2016-2017年高二数学（理）期中试卷及答案

2016-2017 学年高二年级期中考试 数学试题（理科） 时间：120 分钟 分值：150 分 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。） 1、向量 a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若 a⊥b，则 m 的值为( ) A.0 B.6 C.-6 D.±6 2．下列说法中正确的是 ( )． A．若|a|＝|b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反 B．若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b|[来源:学,科,网] C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形 ABCD 中，一定有AB→＋AD→＝AC→ 3．设 P 是椭圆 x2 169 ＋ y2 144 ＝1 上一点，F1、F2 是椭圆的焦点，若|PF1|等于 4，则|PF2|等于( ) A．22 B．21 C．20 D．13 4．双曲线方程为 152|| 22  k y k x ，那么 k 的取值范围是（ ） A．k＞5 B．2＜k＜5 C．－2＜k＜2 D．－2＜k＜2 或 k＞5 5．F1、F2 是椭圆x2 9 ＋y2 7 ＝1 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2 的面积为 ( ) A．7 B.7 2 C.7 4 D.7 5 2 6、P 为抛物线 pxy 22  上任一点，F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与 y 轴（ ） .A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由 P 确定 7.已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P.若AP→＝2PB→，则椭圆的离心率是( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 3 D.1 2 x y o x y o x y o x y o 8．已知 m,n 为两个不相等的非零实数，则方程 mx－y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示的 曲线可能是 （ ） 9．已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点，满足MF1 →·MF2 →＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值 范围是( ) A．(0,1) B. 0，1 2 C. 0， 2 2 D. 2 2 ，1 10.已知椭圆 2 2: 12 xC y  的右焦点为 F ,右准线为 l ，点 A l ，线段 AF 交 C 于点 B ，若 3FA FB  ,则| |AF  =( ) (A). 2 (B). 2 (C). 3 (D). 3 11．已知双曲线 2 2 2 2 1,( 0, 0)x y a ba b     的左，右焦点分别为 1 2,F F ,点 P 在双曲线的右支上， 且 1 2| | 4 | |PF PF ,则双曲线的离心率 e 的最大值为 （ ） A． 4 3 B． 5 3 C． 2 D． 7 3 12．设双曲线 2 2 2 2 1( , 0)x y a ba b    的离心率为 2e  ，右焦点为 F(c，0)，方程 2 0ax bx c   的两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1，x2) 满足（ ） A．必在圆 x2＋y2＝2 内 B．必在圆 x2＋y2＝2 上[来源:学+科+网 Z+X+X+K] C．必在圆 x2＋y2＝2 外 D．以上三种情形都有可能 . 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。) 13、已知双曲线 1169 22  yx 上一点 M 的横坐标为 4，则点 M 到左焦点的距离是 14.设双曲线 12 2 2 2  b y a x 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 15. 已知四面体 ABCD 的各条棱长都等于 a，点 E、F 分别是棱 BC、AD 的中点，则AE → ·AF → 的 值为 16．若方程 114 22  t y t x 所表示的曲线为 C，给出下列四个命题： ① 若 C 为椭圆，则1 4t  ； ② 若 C 为双曲线，则 4t  或 1t  ； ③ 曲线 C 不可能是圆； ④ 若 51 2t  ，曲线 C 为椭圆，且焦点坐标为 ( 5 2 ,0)t  ； ⑤ 若 1t  ，曲线 C 为双曲线，且虚半轴长为 1 t . 其中真命题的序号为 ．（把所有正确命题的序号都填在横线上 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．(本小题满分 10 分) 抛物线 2 2y px 的焦点与双曲线 2 2 13 x y  的右焦点重合. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积. 18．(本小题满分 12 分)如图，已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、M、N 分别是 BC、AE、CD1 的中 点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.求证：MN∥平面 ADD1A1. 19．(本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB＝ 2，AF＝1， M 是线段 EF 的中点． 求证：AM⊥平面 BDF. E (18 题) （19 题） 20. (本小题满分 12 分) 已知直线 l1：y=kx－1 与双曲线 x2－y2=1 的左支交于 A、B 两点. (1)求斜率 k 的取值范围； (2)若直线 l2 经过点 P(－2，0)及线段 AB 的中点 Q 且 l2 在 y 轴上截距为－16， 求直线 l1 的方程. 21. (本小题满分 12 分)设椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交 于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，AF→＝2 FB→. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)如果|AB|＝15 4 ，求椭圆 C 的方程． 22．