2017年天水市中考数学试卷及答案解析

2017 年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．若 x 与 3 互为相反数，则|x+3|等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1 4．下列说法正确的是（ ） A．不可能事件发生的概率为 0 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数一定是 500 次 5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg 的煤所产生的能量．把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为（ ） A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg 6．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ） A． B． C． D． 7．关于 的叙述不正确的是（ ） A． =2 B．面积是 8 的正方形的边长是 C． 是有理数 D．在数轴上可以找到表示 的点 8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ） ①函数 y=x；②函数 y=x2；③函数 y= ． A．①② B．②③ C．①③ D．都不是 9．如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则 S 阴影=（ ） A．2π B． π C． π D． π 10．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点 P 从点 B 出发，以 cm/s 的速度沿 BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BA ﹣AC 方向运动到点 C 停止，若△BPQ 的面积为 y（cm2），运动时间为 x（s），则 下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） A． B． C ． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 11．若式子 有意义，则 x 的取值范围是 ． 12．分解因式：x3﹣x= ． 13．定义一种新的运算：x*y= ，如：3*1= = ，则（2*3）*2= ． 14．如图所示，在矩形 ABCD 中，∠DAC=65°，点 E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C′处，则∠AFC′= ． 15．观察下列的“蜂窝图” 则第 n 个图案中的“ ”的个数是 ．（用含有 n 的代数式表示） 16．如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 米． 17．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 BE=1，P 是对 角线 AC 上的一动点，连接 PB、PE，当点 P 在 AC 上运动时，△PBE 周长的最小 值是 ． 18．如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A （1，3），与 x 轴的一个交点是 B（4，0），直线 y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论： ①abc＞0；②方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；③抛物线与 x 轴的另一个交 点是（﹣1，0）；④当 1＜x＜4 时，有 y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的 结论是 ．（只填写序号） 三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分） 19．（1）计算：﹣14+ sin60°+（ ）﹣2﹣（π﹣ ）0 （2）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 x= ﹣1． 20．一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60°方向的 A 处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离．（结果保留根号） 21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行 了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一 项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图． 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 1 根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）八年级一班有多少名学生？ （2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位 同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方 法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率． 四、解答题（共 50 分） 22．如图所示，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象交于 A（2，4），B（﹣ 4，n）两点． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C，连接 AC，求△ACB 的面积． 23．如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦 BD 的中点，点 C 是⊙O 外一点 且∠DBC=∠A，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与 BC 相交于点 C． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 6，BC=8，求弦 BD 的长． 24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买 A 型和 B 型两行环保节能公交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A 型公交车 2 辆，B 型公交车 1 辆，共需 350 万元， （1）求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次．若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1220 万元，且确 保这 10 辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于 650 万人次，则该公司有哪 几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 25．△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合，将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中， 线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q． （1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 BP=2，CQ=9 时 BC 的长． 26．