 析式即可求出解析式，把 x=6 代入求出 D 的坐标，把 D 的坐标代入反比例函数 的解析式求出即可； （2）根据图象即可得出答案． 【解答】解：（1）∵S△AOB=3，OB=3， ∴OA=2， ∴B（3，0），A（0，﹣2）， 代入 y=kx+b得： ， 解得：k= ，b=﹣2， ∴一次函数 y= x﹣2， ∵OD=6， ∴D（6，0），CD⊥x 轴， 当 x=6 时，y= ×6﹣2=2 ∴C（6，2）， ∴n=6×2=12， ∴反比例函数的解析式是 y= ； （2）当 x＞0 时，kx+b﹣ ＜0的解集是 0＜x＜6． 【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和和反比例函数 的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力． 23．为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计 划对 A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建 2 所 A 类学校和 3 所 B 类学 校共需资金 7800 万元，改扩建 3 所 A 类学校和 1 所 B 类学校共需资金 5400 万 元． （1）改扩建 1 所 A 类学校和 1 所 B类学校所需资金分别是多少万元？ （2）该县计划改扩建 A、B两类学校共 10 所，改扩建资金由国家财政和地方财 政共同承担．若国家财政拨付资金不超过 11800万元；地方财政投入资金不少于 4000万元，其中地方财政投入到 A、B 两类学校的改扩建资金分别为每所 300 万 元和 500万元．请问共有哪几种改扩建方案？ 【分析】（1）可根据“改扩建 2所 A 类学校和 3 所 B 类学校共需资金 7800 万元， 改扩建 3所 A类学校和 1所 B类学校共需资金 5400万元”，列出方程组求出答案； （2）要根据“国家财政拨付资金不超过 11800 万元；地方财政投入资金不少于 4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案． 【解答】解：（1）设改扩建一所 A 类和一所 B类学校所需资金分别为 x万元和 y 万元 由题意得 ， 解得 ， 答：改扩建一所 A 类学校和一所 B 类学校所需资金分别为 1200 万元和 1800 万 元． （2）设今年改扩建 A 类学校 a 所，则改扩建 B 类学校（10﹣a）所， 由题意得： ， 解得 ， ∴3≤a≤5， ∵x取整数， ∴x=3，4，5． 即共有 3种方案： 方案一：改扩建 A类学校 3 所，B 类学校 7所； 方案二：改扩建 A类学校 4 所，B 类学校 6所； 方案三：改扩建 A类学校 5 所，B 类学校 5所． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用．解决问 题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系． 24．如图，在等腰三角形 ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点 D 是 BC 边上的一 个动点（不与 B、C重合），在 AC 上取一点 E，使∠ADE=30°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设 BD=x，AE=y，求 y 关于 x的函数关系式并写出自变量 x的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求 AE的长． 【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE； （2）如图 1，作高 AF，根据直角三角形 30°的性质求 AF的长，根据勾股定理求 BF 的长，则可得 BC 的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确 定取值； （3）分三种情况进行讨论： ①当 AD=DE时，如图 2， 由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则 AB=CD，即 2=2 ﹣x； ②当 AE=ED时，如图 3，则 ED= EC，即 y= （2﹣y）； ③当 AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°， 此时点 D与点 B 重合，不符合题意，此情况不存在． 【解答】证明：（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC=120°， ∴∠ABD=∠ACB=30°， ∴∠ABD=∠ADE=30°， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB， ∴∠EDC=∠DAB， ∴△ABD∽△DCE； （2）如图 1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°， 过 A作 AF⊥BC 于 F， ∴∠AFB=90°， ∵AB=2，∠ABF=30°， ∴AF= AB=1， ∴BF= ， ∴BC=2BF=2 ， 则 DC=2 ﹣x，EC=2﹣y， ∵△ABD∽△DCE， ∴ ， ∴ ， 化简得：y= x+2（0＜x＜2 ）； （3）当 AD=DE 时，如图 2， 由（1）可知：此时△ABD∽△DCE， 则 AB=CD，即 2=2 ﹣x， x=2 ﹣2，代入 y= x+2， 解得：y=4﹣2 ，即 AE=4﹣2 ， 当 AE=ED时，如图 3， ∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°， ∴∠DEC=60°，∠EDC=90°， 则 ED= EC，即 y= （2﹣y）， 解得：y= ，即 AE= ， 当 AD=AE时， ∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°， 此时点 D与点 B 重合，不符合题意，此情况不存在， ∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2 或 ． 【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形 的性质、直角三角形 30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解 决问题；难度适中． 25．如图，直线 y=﹣ x+ 分别与 x轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在 x轴上， ∠ACB=90°，抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点． （1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点 M 作 MH⊥BC 于点 H，作 MD ∥y 轴交 BC 于点 D，求△DMH 周长的最大值． 【分析】（1）由直线解析式可求得 B、C 坐标，在 Rt△BOC 中由三角函数定义 可求得∠OCB=60°，则在 Rt△AOC 中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求 得 OA，则可求得 A 点坐标； （2）由 A、B 两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在 Rt△DMH 中利用三角函数的 定义可得到 DH、MH 与 DM的关系，可设出 M点的坐标，则可表示出 DM的长， 从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值． 【解答】解： （1）∵直线 y=﹣ x+ 分别与 x轴、y 轴交于 B、C两点， ∴B（3，0），C（0， ），xk|b|1 ∴OB=3，OC= ， ∴tan∠BCO= = ， ∴∠BCO=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO=30°， ∴ =tan30°= ，即 = ，解得 AO=1， ∴A（﹣1，0）； （2）∵抛物线 y=ax2+bx+ 经过 A，B 两点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+ ； （3）∵MD∥y 轴，MH⊥BC， ∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°， ∴DH= DM，MH= DM， ∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+ DM+ DM= DM， ∴当 DM有最大值时，其周长有最大值， ∵点 M是直线 BC 上方抛物线上的一点， ∴可设 M（t，﹣ t2+ t+ ），则 D（t，﹣ t+ ）， ∴DM=﹣ t2+ t+ ），则 D（t，﹣ t+ ）， ∴DM=﹣ t2+ t+ ﹣（﹣ t+ ）=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ， ∴当 t= 时，DM有最大值，最大值为 ， 此时 DM= × = ， 即△DMH周长的最大值为 ． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次 函数的性质、方程思想等知识．在（1）中注意函数图象与坐标的交点的求法， 在（2）中注意待定系数法的应用，在（3）中找到 DH、MH 与 DM 的关系是解 题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．