2017年达州市中考数学试卷及答案解析

2017 年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．﹣2 的倒数是（ ） A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数． 【解答】解：∵﹣2×（ ）=1， ∴﹣2 的倒数是﹣ ． 故选 D． 【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们 就称这两个数互为倒数，属于基础题． 2．如图，几何体是由 3 个完全一样的正方体组成，它的左视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形， 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 3．下列计算正确的是（ ） A．2a+3b=5ab B． C．a3b÷2ab= a2 D．2a 与 3b 不是同类项， 故 A 不正确； （B）原式=6，故 B 不正确； （D）原式=8a3b6，故 D 不正确； 故选（C） 【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于 基础题型． 4．已知直线 a∥b，一块含 30°角的直角三角尺如图放置．若∠1=25°，则∠2 等 于（ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】由三角形的外角性质求出∠3=55°，再由平行线的性质即可得出∠2 的 度数． 【解答】解：如图所示： 由三角形的外角性质得：∠3=∠1+30°=55°， ∵a∥b， ∴∠2=∠3=55°； 故选：B． 【点评】该题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；牢固掌握平行线的 性质是解决问题的关键． 5．某市从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 ．小丽家去 年 12 月份的水费是 15 元，而今年 5 月的水费则是 30 元．已知小丽家今年 5 月 的用水量比去年 12 月的用水量多 5cm3．求该市今年居民用水的价格．设去年居 民用水价格为 x 元/cm3，根据题意列方程，正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年 5 月的用水量比去年 12 月的用水量多 5cm3，进而得出等式即可． 【解答】解：设去年居民用水价格为 x 元/cm3，根据题意列方程： ﹣ =5， 故选：A． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题 关键． 6．下列命题是真命题的是（ ） A．若一组数据是 1，2，3，4，5，则它的方差是 3 B．若分式方程 有增根，则它的增根是 1 C．对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形 D．若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等 【分析】利用方差的定义、分式方程的增根、菱形的判定及平行的性质分别判断 后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、若一组数据是 1，2，3，4，5，则它的中位数是 3，故错误， 是假命题； B、若分式方程 有增根，则它的增根是 1 或﹣1，故错误，是 假命题； C、对角线互相垂直的四边形，顺次连接它的四边中点所得四边形是菱形，正确， 是真命题； D、若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补，故错 误，是假命题， 故选 C． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的定义、分式方 程的增根、菱形的判定及平行的性质等知识，难度不大． 7．以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角 形，则该三角形的面积是（ ） A． B． C． D． 【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直 角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形， 进而可得其面积． 【解答】解：如图 1， ∵OC=2， ∴OD=2×sin30°=1； 如图 2， ∵OB=2， ∴OE=2×sin45°= ； 如图 3， ∵OA=2， ∴OD=2×cos30°= ， 则该三角形的三边分别为：1， ， ， ∵（1）2+（ ）2=（ ）2， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是： ×1× = ． 故选：A． 【点评】本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、 中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键． 8．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下，则一次函数 y=ax﹣2b 与反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知 a＜0，再由函数图象经过 y 轴正 半可知 c＞0，利用排除法即可得出正确答案． 【解答】解：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向下可知 a＜0，对称轴位于 y 轴 左侧，a、b 异号，即 b＞0．图象经过 y 轴正半可知 c＞0， 由 a＜0，b＞0 可知，直线 y=ax﹣2b 经过一、二、四象限， 由 c＞0 可知，反比例函数 y= 的图象经过第一、三象限， 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的 性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 9．如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90°至图①位置，继 续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转 90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转 2017 次．