数学必修二模块试题
石油中学 胡伟红
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底
边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)
是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形．则该几何体
的体积为（ ）
（A）48 （B）64 （C）96 （D）192
2．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
3、若直线 2x－3y+6=0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 450 角，则此时在 x
轴上的截距是 ( )
A.
5
4 B.
5
2 C. －
4
5 D.
5
2
4．一个凸多面体的面数为 8，各面多边形的内角总和为 16π，则它的棱数为
（ ）
A．24 B．22 C．18 D．16
5．在棱长为 1 的正方体 AC1 中，对角线 AC1 在六个面上的射影长度总和是
（ ）
A． 36 B． 26 C．6 D． 63
6、如果直线沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又
回到原来的位置，那么直线 l 的斜率是( )
A. －
3
1 B. －3 C.
3
1 D . 3
7．棱长为 a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积
为（ ）
A．
3
3a B．
4
3a C．
6
3a D．
12
3a
3、过点 P（1，1）作直线 L 与两坐标轴相交所得三角形面积为 10，直线 L 有（ ）
（A）、一条 （B）、两条 （C）、三条 （D）、四条
9．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至
把容器注满．在注水过程中水面的高度曲线如右图所示，
其中 PQ 为一线段，则与此图相对应的容器的形状是（ ）
A． B． C． D．
10、如图，一个封闭的立方体，它的六
个表面各标有A,B,C,D,E,F这六个字母
之一，现放置成如图的三种不同的位
置，则字母 A,B,C 对面的字母分别为
（ ）
A) D ,E ,F B) F ,D ,E
C) E, F ,D D) E, D,F
二、填空题：本大题满分 16 分，每小题 4 分，各题只要求直接写出结果．
11．当 a+b+c=0 时，直线 ax+by+c=0 必过定点_______
12．已知直线 0125 ayx 与圆 02 22 yxx 相切，则 a 的值为________.
13．圆 0104422 yxyx 上的点到直线 014 yx 的最大距离与最小距离
的差是
14．．若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
三、解答题：本大题满分 44 分．
15．（10 分）过点 P（1，4），作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标
轴上的截距之和最小时，求此直线方程.
C
B
AA
D
C E
B
C
16.（10 分）已知圆心在直线 2x+y=0 上，且过点 A（2，－1），与直线 x－y－1=0
相切，求圆的方程。
17．（12 分）长方体的底面积是 4，对角线长是 4，
求长方体侧面积的最大值．
18、（12 分）已知 x2+y2=9 的内接△ABC 中，点 A 的坐标是(－3,0)，重心 G 的坐
标是( )1,2
1 ，求(1)直线 BC 的方程;(2)弦 BC 的长度.
四．附加题（20 分）
19. (5 分) 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A－BD－C，有如下四个结
论：（1）AC⊥BD；（2）△ACD 是等边三角形 （3）AB 与平面 BCD 所成的角为 60°；
（4）AB 与 CD 所成的角为 60°。则正确结论的序号为＿＿＿＿
20、(5 分)半径为 a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角
顶点的距离为________________；
21．(10 分)如图，在棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD 中，
p 是侧棱 1CC 上的一点， mCP .
（Ⅰ）试确定 m ，使得直线 AP 与平面
11BBDD 所成角的正切值为 23 ；
（Ⅱ）在线段 11CA 上是否存在一个定
点Q ，使得对任意的 m ， QD1 在平面 1APD
上的射影垂直于 AP .
并证明你的结论.
参 考 答 案
一、选择题：每小题 5 分，共 60 分．
1．B 2．B 3．D 4．D 5．B 6．A 7．C 8． 9．C 10．B
二、填空题：本大题满分 16 分，每小题 4 分．
11．(1,1) 12. a =8 或－18.
13． 2742
3333 2 RSRd 14．18.
