2017年乐山市中考数学试卷及答案

乐山市 2017 届初中学业水平考试暨高中阶段教育学校招生考试 数 学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共 8 页．考生作答时，须将答案答在答题 卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束后，将本试题卷 和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第一部分（选择题 共 30 分） 注意事项： 1．选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．本部分共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求． 1. 2 的倒数是 )A( 2 1 )B( 2 1 )C( 2 )D( 2 2．随着经济发展，人民的生活水平不断提高，旅游业快速增长，2016 年国民出境旅游超过 120 000 000 人次，将 120 000 000 用科学记数法表示为 )A( 91021 . )B( 71012 )C( 910120 . )D( 81021 . 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 )A( )B( )C( )D( 4.含 30 角的直角三角板与直线 1l 、 2l 的位置关系如图 1 所示，已知 21 // ll ， AACD  ，则 1 = )A( 70 )B( 60 )C( 40 )D( 30 5. 下列说法正确的是 )A( 打开电视，它正在播广告是必然事件 )B( 要考察一个班级中的学生对建立生物角的看法适合用抽样调查 )C( 在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确 )D( 甲、乙两人射中环数的方差分别为 2S2 甲 ， 4S2 乙 ，说明乙的射击成绩比甲稳定 图 1 6. 若 02  aba  0b ，则  ba a )A( 0 )B( 2 1 )C( 0 或 2 1 )D( 1 或 2 7. 图 2 是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧 形门所在的圆与水平地面是相切的， 250.CDAB  米， 51.BD  米，且 AB 、CD 与水平地面都 是垂直的.根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离 地面的距离是 )A( 2 米 )B( 52. 米 )C( 42. 米 )D( 12. 米 8. 已知 31  xx ，则下列三个等式：① 71 2 2  x x ，② 51  xx ，③ 262 2  xx 中，正确的个 数有 )A( 0 个 )B( 1个 )C( 2 个 )D( 3个 9. 已知二次函数 mxxy 22  （ m 为常数），当 21  x 时，函数值 y 的最小值为 2 ，则 m 的值是 )A( 2 3 )B( 2 )C( 2 3 或 2 )D( 2 3 或 2 10. 如图 3，平面直角坐标系 xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别落在 x 、y 轴上，点 B 坐标为 46 , ， 反比例函数 xy 6 的图象与 AB 边交于点 D ，与 BC 边交于点 E ，连结 DE ，将 BDE 沿 DE 翻折至 DEB 处，点 B 恰好落在正比例函数 kxy  图象上，则 k 的值是 )A( 5 2 )B( 21 1 )C( 5 1 )D( 24 1 图 2 图 3 第二部分（非选择题 共 120 分） 注意事项 1．考生使用 0.5mm 黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用 0.5mm 黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共 16 小题，共 120 分． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． 11．计算： 23 __▲__. 12．二元一次方程组 23 2 2  xyxyx 的解是__▲__. 13．如图 4，直线 ba、 垂直相交于点 O ，曲线C 关于点 O 成中心对称，点 A 的 对称点是点 'A ， aAB  于点 B ， bDA ' 于点 D .若 3OB , 2OC ， 则阴影部分的面积之和为__▲__. 14.点 A 、 B 、C 在格点图中的位置如图 5 所示，格点小正方形的边长为 1，则点C 到线段 AB 所在直线 的距离是___▲__. 15. 庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”.这句话（文字语言）表达了古人将 事物无限分割的思想，用图形语言表示为图 6.1， 按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：  n32 2 1 2 1 2 1 2 11 . 