江苏省通州市 2010-2011 学年（上）高一期末调研抽测
数学试题
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在相应位置上。
1. 已知全集 RU ，集合
3
1,0,1P ， ,21
xxQ 则 QCP U ▲ 。
2. 函数
34
2log 4
xxf 的定义域是 ▲ 。
3. 设 5log,8log 25 nm ，则 m 与 n 的大小关系是 ▲ 。
4. 已知
5
3sin ，且 是第二象限角，则
2cos
2sin ▲ 。
5. 设向量 ba, 满足 43,2,1 baba ，则 ba 23 ▲ 。
6. 函数
2,0,6sin2 xxy 的值域是 ▲ 。
7. 已知函数 xfx
xgxxf
1,32 ，则 xg ▲ 。
8. 有下列 4 个函数：①
2sin xy ；② xy sin ；③ xy tan ；④ xy 2cos 。其中在
区间
2,0 上为增函数且以 为周期的函数是 ▲ 。（填出所有符合条件的序号）
9. 若方程 05lg xx 在区间 Zkkk 1, 上有解，则 k ▲ 。
10.将函数
42sin xy 的图象向左平移 0mm 个单位后，所得函数的图象与
xy 2cos 的图象重合，则 m 的最小值为 ▲ 。
11.已知函数 1,02
aaaaxf
xx
，若 31 f ，则
2
3f ▲ 。
12.在等式 40cos2sin310tan 的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这
个锐角是 ▲ 。
13.如图，矩形ORTM 内放置 5 个边长均为 1 的小正方形，
其中 DCBA ,,, 在矩形的边上，且 E 为 AD 的中点，
则 BDBCAE ▲ 。
M D
O RB
CA
E
T
E
14.若函数 xf 是偶函数，定义域为 4,4 ，且在 4,0 上是增函数，又 03 f ，则
0sin
x
xf 的解集是 ▲ 。
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分 14 分）
设函数 ( ) 16 4 xf x 的值域为 A ，不等式 lg( 1) 1x 的解集为 B ．
（1）求 A B ；
（2）若集合 | 1 1M x a x a ，且 A B M ，求实数 a 的取值范围．
16．（本小题满分 14 分）
平面内给定三个向量 3,2a ， 1,2b ， 4,1c ，回答下列三个问题：
（1）试写出将 a
用 b
， c
表示的表达式；
（2）若 2a kc b a ，求实数 k 的值；
（3）若向量 d
满足 //d b a c ，且 26d a ，求 d
．
17．（本小题满分 15 分）
设函数 ( )f x 是定义在 1,0 0,1 上的奇函数，当 1,0x 时， 2( ) af x xx
（ a 为实
数）．
（1）若 1 22f
，求 a 的值；
（2）当 0,1x 时，求 ( )f x 的解析式；
（3）当 2a 时，试判断 ( )f x 在 0,1 上的单调性，并证明你的结论．
18．（本小题满分 15 分）
如图，矩形纸片 ABCD 的边 24AB ， 25AD ，点 E 、 F 分别在边 AB 与 BC 上．现
将纸片的右下角沿 EF 翻折,使得顶点 B 翻折后的新位置 1B 恰好落在边 AD 上．设
BE tEF
， EF l ， l 关于 t 的函数为 ( )l f t ，试求：
（1）函数 ( )f t 的解析式；
B
C
A
D
E
F
1B
第 18 题图
（2）函数 ( )f t 的定义域．
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 ( ) sin( )f x M x （其中 0, 0,| | 2M ）的图象如图所示．
（1）求函数 ( )f x 的表达式；
（2）设 π 2π 5 π 3 4, , , , ,6 3 6 3 2 5 2 5f f
，求 cos2( ) 的值．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 2( ) 4 3f x x x a ， ( ) 5 2g x mx m ．
（1）若 ( )y f x 在 1,1x 上存在零点，求实数 a 的取值范围；
（2）当 0a 时，若对任意的 1 1,4x ，总存在 2 1,4x ，使 1 2( ) ( )f x g x 成立，求实
数 m 的取值范围；