三、解答题：本大题满分 74 分．
15.解： 设所求直线 L 的方程为： )0,0(1 bab
y
a
x
∵直线 L 经过点 P（1，4） ∴ 141
ba
∴ 942545))(41(
a
b
b
a
a
b
b
abababa
当 且仅当
b
a4
a
b 即 a=3,b=6 时 a+b 有最小値为 9，此时所求直线方程为
2x+y-6=0。
16．解：由圆心在直线 2x+y=0 上，设圆心坐标为(x0,－2x0)∵过点 A（2，－1）
且与直线 x－y－1=0 相切，∴
2
12)12()2( 002
0
2
0
xxxx ,解得 x0=1
或 x0=9 当 x0=1 时，半径 r= 2 ，当 x0=9 时，半径 r= 213 ,
∴所求圆的方程为:(x－1)2+(y+2)2=2 或(x－9)2+(y+18)2=338
17． 解：设长方体的底面长，宽分别为 x,y, 高为 z．（2 分）
则 )2......(4),1.......(4 2222 zyxxy
由：（1）、（2），得 2
2
2 )x
4x(24
x
16x16z ．（4 分）
∵ ,4x
4x ∴ ]22,0(z,22z 即 .（6 分）
18、解：设 B(x1,y1),C(x2,y2),连 AG 交 BC 于 M，则 M 为 BC 的中点,
由三角形的重心公式得:
4
3
2
2
3
2
2
1
3
)3(
102
21
21
21
21
xx
yy
xx
yy ,
∴点 M 的坐标为( )2
3,4
3 ，连结 OM，则 OM⊥BC，又 kOM=－2, ∴kBC=
2
1 。∴BC
的方程为 y+ )4
3(2
1
2
3 x ,即 4x－8y－15=0.
(2)连结 OB，在 Rt△OB M 中,
112
3
16
4592,4
53,22 22 BCOMOMOBBMBC
由方程 x2+xy－6y2=0 所确定的两条直线的夹角为
19.（1）（2）（4） 20。 a3 ；
20.解法 1：（Ⅰ）连 AC，设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 1 1BDD B 相交于点，,
连结 OG，因为 PC∥平面 1 1BDD B ，平面 1 1BDD B ∩平面 APC＝OG,
故 OG∥PC，所以，OG＝
2
1 PC＝
2
m .
又 AO⊥BD,AO⊥BB1，所以 AO⊥平面 1 1BDD B ，
故∠AGO 是 AP 与平面 1 1BDD B 所成的角.
在 Rt△AOG 中，tan AGO＝ 23
2
2
2
mGO
OA ，即 m＝
3
1 .
所以，当 m＝
3
1 时，直线 AP 与平面 1 1BDD B 所成的角的正切值为3 2 .
（Ⅱ）可以推测，点 Q 应当是 AICI 的中点 O1，因为
D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面 ACC1A1，
又 AP 平面 ACC1A1，故 D1O1⊥AP.
那么根据三垂线定理知，D1O1 在平面
APD1 的射影与 AP 垂直。
解法二：(Ⅰ)建立如图所示的空间直
角坐标系，则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，
P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，
B1(1，1，1)，D1(0，0，1)
j
P
O
1
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
z
y
x
所以 1( 1, 1,0), (0,0,1), ( 1,1, ), ( 1,1,0).BD BB AP m AC
又由 10, 0AC BD AC BB 知， AC
为平面 1 1BB D D 的一个法向量。
设 AP 与 平 面 1 1BB D D 所 成 的 角 为 ， 则
2
2sin cos( )2 2 2
AP AC
AP AC m
。 依 题 意 有
2 2
2 3 2 ,
2 2 1 (3 2)m
解得 1
3m 。故当 1
3m 时，直线 AP 与平面 1 1BB D D 所
成的角的正切值为3 2 。
（Ⅱ）若在 A1C1 上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为 x ，则 Q(x，1－ x ，
1)， 1 ( ,1 ,0)D Q x x 。依题意，对任意的 m 要使 D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于
AP，等价于 D1Q⊥AP 1
10 (1 ) 0 .2AP D Q x x x 即 Q 为 A1C1 的中点
时，满足题设要求。
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