图 6.2 也是一种无限分割：在 ABC 中， 90C ， 30A ，过点C 作 ABCC 1 于点 1C ，再 过点 1C 作 BCCC 21 于点 2C ，又过点 2C 作 ABCC 32 于点 3C ,如此无限继续下去，则可将利 ABC 分割成 1ACC 、 21CCC 、 321 CCC 、 432 CCC 、…、 nnn CCC 12  、….假设 2AC ，这些三角形的面积和可以得到一个 等式是____▲_____. 16．对于函数 mn xxy  ，我们定义 11   mn mxnxy （ nm、 为常数）. 例如 24 xxy  ，则 xxy 24 3  . 已知：   xmxmxy 223 13 1  . （1）若方程 0y 有两个相等实数根，则 m 的值为_____▲______； （2）若方程 4 1 my 有两个正数根，则 m 的取值范围为____▲______. 三、本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分. 图 4 图 5 17. 计算： 27201731602 0 sni . 18. 求不等式组      02 2 5 1 ,312 xx xx 的所有整数解. 19. 如图 7， 延长□ ABCD 的边 AD 到点 F ，使 DCDF  ，延长CB 到点 E ，使 BABE  ，分别连结 点 A 、 E 和点C 、 F . 求证： CFAE  . 四、本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分． 20. 化简: 1 2 121 22 2 2 2 2           a a aa aa a aa . 21. 为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制 作出如下的统计表和统计图，如图 8 所示.请根据图表信息解答下列问题： （1）在表中： m ， n ； （2）补全频数分布直方图； （3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组； （4） 4 个小组每组推荐1人,然后从 4 人中随机抽取 2 人参加颁奖典礼，恰好抽中 A 、C 两组学生的概率 是多少？并列表或画树状图说明. 22. 如图 9，在水平地面上有一幢房屋 BC 与一棵树 DE ，在地面观测点 A 处测得屋顶C 与树梢 D 的仰 角分别是 45 与 60 ，  60CAD ，在屋顶C 处测得  90DCA .若房屋的高 6BC 米. 求树高 DE 的长度. 图 9 图 8 图 7 五、本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分. 23、某公司从 2014 年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年 度 2013 2014 2015 2016 投入技改资金 x （万元） 2.5 3 4 4.5 产品成本 y （万元/件） 7.2 6 4.5 4 （1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出 理由，并求出其解析式； （2）按照这种变化规律，若 2017 年已投入资金 5 万元. ①预计生产成本每件比 2016 年降低多少万元？ ②若打算在 2017 年把每件产品成本降低到 3.2 万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果 精确到 0.01 万元）. 24．如图 10，以 AB 边为直径的⊙O 经过点 P ,C 是⊙O 上一点，连结 PC 交 AB 于点 E ， 且 60ACP ， PDPA  . （1）试判断 PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若点 C 是弧 AB 的中点，已知 4AB  ，求 CPCE  的值. 六、本大题共 2 小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分. 25．在四边形 ABCD 中，  180DB ，对角线 AC 平分 BAD . （1）如图 11.1，若  120DAB ，且  90B ，试探究边 AD 、 AB 与对角线 AC 的数量关系并说明 理由. （2）如图 11.2，若将（1）中的条件“  90B ”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图 11.3，若  90DAB ，探究边 AD 、 AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由. 图11.3 图 10 图11.1 图11.2 26．如图 12.1，抛物线 1C : axxy  2 与 2C : bxxy  2 相交于点 O 、C ， 1C 与 2C 分别交 x 轴于点 B 、 A ，且 B 为线段 AO 的中点. （1）求 b a 的值； （2）若 ACOC  ,求 OAC 的面积； （3）抛物线 2C 的对称轴为l ，顶点为 M ，在（2）的条件下： ①点 P 为抛物线 2C 对称轴l 上一动点，当 PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； ②如图 12.2，点 E 在抛物线 2C 上点O 与点 M 之间运动，四边形OBCE 的面积是否存在最大值？ 