如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l：y=kx+b 与 y 轴负 半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD=4AC． （1）求 A、B 两点的坐标及抛物线的对称轴； （2）求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）； （3）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值； （4）设 P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶 点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 2017 年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．若 x 与 3 互为相反数，则|x+3|等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】15：绝对值；14：相反数． 【分析】先求出 x 的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵x 与 3 互为相反数， ∴x=﹣3， ∴|x+3|=|﹣3+3|=0． 故选 A． 2．如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】U2：简单组合体的三视图． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视 图中． 【解答】解：从上面看易得横着的“ ”字， 故选 C． 3．下列运算正确的是（ ） A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy2 C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1 【考点】4H：整式的除法；35：合并同类项；49：单项式乘单项式． 【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案． 【解答】解：A、2x+y 无法计算，故此选项错误； B、x•2y2=2xy2，正确； C、2x÷x2= ，故此选项错误； D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误； 故选：B． 4．下列说法正确的是（ ） A．不可能事件发生的概率为 0 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数一定是 500 次 【考点】X3：概率的意义． 【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生， 也可能不发生的事件，发生的机会大于 0 并且小于 1，进行判断． 【解答】解：A、不可能事件发生的概率为 0，故本选项正确； B、随机事件发生的概率 P 为 0＜P＜1，故本选项错误； C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误； D、投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是 多少次，故本选项错误； 故选 A． 5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧 130 000 000kg 的煤所产生的能量．把 130 000 000kg 用科学记数法可表示为（ ） A．13×107kg B．0.13×108kg C．1.3×107kg D．1.3×108kg 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：130 000 000kg=1.3×108kg． 故选：D． 6．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cosB 的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义． 【分析】先设小正方形的边长为 1，然后找个与∠B 有关的 RT△ABD，算出 AB 的长，再求出 BD 的长，即可求出余弦值． 【解答】解：设小正方形的边长为 1，则 AB=4 ，BD=4， ∴cos∠B= = ． 故选 B． 7．关于 的叙述不正确的是（ ） A． =2 B．面积是 8 的正方形的边长是 C． 是有理数 D．在数轴上可以找到表示 的点 【考点】27：实数． 【分析】 =2 ， 是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是 8 的正 方形的边长，由此作判断． 【解答】解：A、 =2 ，所以此选项叙述正确； B、面积是 8 的正方形的边长是 ，所以此选项叙述正确； C、 =2 ，它是无理数，所以此选项叙述不正确； D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示 的点；所以此选项叙述正确； 本题选择叙述不正确的， 故选 C． 8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ） ①函数 y=x；②函数 y=x2；③函数 y= ． A．①② B．②③ C．①③ D．都不是 【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图 象；R5：中心对称图形． 【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点． 【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形． 故选 C 9．如图，AB 是圆 O 的直径，弦 CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 ，则 S 阴影=（ ） A．2π B． π C． π D． π 【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算． 【分析】根据垂径定理求得 CE=ED=2 ，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后 通过解直角三角形求得线段 OD、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入 S 阴影=S 扇形 ODB﹣S△DOE+S△BEC． 【解答】解：如图，假设线段 CD、AB 交于点 E， ∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB， ∴CE=ED=2 ， 又∵∠BCD=30°， ∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE•cot60°=2 × =2，OD=2OE=4， ∴ S 阴 影 =S 扇 形 ODB ﹣ S △ DOE+S △ BEC= ﹣ OE × DE+ BE•CE= ﹣ 2 +2 = ． 故选 B． 10．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点 P 从点 B 出发，以 cm/s 的速度沿 BC 方向运动到点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BA ﹣AC 方向运动到点 C 停止，若△BPQ 的面积为 y（cm2），运动时间为 x（s），则 下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） A． B． C ． D． 【考点】E7：动点问题的函数图象． 