（3）若 ( )y f x ,4x t 的值域为区间 D ，是否存在常数 t ，使区间 D 的长度为
7 2t ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（注：区间 ,p q 的长度为 q p ）．
2010—2011 学年(上)高一期末调研抽测
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在相应位置上．
1． 10, 3
； 2． 3 ,4
；3． m n ；4． 3
2
；5． 7 ；6． 1,2 ；7． 3 1
1
x
x
；
8．③④； 9．4；10．3
8
；11．5 2 ；12．80 ；13．7；14．( π, 3] (0, 3] (π, 4]
二、解答题：本大题共六小题，共计 90 分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
第 19 题图
15．解：由 0 16 4 16x ， 0,4A …………………………………3 分
由 0 1 10x 得1 11x ， 1,11B …………………………………6 分
(1) 0,11A B …………………………………………8 分
(2) 1,4A B …………………………………………10 分
由 A B M 知， 1 4a ≥ 或 1 1a ≤ ………………………………12 分
0a ≤ 或 5a≥ ． …………………………………………14 分
16．解：（1）设 a mb nc ， ,m n R , ………………………………………1 分
则 3,2 1,2 4,1m n ，即 4 3
2 2
m n
m n
，
5 8,9 9m n 5 8
9 9a b c ． …………………………………3 分
（2） 3 4 ,2a kc k k ， 2 5,2b a
……………………………5 分
由 2a kc b a 知， 5 3 4 2 2 0k k …………………………7 分
11
18k ． …………………………………………8 分
（3）设 ,d x y ， ,x y R
则 1, 2d b x y ， 1,1a c
由 //d b a c 知， 1 2 0x y ，即 1 0x y ① ……………10 分
又 26d a ，即 2 23 2 26x y ② ………………12 分
联立①②，解得 2
3
x
y
或 2
1
x
y
2, 3d 或 2,1d ． ………………………………14 分
17．解：（1） ( )f x 是奇函数， 1 1 22 2f f
………………………1 分
12 24a ， 9
8a ． ………………………………………2 分
（2）设 0,1x ，则 1,0x ………………………………………3 分
2( ) af x xx
………………………………………5 分
( )f x 是奇函数， ( ) ( )f x f x
2( ) af x xx
． ………………………………………7 分
（3）当 2a 时， ( )f x 在 0,1 上单调递减 ………………………………………8 分
证明：设 1 2, 0,1x x 且 1 1x x ………………………………………9 分
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1( ) ( ) a af x f x x x a x xx x x x
= 1 2
1 2 1 2
1 2
x x x x x x ax x
…………………………… …………………11 分
1 2, 0,1x x 1 2
1 2
0x x
x x
， 1 2 1 2 0,2x x x x …… ………………………13 分
当 2a 时， 1 2 1 2 0x x x x a ……………………………………14 分
1 2( ) ( ) 0f x f x 即 1 2( ) ( )f x f x
当 2a 时， ( )f x 在 0,1 上单调递减． ………………… ……………15 分
18．解：（1）设 BFE ，则 sint ． ………………… ……………2 分
由于 1B FE BFE ， 1 2FB E FBE ，
则 1 2 22 2AB E ，即 1 2AEB ． ………… ……………………4 分
而 1sin , cos2 sin cos2BE l AE B E l ， 24AE BE AB ，
所以 sin sin cos2 24l l ， ………………………………6 分
解得 24 24