若存在，求出面积的最大值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理由. 乐山市 2017 届初中学业水平考试暨高中阶段教育学校招生考试 数学参考答案及评分意见 第一部分（选择题 共 30 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分. 1. )(A 2. )(D 3. )(D 4. )(B 5. )(C 6. )(C 7. )(B 8. )(C 9. )(D 10. )(B 第二部分（非选择题 共 120 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分. 11. 9 1 ； 12.      1 5 y x ； 13. 6 ； 14. 55 3 ； 15.                       n 4 3 4 3 4 3 4 312 332 32 ； 16.（1） 2 1m ；（2） 4 3m 且 2 1m . 注：（1）第 14 题，若给出的是化简后正确的等式，也视为正确； （2）第 16 题，第（1）问 1 分，第（2）问 2 分. 三、本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分. 17．解：原式 331132 32  ……………………………………（8 分） = 3 .………………………………（9 分） 18．解：解不等式①得： 1x ……………………………………（3 分） 解不等式②得： 4x ……………………………………（6 分） 所以，不等式组的解集为 41  x ……………………………………（8 分） 不等式组的整数解为 43210 ,,,, . ……………………………………（9 分） 19. 证明：□ ABCD中， CDAB  ，  BEAB  ， DFCD  ，∴ DFBE  .  BCAD  ， ∴ ECAF  ………………(6 分) 又 AF ∥ EC ， ∴四边形 AECF 是平行四边形. ………………(8 分) ∴ CFAE  ………………………(9 分) 图 1 四、本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分. 20. 解：原式=          1 2 1 1 11 12 2          a a a aa aa aa ………………（2 分） = 1 2 11 2       a a a a a a ………………（4 分） = 1 2 1  a a a a ………………（6 分） = a a a a 2 1 1  ………………（8 分） = 2 1 …………………………（10 分） 21．解：（1） 120m ， 30.n  ………………（2 分） （2）；如图 2 ………………（4 分） （3）C ；………………（6 分） （4） ………………（9 分） ∴抽中 A ﹑C 两组同学的概率为 12 2P = 6 1 …………（10 分） 22．解：如图 3，在 ABCRt 中，  45CAB ， mBC 6 ， ∴ 26 CABsin BCAC  m ；…………………（3 分） 在 ACDRt 中，  60CAD ， ∴ 212 CADcos ACAD  m ；…………………（6 分） 在 DEARt 中，  60EAD ，  msinADDE 662 321260  …………………（9 分） 答：树 DE 的高为 66 米.…………………（10 分） 五、本大题共 2 小题，每小题10分，共 20 分 23．解:(1)设 bkxy  ,( bk、 为常数, 0k ) 图 3 图 2.1 图 2.2 ∴      6454 36 k. bk ，解这个方程组得      510 51 .b .k ， ∴ 51051 .x.y  . 当 52.x  时, 4756  .y . ∴一次函数不能表示其变化规律. ……………………………………(2 分) 设 x ky  ,( k 为常数, 0k )，∴ 5227 . k.  ， ∴ 18k ，∴ xy 18 . 当 3x 时， 6y ；当 4x 时， 54.y  ；当 54.x  时， 4y ； ∴所求函数为反比例函数 xy 18 ……………………………………(5 分) （2）①当 5x 时， 63.y  ； 40634 ..  （万元） ∴比 2016 年降低 40. 万元. ……………………………………(7 分) ②当 23.y  时， 6255.x  ； 630625056255 ...  （万元） ∴还需要投入技改资金约 630. 万元. ……………………………………(9 分) 答：要把每件产品的成本降低到 23. 万元，还需投入技改资金约 630. 万元. …………………(10 分) 24.解：（1）如图 4， PD 是⊙O 的切线.