【分析】作 AH⊥BC 于 H，根据等腰三角形的性质得 BH=CH，利用∠B=30°可计 算出 AH= AB=2，BH= AH=2 ，则 BC=2BH=4 ，利用速度公式可得点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s，然后分类讨论：当 0≤x≤4 时，作 QD⊥ BC 于 D，如图 1，BQ=x，BP= x，DQ= BQ= x，利用三角形面积公式得到 y= x2； 当 4＜x≤8 时，作 QD⊥BC 于 D，如图 2，CQ=8﹣x，BP=4 ，DQ= CQ= （8 ﹣x），利用三角形面积公式得 y=﹣ x+8 ，于是可得 0≤x≤4 时，函数图象为 抛物线的一部分，当 4＜x≤8 时，函数图象为线段，则易得答案为 D． 【解答】解：作 AH⊥BC 于 H， ∵AB=AC=4cm， ∴BH=CH， ∵∠B=30°， ∴AH= AB=2，BH= AH=2 ， ∴BC=2BH=4 ， ∵点 P 运动的速度为 cm/s，Q 点运动的速度为 1cm/s， ∴点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s， 当 0≤x≤4 时，作 QD⊥BC 于 D，如图 1，BQ=x，BP= x， 在 Rt△BDQ 中，DQ= BQ= x， ∴y= • x• x= x2， 当 4＜x≤8 时，作 QD⊥BC 于 D，如图 2，CQ=8﹣x，BP=4 在 Rt△BDQ 中，DQ= CQ= （8﹣x）， ∴y= • （8﹣x）•4 =﹣ x+8 ， 综上所述，y= ． 故选 D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 11．若式子 有意义，则 x 的取值范围是 x≥﹣2 且 x≠0 ． 【考点】72：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件． 【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数． 【解答】解：根据题意，得 x+2≥0，且 x≠0， 解得 x≥﹣2 且 x≠0． 故答案是：x≥﹣2 且 x≠0． 12．分解因式：x3﹣x= x（x+1）（x﹣1） ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】本题可先提公因式 x，分解成 x（x2﹣1），而 x2﹣1 可利用平方差公式分 解． 【解答】解：x3﹣x， =x（x2﹣1）， =x（x+1）（x﹣1）． 故答案为：x（x+1）（x﹣1）． 13．定义一种新的运算：x*y= ，如：3*1= = ，则（2*3）*2= 2 ． 【考点】1G：有理数的混合运算． 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（ ）*2=4*2= =2， 故答案为：2 14．如图所示，在矩形 ABCD 中，∠DAC=65°，点 E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于点 F，将△BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C′处，则∠AFC′= 40° ． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，再根据翻折变换的性质判断出 四边形 BCEC′是正方形，根据正方形的性质可得∠BEC=45°，然后根据三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BFC，再根据翻折变换的性质可得 ∠BFC′=∠BFC，然后根据平角等于 180°列式计算即可得解． 【解答】解：∵矩形 ABCD，∠DAC=65°， ∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°， ∵△BCE 沿 BE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 C′处， ∴四边形 BCEC′是正方形， ∴∠BEC=45°， 由三角形的外角性质，∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°， 由翻折的性质得，∠BFC′=∠BFC=70°， ∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°． 故答案为：40°． 15．观察下列的“蜂窝图” 则第 n 个图案中的“ ”的个数是 3n+1 ．（用含有 n 的代数式表示） 【考点】38：规律型：图形的变化类． 【分析】根据题意可知：第 1 个图有 4 个图案，第 2 个共有 7 个图案，第 3 个共 有 10 个图案，第 4 个共有 13‘个图案，由此可得出规律． 【解答】解：由题意可知：每 1 个都比前一个多出了 3 个“ ”， ∴第 n 个图案中共有“ ”为：4+3（n﹣1）=3n+1 故答案为：3n+1 16．如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 5 米． 【考点】SA：相似三角形的应用． 【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长． 【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知 = ，即 = ， 解得 AM=5m．则小明的影长为 5 米． 17．如图所示，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是边 BC 上的一点，且 BE=1，P 是对 角线 AC 上的一动点，连接 PB、PE，当点 P 在 AC 上运动时，△PBE 周长的最小 值是 6 ． 【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质． 【分析】根据两点之间线段最短和点 B 和点 D 关于 AC 对称，即可求得△PBE 周 长的最小值，本题得以解决． 【解答】解：连接 DE 于 AC 交于点 P′，连接 BP′，则此时△BP′E 的周长就是△PBE 周长的最小值， ∵BE=1，BC=CD=4， ∴CE=3，DE=5， ∴BP′+P′E=DE=5， ∴△PBE 周长的最小值是 5+1=6， 故答案为：6． 18．如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A （1，3），与 x 轴的一个交点是 B（4，0），直线 y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论： ①abc＞0；②方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根；③抛物线与 x 轴的另一个交 点是（﹣1，0）；④当 1＜x＜4 时，有 y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的 结论是 ②⑤ ．（只填写序号） 【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA： 抛物线与 x 轴的交点． 【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一 一判断即可． 【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故 abc＜0，故①错误． 观察图象可知，抛物线与直线 y=3 只有一个交点，故方程 ax2+bx+c=3 有两个相等 的实数根，故②正确． 根据对称性可知抛物线与 x 轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误， 观察图象可知，当 1＜x＜4 时，有 y2＜y1，故④错误， 因为 x=1 时，y1 有最大值，所以 ax2+bx+c≤a+b+c，即 x（ax+b）≤a+b，故⑤正 确， 所以②⑤正确， 故答案为②⑤． 三、解答题（本大题共 3 小题，共 28 分） 19．（1）计算：﹣14+ sin60°+（ ）﹣2﹣（π﹣ ）0 （2）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中 x= ﹣1． 【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数 指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可； （2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出 值． 