若 AB=4，AD=3，则顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ） A．2017π B．2034π C．3024π D．3026π 【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每 4 次循环，找到规律然后计算 即可． 【解答】解：∵AB=4，BC=3， ∴AC=BD=5， 转动一次 A 的路线长是： =2π， 转动第二次的路线长是： = π， 转动第三次的路线长是： = π， 转动第四次的路线长是：0， 以此类推，每四次循环， 故顶点 A 转动四次经过的路线长为： π+ π+2π=6π， ∵2017÷4=504…1， ∴顶点 A 转动四次经过的路线长为：6π×504+2π=3026π， 故选 D． 【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、 灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键． 10．已知函数 y= 的图象如图所示，点 P 是 y 轴负半轴上一动点，过 点 P 作 y 轴的垂线交图象于 A，B 两点，连接 OA、OB．下列结论： ①若点 M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且 x1＜x2＜0，则 y1＜y2； ②当点 P 坐标为（0，﹣3）时，△AOB 是等腰三角形； ③无论点 P 在什么位置，始终有 S△AOB=7.5，AP=4BP； ④当点 P 移动到使∠AOB=90°时，点 A 的坐标为（2 ，﹣ ）． 其中正确的结论个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①错误．因为 x1＜x2＜0，函数 y 随 x 是增大而减小，所以 y1＞y2； ②正确．求出 A、B 两点坐标即可解决问题； ③正确．设 P（0，m），则 B（ ，m），A（﹣ ，m），可得 PB=﹣ ，PA= ﹣ ，推出 PA=4PB，SAOB=S△OPB+S△OPA= + =7.5； ④正确．设 P（0，m），则 B（ ，m），A（﹣ ，m），推出 PB=﹣ ，PA= ﹣ ，OP=﹣m，由△OPB∽△APO，可得 OP2=PBPA，列出方程即可解决问题； 【解答】解：①错误．∵x1＜x2＜0，函数 y 随 x 是增大而减小， ∴y1＞y2，故①错误． ②正确．∵P（0，﹣3）， ∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3）， ∴AB=5，OA= =5， ∴AB=AO， ∴△AOB 是等腰三角形，故②正确． ③正确．设 P（0，m），则 B（ ，m），A（﹣ ，m）， ∴PB=﹣ ，PA=﹣ ， ∴PA=4PB， ∵SAOB=S△OPB+S△OPA= + =7.5，故③正确． ④正确．设 P（0，m），则 B（ ，m），A（﹣ ，m）， ∴PB=﹣ ，PA=﹣ ，OP=﹣m， ∵∠AOB=90°，∠OPB=∠OPA=90°， ∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°， ∴∠BOP=∠OAP， ∴△OPB∽△APO， ∴ = ， ∴OP2=PBPA， ∴m2=﹣ （﹣ ）， ∴m4=36， ∵m＜0， ∴m=﹣ ， ∴A（2 ，﹣ ），故④正确． ∴②③④正确， 故选 C． 【点评】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定、两点间距离公式、相 似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解 决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（每题 3 分，满分 18 分，将答案填在答题纸上） 11．达州市莲花湖湿地公园占地面积用科学记数法表示为 7.92×106 平方米．则 原数为 7920000 平方米． 【分析】根据科学记数法，可得答案． 【解答】解：7.92×106 平方米．则原数为 7920000 平方米， 故答案为：7920000． 【点评】本题考查了科学记数法，n 是几小数点 向右移动几位． 12．因式分解：2a3﹣8ab2= 2a（a+2b）（a﹣2b） ． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有 3 项，可采用平方差公式继续分解． 【解答】解：2a3﹣8ab2 =2a（a2﹣4b2） =2a（a+2b）（a﹣2b）． 故答案为：2a（a+2b）（a﹣2b）． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多 项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考 虑运用公式法分解． 13．从﹣1，2，3，﹣6 这四个数中任选两数，分别记作 m，n，那么点（m，n） 在函数 y= 图象上的概率是 ． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点 （m，n）恰好在反比例函数 y= 图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数 y= 图象上的有：（2， 3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1）， ∴点（m，n）在函数 y= 图象上的概率是： = ． 故答案为： ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情 况数与总情况数之比． 14．△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是△ABC 的中线，设 AD 长为 m，则 m 的取值 范围是 1＜m＜4 ． 【分析】作辅助线，构建△AEC，根据三角形三边关系得：EC﹣AC＜AE＜AC+EC， 即 5﹣3＜2m＜5+3，所以 1＜m＜4． 