2010-2011年期终考试高一数学试卷及答案

江苏省 2010－2011 学年度第一学期期终考试 高一数学试卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程， 请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 1. 求值sin300 = ▲ ． 2. 函数 tan(2 )3y x   的周期为 ▲ ． 3. 在正方形 ABCD 中，E 是 DC 边的中点，且 AB  a ，AD  b ，则 BE  ▲ ． 4. 已知 0tancos   ,则角 是第 ▲ 象限角. 5. 函数 ( ) sin cosf x x x 的最小值为 ▲ ． 6. 已知向量 (4,0), (2,2),AB AC   则 AC BC  与 的夹角的大小为 ▲ ． 7. 已知向量  1,1a ，  2,nb ，若| a＋b |＝a·b，则 n  ▲ ． 8. 已知函数 1tansin)(  xbxaxf ，满足 (5) 7f  ，则 )5(f = ▲ ． 9. 下面有四个命题： ①函数 4 4sin cosy x x  的最小正周期是 . ②终边在 y 轴上的角的集合是 ,2 k k Z       . ③把函数 3sin(2 )3y x   的图象向右平移 6  个单位长度得到 3sin 2y x 的图象. ④函数 sin( )2y x   在 0, 上是减函数. 其中，正确的是 ▲ ．（填序号） 10. 将函数 siny x 的图象向右平移 4  个单位长度得到图象 1C ，再将图象 1C 上的所有点的 横坐标变为原来的 1 2 倍(纵坐标不变)得到图象 2C ，则 2C 的函数解析式为 ▲ ． 11．已知 8, 2 x     a ，  ,1xb ，其中 0x  ，若（ a -2 b ）∥（2 a + b ），则 x 的值 ▲ ． 12．函数 3sin(2 )6y x    的单调递减区间为 ▲ ． 13．在△ABC 中， π 6A  ， D 是 BC 边上任意一点（ D 与 B C、 不重合）， 且 2 2| | | |AB AD BD DC      ，则 B 等于 ▲ ． 14．在直角坐标系中, 如果两点 ( , ), ( , )A a b B a b  在函数 )(xfy  的图象上， 那么称 ,A B 为函数 ( )f x 的一组关于原点的中心对称点（ ,A B 与 ,B A 看作一组）. 函数 4 sin , 0( ) 2 log ( 1), 0 x xg x x x       关于原点的中心对称点的组数为 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 14 分） 已知 tan 2  ，求下列各式的值： （1） 2sin 3cos 4sin 9cos       ； （2） 2sin 3sin cos 1     ． 16．（本小题满分 14 分） 设两个非零向量 a 与 b 不共线， （1）若 AB  = a + b , BC  =2 a +8 b ,CD  =3（ a - b ），求证： A B D、 、 三点共线； （2）试确定实数 k ，使 k a + b 和 a + k b 共线. 17．（本小题满分 15 分） 已知 ( 2,4) (3, 1) ( 3, 4)A B C   、 、 且 3CM CA  ， 2CN CB  ， 求点 M N、 及 MN  的坐标. 18．（本小题满分 16 分） 已知函数 aRaaxxxxf ,(2cos)62sin()62sin()(   为常数）． （1）求函数 )(xf 的最小正周期； （2）求函数 )(xf 的单调递增区间； (3) 若 ]2,0[ x 时， )(xf 的最小值为 2 ，求 a 的值． A B O 19．（本小题满分 15 分） 设函数 2 1 4sincos)( 2  axaxxf ． (1)当 0 ≤ x ≤ 2  时，用 a 表示 )(xf 的最大值 )(aM ； （2）当 ( ) 2M a  时，求 a 的值，并对此 a 值求 )(xf 的最小值； （3）问 a 取何值时，方程 )(xf = (1 )sina x 在 2,0 上有两解？ 20．（本小题满分 16 分） 给定两个长度为 1 的平面向量OA  和OB  ，它们的夹角为120o . （1）求|OA  +OB  |； （2）如图（1）所示，点C 在以 O 为圆心的圆弧 ⌒AB上运动．若 ,OC xOA yOB    其中 ,x y R ,求 x y 的最大值？ （3）若点 E 、点 F 在以O 为圆心，1 为半径的圆上，且OE FO  ，问 BE  与 AF  的夹角  取何值时， BE AF    的值最大？并求出这个最大值. 图（1） 图（2） 江苏省 2010—2011 学年度第一学期期终考试 高一数学答卷 一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程， 请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ； 7． ； 8． ； 9． ； 10． ；11． ；12． ； 13． ； 14． ． 