【解答】解：（1）﹣14+ sin60°+（ ）﹣2﹣（π﹣ ）0=﹣1+2 × +4﹣1=5； （2）（1﹣ ）÷ = × = ， 当 x= ﹣1 时， 原式= ． 20．一艘轮船位于灯塔 P 南偏西 60°方向的 A 处，它向东航行 20 海里到达灯塔 P 南偏西 45°方向上的 B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离．（结果保留根号） 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用． 【分析】利用题意得到 AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，如图，在 Rt △APC 中，利用余弦的定义计算出 PC=10，利用勾股定理计算出 AC=10 ，再判 断△PBC 为等腰直角三角形得到 BC=PC=10，然后计算 AC﹣BC 即可． 【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=200， 在 Rt△APC 中，∵cos∠APC= ， ∴PC=20•cos60°=10， ∴AC= =10 ， 在△PBC 中，∵∠BPC=45°， ∴△PBC 为等腰直角三角形， ∴BC=PC=10， ∴AB=AC﹣BC=10 ﹣10（海里）． 答：轮船航行途中与灯塔 P 的最短距离是（10 ﹣10）海里． 21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行 了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一 项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图． 类别 频数（人数） 频率 小说 0.5 戏剧 4 散文 10 0.25 其他 6 合计 1 根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）八年级一班有多少名学生？ （2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比； （3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位 同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方 法，求选取的 2 人恰好是乙和丙的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图． 【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数； （2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定 出所求概率． 【解答】解：（1）∵喜欢散文的有 10 人，频率为 0.25， ∴总人数=10÷0.25=40（人）； （2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为 ×100%=15%， 故答案为：15%； （3）画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是丙与乙的情况有 2 种， ∴P（丙和乙）= = ． 四、解答题（共 50 分） 22．如图所示，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象交于 A（2，4），B（﹣ 4，n）两点． （1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C，连接 AC，求△ACB 的面积． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）将点 A 坐标代入 y= 可得反比例函数解析式，据此求得点 B 坐标， 根据 A、B 两点坐标可得直线解析式； （2）根据点 B 坐标可得底边 BC=2，由 A、B 两点的横坐标可得 BC 边上的高，据 此可得． 【解答】解：（1）将点 A（2，4）代入 y= ，得：m=8， 则反比例函数解析式为 y= ， 当 x=﹣4 时，y=﹣2， 则点 B（﹣4，﹣2）， 将点 A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入 y=kx+b， 得： ， 解得： ， 则一次函数解析式为 y=x+2； （2）由题意知 BC=2， 则△ACB 的面积= ×2×6=6． 23．如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦 BD 的中点，点 C 是⊙O 外一点 且∠DBC=∠A，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与 BC 相交于点 C． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 6，BC=8，求弦 BD 的长． 【考点】MD：切线的判定． 【分析】（1）连接 OB，由垂径定理的推论得出 BE=DE，OE⊥BD， = ， 由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可； （2）由勾股定理求出 OC，由△OBC 的面积求出 BE，即可得出弦 BD 的长． 【解答】（1）证明：连接 OB，如图所示： ∵E 是弦 BD 的中点， ∴BE=DE，OE⊥BD， = ， ∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°， ∵∠DBC=∠A， ∴∠BOE=∠DBC， ∴∠OBE+∠DBC=90°， ∴∠OBC=90°， 即 BC⊥OB， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB， ∴OC= =10， ∵△OBC 的面积= OC•BE= OB•BC， ∴BE= = =4.8， ∴BD=2BE=9.6， 即弦 BD 的长为 9.6． 24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买 A 型和 B 型两行环保节能公交车共 10 辆，若购买 A 型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；若购买 A 型公交车 2 辆，B 型公交车 1 辆，共需 350 万元， （1）求购买 A 型和 B 型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上 A 型和 B 型公交车每辆年均载客量分别为 60 万人次和 100 万人次．若该公司购买 A 型和 B 型公交车的总费用不超过 1220 万元，且确 保这 10 辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于 650 万人次，则该公司有哪 几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【考点】CE：一元一次不等式组的应用；9A：二元一次方程组的应用． 【分析】（1）设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y 万元， 根据“A 型公交车 1 辆，B 型公交车 2 辆，共需 400 万元；A 型公交车 2 辆，B 型 公交车 1 辆，共需 350 万元”列出方程组解决问题； （2）设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车（10﹣a）辆，由“购买 A 型和 B 型 公交车的总费用不超过 1220 万元”和“10 辆公交车在该线路的年均载客总和不少 于 650 万人次”列出不等式组探讨得出答案即可． 