证明如下：……………………………………(1 分) 连结 OP ，  60ACP ，∴ 120AOP ， OPOA  ，∴ 30 OPAOAP ，  PDPA  ，∴ 30 DPAO ， ∴ 90OPD ， ∴ PD 是⊙O 的切线. ……………………………………(4 分) （2）连结 BC ， AB 是⊙O 的直径， ∴ 90ACB ， 又 C 为弧 AB 的中点， ∴ 45 APCABCCAB ， 4AB ， 2245  sinABAC . APCCABCC  , ，∴ CAE ∽ CPA ，……………………………………(8 分) ∴ CA CE CP CA  ，∴ 822 22  )(CACECP .……………………………………(10 分) 图 4 六、本大题共 2 小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分 25.解：（1） ABADAC  .证明如下： 在四边形 ABCD 中，  180BD ，  90B ， ∴  90D .   120DAB ， AC 平分 DAB , ∴ 60 BACDAC ,  90B ,∴ ACAB 2 1 ,同理 ACAD 2 1 . ∴ ABADAC  .……………………………(4 分) （2）（1）中的结论成立，理由如下： 以C 为顶点， AC 为一边作 60ACE ， ACE 的另一边交 AB 延长线于点 E ,  60BAC ,∴ AEC 为等边三角形， ∴ CEAEAC  ，  180BD ,  120DAB ,∴ 60DCB , ∴ BECDAC  , ∴ BEAD  ,∴ ABADAC  .……………………………………(8 分) （3） ACABAD 2 .理由如下： 过点 C 作 ACCE  交 AB 的延长线于点 E ，  180BD ,  90DAB , ∴ 90DCB ,  90ACE ,∴ BCEDCA  , 又 AC 平分 DAB ，∴ 45CAB ,∴ 45E . ∴ CEAC  . 又  180BD ， CBED  , ∴ CBECDA  ,∴ BEAD  ,∴ AEABAD  . 在 ACERt 中， 45CAB ,∴ AC cos ACAE 2 45   , ∴ ACABAD 2 . ……………………………………(12 分) 26．解：(1) axxy  2 ， 当 0y 时， 02  axx ， 01 x ， ax 2 ，∴  0,aB  bxxy  2 ， 当 0y 时， 02  bxx ， 01 x ， bx 2 ，∴  b,A 0 ∵ B 为OA 的中点，∴ ab 2 . 图 5.1 图 5.2 图 5.3 图 6.1 ∴ 2 1 b a .……………………………………(2 分) （2）解      axxy axxy 22 2 得： axxaxx 222  ， 032 2  axx ， 01 x ， ax 2 3 2  ， 当 ax 2 3 时， 2 4 3 ay  ， ∴      2 4 3 2 3 a,aC . ……………………………(3 分) 过C 作 xCD  轴于点 D ，∴      02 3 ,aD . ∵  90OCA ，∴ OCD ∽ CAD ，∴ CD OD AD CD  ， ∴ ODADCD 2 ，即          aaa 2 3 2 1 4 3 2 2 ， ∴ 01 a （舍去）， 33 2 2 a （舍去）， 33 2 3 a ……………………………(5 分) ∴ 33 42  aOA , 14 3 2  aCD , ∴ 33 2 2 1  CDOAS OAC ……………………………………(6 分) （3）① xxyC 3 34: 2 2  ，对称轴 3 32:2 xl ， 点 A 关于 2l 的对称点为 )0,0(O , )1,3(C ， 则 P 为直线OC 与 2l 的交点， 设OA 的解析式为 kxy  ，∴ k31  ，得 3 3k ， 则OA 的解析式为 xy 3 3 ， 当 3 32x 时， 3 2y ，∴ ),(P 3 2 3 32 . ……………………………………(8 分) ②设 )3 320(),3 34,( 2  mmmE ， 则 mmmS OBE 3 4 3 3)3 34(3 32 2 1 22  ， 图 6.2 而 )0,3 32(B , )1,3(C , 设直线 BC 的解析式为 bkxy  ， 由      bk bk 3 320 31 ，解得 2,3  bk ， 直线 BC 的解析式为 23  xy . ……………………………………(9 分) 过点 E 作 x 轴的平行线交直线 BC 于点 N , 则 233 342  xmm ， 即 x 3 32 3 4 3 3 2  mm ， ∴ EN 3 32 3 1 3 3 3 32 3 4 3 3 22  mmmmm ， ∴ 3 3 6 1 6 3 3 32 3 1 3 312 1 22  mm)mm(S EBC ∴ EBCOBEOBCE SSS  四边形 )3 3 6 1 6 3()3 4 3 3( 22  mmmm 24 317)2 3(2 3 3 3 2 3 2 3 22  mmm ，……………………………………(11 分) 3 320  m ，∴当 2 3m 时， 24 317最大S ， 当 2 3m 时， 4 5 2 3 3 34)2 3( 2 y ， ∴ ),(E 4 5 2 3 , 24 317最大S . ……………………………………(13 分) 图 6.3