二．解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分 14 分） 16．（本题满分 14 分） 17．（本题满分 15 分） 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 学 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 座 位 号 _ _ _ _ _ _ _ _ 装 订 线 内 请 勿 答 题 18．（本题满分 16 分） 19．（本题满分 15 分） 20．（本题满分 16 分） 装 订 线 内 请 勿 答 题 A B O 江苏省 2010—2011 学年度第一学期期终考试 高一数学答案卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。不需要写出解答过程， 请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 1. 3 2  2. 2  3. 1 2  a + b 4. 三或四 5. 1 2  6. 90 7. 3 8. －5 9. ① ③ 10. sin(2 )4y x   11. 4 12. [ , ],6 3k k k Z      13. 12 5 14. 1 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解：由 tan 2  ① 2sin 3cos 4sin 9cos       = 2tan 3 2 2 3 14tan 9 4 2 9          ； ② 2sin 3sin cos 1     = 2 22sin 3sin cos cos     = 2 2 2 2 2sin 3sin cos cos sin cos          = 2 2 2tan 3tan 1 tan 1       = 3 5 16. （1）证明 ∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB . ∴ AB 、 BD 共线，又∵它们有公共点 B，∴A、B、D 三点共线. （2）解 ∵ka+b 与 a+kb 共线，∴存在实数  ，使 ka+b=  (a+kb), 即 ka+b=  a+  kb.∴(k-  )a=(  k-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量，∴k-  =  k-1=0，∴k2-1=0.∴k=±1. 17. 解 ∵A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4），∴ CA =（1，8）， CB =（6，3）， ∴ CM =3 CA =（3，24）， CN =2 CB =（12，6). 设 M（x，y），则有 CM =（x+3，y+4）， ∴      244 33 y x ，∴      20 0 y x ,∴M 点的坐标为（0，20）. 同理可求得 N 点坐标为（9，2），因此 MN =（9，-18）， 故所求点 M、N 的坐标分别为（0，20）、（9，2）， MN 的坐标为（9，-18）. 18. 解：(1) axxaxxxxf  2cos2sin32cos)62sin()62sin()(  .)62sin(2 ax   ∴ )(xf 的最小正周期 T . (2) 当 )(226222 Zkkxk   , 即 )(36 Zkkxk   时，函数 )(xf 单调递增， 故所求区间为 )](3,6[ Zkkk   (3) 当 ]2,0[ x 时， ]6 5,6[62  x ∴当 0x 时 )(xf 取得最小值, 即 2)6sin(2  a , ∴ 1a . 19. 解； (1) 2 1 0 4 2 1( ) 0 24 4 2 3 1 24 2 a a a aM a a a a              ( 20  a ) ( ) (2) 将 )(aM 2 代入( )式， 得 6a 或 3 10a ． 当 6a 时， 11)3(sin)( 2  xxf   5)( min xf ； 当 3 10a 时， 9 22)3 5(sin)( 2  xxf   3 1)( min xf ． (3) 6 2a   ， 3a  ． 20. 解： （1）|OA  +OB  |=  2 2 2 2 12 1 2 1 1 ( ) 1 12OA OB OA OA OB OB                  …………………………………5 分 （2）如图所示，建立直角坐标系，则 A（1，0），B 1 3,2 2      ，C cos ,sin  ． 由 ,OC xOA yOB    得 cos 2 yx   ， 3sin 2 y  ． 即 3 2 3cos sin , sin3 3x y     。则 3sin cosx y     = 2sin 6     又 20, 3       ，则 5,6 6 6          ，故当 3   时， x y 的最大值是 2．……11 分 （3） 30   时， BC  AD  的最大值为 33 2  ．…………………………………16 分