【解答】解：（1）设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，购买 B 型公交车每辆需 y 万元，由题意得 ， 解得 ， 答：购买 A 型公交车每辆需 100 万元，购买 B 型公交车每辆需 150 万元． （2）设购买 A 型公交车 a 辆，则 B 型公交车（10﹣a）辆，由题意得 ， 解得： ≤a≤ ， 因为 a 是整数， 所以 a=6，7，8； 则（10﹣a）=4，3，2； 三种方案： ①购买 A 型公交车 6 辆，则 B 型公交车 4 辆：100×6+150×4=1200 万元； ②购买 A 型公交车 7 辆，则 B 型公交车 3 辆：100×7+150×3=1150 万元； ③购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆：100×8+150×2=1100 万元； 购买 A 型公交车 8 辆，则 B 型公交车 2 辆费用最少，最少总费用为 1100 万元． 25．△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜边 BC 的中点重合，将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中， 线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q． （1）如图①，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE； （2）如图②，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当 BP=2，CQ=9 时 BC 的长． 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW： 等腰直角三角形；R2：旋转的性质． 【分析】（1）由△ABC 是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由 AP=AQ， E 是 BC 的中点，利用 SAS，可证得：△BPE≌△CQE； （2）由△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°， 然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ； 根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 BE 的长，即可得 BC 的长， 【解答】（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E 是 BC 的中点， ∴BE=CE， 在△BPE 和△CQE 中， ∵ ， ∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）解：连接 PQ， ∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°， ∵∠BEQ=∠EQC+∠C， 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CEQ， ∴ = ， ∵BP=2，CQ=9，BE=CE， ∴BE2=18， ∴BE=CE=3 ， ∴BC=6 ． 26．如图所示，在平面直角坐标系中 xOy 中，抛物线 y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l：y=kx+b 与 y 轴负 半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD=4AC． （1）求 A、B 两点的坐标及抛物线的对称轴； （2）求直线 l 的函数表达式（其中 k、b 用含 a 的式子表示）； （3）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值； （4）设 P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶 点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）解方程即可得到结论； （2）根据直线 l：y=kx+b 过 A（﹣1，0），得到直线 l：y=kx+k，解方程得到点 D 的横坐标为 4，求得 k=a，得到直线 l 的函数表达式为 y=ax+a； （3）过 E 作 EF∥y 轴交直线 l 于 F，设 E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到 F（x，ax+a）， 求出 EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （4）令 ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即 ax2﹣3ax﹣4a=0，得到 D（4，5a），设 P（1，m）， ①若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边，②若 AD 是矩形 APDQ 的对角线，列方程即可 得到结论． 【解答】解：（1）当 y=0 时，ax2﹣2ax﹣3a=0， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 对称轴为直线 x= =1； （2）∵直线 l：y=kx+b 过 A（﹣1，0）， ∴0=﹣k+b， 即 k=b， ∴直线 l：y=kx+k， ∵抛物线与直线 l 交于点 A，D， ∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k， 即 ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0， ∵CD=4AC， ∴点 D 的横坐标为 4， ∴﹣3﹣ =﹣1×4， ∴k=a， ∴直线 l 的函数表达式为 y=ax+a； （3）过 E 作 EF∥y 轴交直线 l 于 F，设 E（x，ax2﹣2ax﹣3a）， 则 F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a， ∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF= （ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣ （ax2﹣3ax﹣4a）x= （ax2﹣ 3ax﹣4a）= a（x﹣ ）2﹣ a， ∴△ACE 的面积的最大值=﹣ a， ∵△ACE 的面积的最大值为 ， ∴﹣ a= ， 解得 a=﹣ ； （4）以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形， 令 ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即 ax2﹣3ax﹣4a=0， 解得：x1=1，x2=4， ∴D（4，5a）， ∵抛物线的对称轴为直线 x=1， 设 P（1，m）， ①若 AD 是矩形 ADPQ 的一条边， 则易得 Q（﹣4，21a）， m=21a+5a=26a，则 P（1，26a）， ∵四边形 ADPQ 是矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2， ∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2， 即 a2= ， ∵a＜0， ∴a=﹣ ， ∴P（1，﹣ ）； ②若 AD 是矩形 APDQ 的对角线， 则易得 Q（2，﹣3a）， m=5a﹣（﹣3a）=8a，则 P（1，8a）， ∵四边形 APDQ 是矩形， ∴∠APD=90°， ∴AP2+PD2=AD2， ∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2， 即 a2= ， ∵a＜0， ∴a=﹣ ， ∴P（1，﹣4）， 综上所述，点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能成为矩形，点 P（1，﹣ ）或 （1，﹣4）． 2017 年 7 月 2 日