【解答】解：延长 AD 至 E，使 AD=DE，连接 CE，则 AE=2m， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD=CD， 在△ADB 和△EDC 中， ∵ ， ∴△ADB≌△EDC， ∴EC=AB=5， 在△AEC 中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC， 即 5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为：1＜m＜4． 【点评】本题考查了三角形三边关系、三角形全等的性质和判定，属于基础题， 辅助线的作法是关键． 15．甲、乙两动点分别从线段 AB 的两端点同时出发，甲从点 A 出发，向终点 B 运动，乙从点 B 出发，向终点 A 运动．已知线段 AB 长为 90cm，甲的速度为 2.5cm/s．设运动时间为 x（s），甲、乙两点之间的距离为 y（cm），y 与 x 的函 数图象如图所示，则图中线段 DE 所表示的函数关系式为 y=4.5x﹣90（20≤x≤ 36） ．（并写出自变量取值范围） 【分析】图中线段 DE 所表示的函数关系式，实际上表示甲乙两人相遇后的路程 之和与时间的关系． 【解答】解：观察图象可知，乙的速度= =2cm/s， 相遇时间= =20， ∴图中线段 DE 所表示的函数关系式：y=（2.5+2）（x﹣20）=4.5x﹣90（20≤x ≤36）． 故答案为 y=4.5x﹣90（20≤x≤36）． 【点评】本题考查一次函数的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关 键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16．如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，连接 AE，将矩形沿 AE 翻折，使点 B 落在 CD 边 F 处，连接 AF，在 AF 上取点 O，以 O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与 AD 相切于点 P．若 AB=6，BC=3 ，则下列结论：①F 是 CD 的中点；②⊙O 的 半径是 2；③AE= CE；④S 阴影= ．其中正确结论的序号是 ①②④ ． 【分析】①易求得 DF 长度，即可判定； ②连接 OP，易证 OP∥CD，根据平行线性质即可判定； ③易证 AE=2EF，EF=2EC 即可判定； ④连接 OG，作 OH⊥FG，易证△OFG 为等边△，即可求得 S 阴影即可解题； 【解答】解：①∵AF 是 AB 翻折而来，∴AF=AB=6， ∵AD=BC=3 ，∴DF= =3， ∴F 是 CD 中点；∴①正确； ②连接 OP， ∵⊙O 与 AD 相切于点 P，∴OP⊥AD， ∵AD⊥DC，∴OP∥CD， ∴ = ， 设 OP=OF=x，则 = ，解得：x=2，∴②正确； ③∵RT△ADF 中，AF=6，DF=3， ∴∠DAF=30°，∠AFD=60°， ∴∠EAF=∠EAB=30°， ∴AE=2EF； ∵∠AFE=90°， ∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°， ∴EF=2EC， ∴AE=4CE，∴③错误； ④连接 OG，作 OH⊥FG， ∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG 为等边△；同理△OPG 为等边△； ∴∠POG=∠FOG=60°，OH= OG= ，S 扇形 OPG=S 扇形 OGF， ∴S 阴影=（S 矩形 OPDH﹣S 扇形 OPG﹣S△OGH）+（S 扇形 OGF﹣S△OFG） =S 矩形 OPDH﹣ S△OFG=2× ﹣ （ ×2× ）= ．∴④正确； 故答案为①②④． 【点评】本题考查了矩形面积的计算，正三角形的性质，平行线平分线段的性质， 勾股定理的运用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键． 三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17．计算：20170﹣|1﹣ |+（ ）﹣1+2cos45°． 【分析】首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即 可． 【解答】解：20170﹣|1﹣ |+（ ）﹣1+2cos45° =1﹣ +1+3+2× =5﹣ + =5 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算 乘方、开方， 再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右 的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 18．国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于 1h．为此，某区就“你 每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内 300 名初中学生．根据 调查结果绘制成的统计图如图所示，其中 A 组为 t＜0.5h，B 组为 0.5h≤t＜1h， C 组为 1h≤t＜1.5h，D 组为 t≥1.5h． 请根据上述信息解答下列问题： （1）本次调查数据的众数落在 B 组内，中位数落在 C 组内； （2）该辖区约有 18000 名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间 的人数． 【分析】（1）根据中位数的概念，中位数应是第 150、151 人时间的平均数，分 析可得答案； （2）首先计算样本中达到国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达 到国家规定体育活动时间的人数． 【解答】解：（1）众数在 B 组． 根据中位数的概念，中位数应是第 150、151 人时间的平均数，分析可得其均在 C 组，故本次调查数据的中位数落在 C 组． 故答案是：B，C； （2）达国家规定体育活动时间的人数约 1800× =960（人）． 答：达国家规定体育活动时间的人约有 960 人． 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用 统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和 解决问题． 19．设 A= ÷（a﹣ ）． （1）化简 A； （2）当 a=3 时，记此时 A 的值为 f（3）；当 a=4 时，记此时 A 的值为 f（4）；… 解关于 x 的不等式： ﹣ ≤f（3）+f（4）+…+f（11），并将解集在数轴上 表示出来． 