sin sin cos2 sin (1 cos2 )l 2 2
24 12
sin (2 2sin ) sin (1 sin )
．
故 3
12( )l f t t t
． …………………………………8 分
（2）一方面，当点 E 与点 A 重合时, 取最大值为
4
， sint 取最大值为 2
2
。。10 分
另一方面，当点 E 向右运动时，BE 长度变小，为保持点 1B 在边 AD 上，则点 F 要向上
运动，
当点 F 与点 C 重合时， sin 取得最小值．
又当点 F 与点 C 重合时，有 25tan 25tan cos2 24 ，… ……………………12 分
化简得， 12sin cos 25
，结合 2 2sin cos 1 ， 0 4
，解之得 3sin 5
．……14 分
所以 3 2sin [ , ]5 2
，从而，函数 ( )f t 的定义域为 3 2[ , ]5 2t ． …………………15 分
19．解：（1）由图知， 1M ， ……………………………………… 1 分
周期 74 12 3T
， 2 2
( ) sin(2 )f x x ……………………………………………… 3 分
又 7 112f ， 7sin 16
，
7 32 ( )6 2k k Z 2 3k
| | ,2 3
( ) sin(2 )3f x x ．…………………………………………………… 6 分
（2）因为 3 4,2 5 2 5f f
，
所以 π 3 π 4sin , sin3 5 3 5 . ……………………………………… 7 分
因为 π 2π 5 π, , , ,6 3 6 3
所以 π π π π, π , , 03 2 3 2
于是 π 4 π 3cos , cos .3 5 3 5 ………………………………………… 10 分
因为 π πsin sin 3 3
………………………………………… 12 分
π π π πsin cos cos sin3 3 3 3
3 3 4 4 7 ,5 5 5 5 25 ………………………… 14 分
所以 2
2 7 527cos2( ) 1 2sin ( ) 1 2 25 625 ． …… 16 分
20．解：（1）由函数 2( ) 4 3f x x x a 的对称轴是 2x ，
知 ( )f x 在区间 1,1 上是减函数， ……………………………………… 2 分
因为函数在区间 1,1 上存在零点，则必有：
1 0
1 0
f
f
≤
≥
即 0
8 0
a
a
≤
≥ ，解得 0a-8≤ ≤ ，
故所求实数 a 的取值范围为 8,0 ． ………………………………………… 4 分
（2）若对任意的 1 1,4x ，总存在 2 1,4x ，使 1 2( ) ( )f x g x 成立，
只需函数 ( )y f x 的值域是函数 ( )y g x 的值域的子集． …………………… 6 分
当 0a 时， 2( ) 4 3f x x x ， 1,4x 的值域为 1,3 ， ………………… 7 分
下面求 ( ) 5 2g x mx m ， 1,4x 的值域．
①当 0m 时， ( ) 5g x 为常数，不符合题意，舍去；
②当 0m 时， ( )g x 的值域为 5 ,5 2m m ，要使 1,3 5 ,5 2m m ，
需 5
5 2 3
m
m
- ≤-1
≥ ，解得 m≥6 ；
③当 0m 时， ( )g x 的值域为 5 2 ,5m m ，要使 1,3 5 2 ,5m m ，
需 5 2
5 3
m
m
≤-1
- ≥ ，解得 m≤-3 ；
综上， m 的取值范围为 , 3 6, ． …………………………………… 10 分
(Ⅲ)由题意知 4
7 2 0
t
t
，可得 7
2t ． …………………………………… 12 分
①当t≤0 时，在区间 ,4t 上， ( )f t 最大， (2)f 最小，
所以 ( ) (2) 7 2f t f t 即 2 2 3 0t t ，解得 1t 或 3t （舍去）；
②当 0 t ≤2 时，在区间 ,4t 上， (4)f 最大， (2)f 最小，
所以 (4) (2) 7 2f f t 即 4 7 2t ，解得 3
2t ；
③当 72 2t 时，在区间 ,4t 上， (4)f 最大， ( )f t 最小，
所以 (4) ( ) 7 2f f t t 即 2 6 7 0t t ，解得 3 2t （舍去）
综上所述，存在常数 t 满足题意， 1t 或 3
2
． ………………………………… 16 分
微信/支付宝扫码支付