(本小题满分 12 分)已知椭圆 2 2 2:9 ( 0)C x y m m   ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标 轴，l 与C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ． (Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点 ( , )3 m m ，延长线段OM 与C 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能， 求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 答案 BBAD BBDC CABC 13. 3 29 14. 5 15. 1 4a2 16. ② ④ ⑤ 17. 解：（Ⅰ）∵双曲线 2 2 13 x y  的右焦点为（2,0） ∴抛物线 2 2y px 的焦点为（2,0）∴ 2, 42 p p  于是得抛物线的方程为： 2 8y x …（5 分） （Ⅱ）抛物线的准线为： 2x   ,双曲线的渐近线为： 3 3y x  , ∴它们所围成的三角形面积为： 1 2 3 2 3 4 322 3 3 3S           ……（10 分） 18. 证明：以 D 为原点，分别以 DA、DC、DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(a,0,0)， B(a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，E(1 2 a,2a,0)， 图 2 ∵M、N 分别为 AE、CD1 的中点， ∴M(3 4 a，a,0)，N(0，a，a 2 )． ∴MN→＝(－3 4 a,0，a 2 )．……（6 分） 取 n＝(0,1,0)，……（8 分） 显然 n⊥平面 A1D1DA，且MN→·n＝0， ∴MN→⊥n.又 MN⊄平面 ADD1A1. ∴MN∥平面 ADD1A1 ………（12 分） 19. 证明：以 C 为坐标原点，建立如图 4 所示的空间直角坐标系，则 A( 2， 2，0)，B(0， 2， 0)，D( 2，0,0)，F( 2， 2，1)，M( 2 2 ， 2 2 ，1)． 所以AM→＝(－ 2 2 ，－ 2 2 ，1)，DF→＝(0， 2，1)，BD→＝( 2，－ 2，0)．……（4 分） 设 n＝(x，y，z)是平面 BDF 的法向量， 则 n⊥BD→，n⊥DF→， 所以 n·BD→＝ 2x－ 2y＝0 n·DF→＝ 2y＋z＝0 ⇒ x＝y， z＝－ 2y， 取 y＝1， 得 x＝1，z＝－ 2. 则 n＝(1,1，－ 2)．……（10 分） 因为AM→＝(－ 2 2 ，－ 2 2 ，1)， 所以 n＝－ 2AM→，得 n 与AM→共线． 所以 AM⊥平面 BDF. ……………(12 分) 20. 解：（1）由 2 2 1 1 y kx x y     得 2 21 2 2 0k x kx    1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y设 ，[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 则 1 2 1 22 2 2 2,1 1 kx x x xk k     ∵直线 1l 与双曲线左支交于 A,B 两点， ∴  2 2 1 2 2 1 2 2 4 8 1 0 0 20 010 2 01 k k kx x kx x k                即 解得： 2 k   ……（6分） （2）由已知得直线 2l 的方程为：8 16 0x y   ，设 0 0( , )Q x y 则有 1 2 0 0 02 2 1, 12 1 1 x x kx y kxk k       ， ∵Q 在直线 2l ∴ 2 2 8 1 16 01 1 k k k     化简得： 216 8 15 0k k   分解因式得：   4 5 4 3 0k k   ∴ 5 3 4 4k k  或 ……（10 分） 又 ∵ 2 k   ，∴ 5 4k   ∴直线 1l 的方程为： 5 14y x   ……（12 分） 21. 解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 y10. (1)直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)， 其中 c＝ a2－b2. 联立 y＝ 3（x－c）， x2 a2＋y2 b2＝1， 得(3a2＋b2)y2＋2 3b2cy－3b4＝0. 解得 y1＝－ 3b2（c＋2a） 3a2＋b2 ，y2＝－ 3b2（c－2a） 3a2＋b2 .……（3 分） 因为AF→＝2 FB→，所以－y1＝2y2. 即 3b2（c＋2a） 3a2＋b2 ＝2·－ 3b2（c－2a） 3a2＋b2 . 得离心率 e＝c a ＝2 3 .……（6 分） (2)因为|AB|＝ 1＋1 3 |y2－y1|， 所以 2 3 ·4 3ab2 3a2＋b2＝15 4 . 由c a ＝2 3 得 b＝ 5 3 a， 所以 5 4 a＝15 4 ，得 a＝3，b＝ 5. 故所求椭圆 C 的方程为x2 9 ＋y2 5 ＝1. ……（12 分） 22. 解：(Ⅰ)设直线 :l y kx b  ( 0, 0)k b  ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， ( , )M MM x y ．将 y kx b  代 入 2 2 29x y m  得 2 2 2 2( 9) 2 0k x kbx b m     ， 故 1 2 22 9M x x kbx k     ， 2 9 9M M by kx b k     ．……（3 分） 于是直线OM 的斜率 9M OM M yk x k    ，即 9OMk k   ．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘 积为定值．……（5 分） （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点 ( , )3 m m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点 的充要条件是 0k  ， 3k  ．由(Ⅰ)得OM 的方程为 9y xk   ．设点 P 的横坐标为 Px ．由 2 2 2 9 , 9 , y xk x y m       得 2 2 2 29 81P k mx k   ，即 23 9P kmx k   ．……（8 分） 将点 ( , )3 m m 的坐标代入直线l 的方程得 (3 ) 3 m kb  ，因此 2 ( 3) 3( 9)M mk kx k   ．四边形OAPB 为 平行四边形当且仅当线段 AB 与线段OP 互相平分，即 2P Mx x ．于是 23 9 km k    2 ( 3)2 3( 9) mk k k   ．……（10 分） 解得 1 4 7k   ， 2 4 7k   ．因为 0, 3i ik k  ， 1i  ， 2 ，所以当l 的斜率为 4 7 或 4 7 时，四边形OAPB 为平行四边形……（12 分）． 不用注册，免费下载！