【分析】（1）根据分式的除法和减法可以解答本题； （2）根据（1）中的结果可以解答题目中的不等式并在数轴上表示出不等式的解 集． 【解答】解：（1）A= ÷（a﹣ ） = = = = = ； （2）∵a=3 时，f（3）= ， a=4 时，f（4）= ， a=5 时，f（5）= ， … ∴ ﹣ ≤f（3）+f（4）+…+f（11）， 即 ﹣ ≤ + +…+ ∴ ﹣ ≤ +…+ ， ∴ ﹣ ≤ ， ∴ ﹣ ≤ ， 解得，x≤4， ∴原不等式的解集是 x≤4，在数轴上表示如下所示， ． 【点评】本题考查分式的混合运算、在数轴表示不等式的解集、解一元一次不等 式，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法和解不等式的方法． 20．如图，在△ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过点 O 作直线 EF∥BC 分别 交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点 E、F． （1）若 CE=8，CF=6，求 OC 的长； （2）连接 AE、AF．问：当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是 矩形？并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC= ∠OCF，证出 OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出 EF，即可得出答案； （2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 【解 答】（1）证明：∵EF 交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于 点 F， ∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF， ∵MN∥BC， ∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF， ∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF， ∴OE=OC，OF=OC， ∴OE=OF； ∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°， ∴∠ECF=90°， 在 Rt△CEF 中，由勾股定理得：EF= =10， ∴OC=OE= EF=5； （2）解：当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．理由如下： 连接 AE、AF，如图所示： 当 O 为 AC 的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形 AECF 是矩形． 【点评】此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股 定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90° 是解题关键． 21．如图，信号塔 PQ 座落在坡度 i=1：2 的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当 太阳光线与水平线成 60°角时，测得信号塔 PQ 落在斜坡上的影子 QN 长为 2 米， 落在警示牌上的影子 MN 长为 3 米，求信号塔 PQ 的高．（结果不取近似值） 【分析】如图作 MF⊥PQ 于 F，QE⊥MN 于 E，则四边形 EMFQ 是矩形．分别在 Rt△EQN、Rt△PFM 中解直角三角形即可解决问题． 【解答】解：如图作 MF⊥PQ 于 F，QE⊥MN 于 E，则四边形 EMFQ 是矩形． 在 Rt△QEN 中，设 EN=x，则 EQ=2x， ∵QN2=EN2+QE2， ∴20=5x2， ∵x＞0， ∴x=2， ∴EN=2，EQ=MF=4， ∵MN=3， ∴FQ=EM=1， 在 Rt△PFM 中，PF=FMtan60°=4 ， ∴PQ=PF+FQ=4 +1． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，锐角三角函数等知识，解 题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．（8 分）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在 14 天内完成．已 知每件产品的出厂价为 60 元．工人甲第 x 天生产的产品数量为 y 件，y 与 x 满足 如下关系：y= ． （1）工人甲第几天生产的产品数量为 70 件？ （2）设第 x 天生产的产品成本为 P 元/件，P 与 x 的函数图象如图．工人甲第 x 天创造的利润为 W 元，求 W 与 x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大， 最大利润是多少？ 【分析】（1）根据 y=70 求得 x 即可； （2）先根据函数图象求得 P 关于 x 的函数解析式，再结合 x 的范围分类讨论， 根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值 即可． 【解答】解：（1）根据题意，得： ∵若 7.5x=70，得：x= ＞4，不符合题意； ∴5x+10=70， 解得：x=12， 答：工人甲第 12 天生产的产品数量为 70 件； （2）由函数图象知，当 0≤x≤4 时，P=40， 当 4＜x≤14 时，设 P=kx+b， 将（4，40）、（14，50）代入，得： ， 解得： ， ∴P=x+36； ①当 0≤x≤4 时，W=（60﹣40）7.5x=150x， ∵W 随 x 的增大而增大， ∴当 x=4 时，W 最大=600 元； ②当 4＜x≤14 时，W=（60﹣x﹣36）（5x+10）=﹣5x2+110x+240=﹣5（x﹣11） 2+845， ∴当 x=11 时，W 最大=845， ∵845＞600， ∴当 x=11 时，W 取得最大值，845 元， 答：第 11 天时，利润最大，最大利润是 845 元． 【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意， 记住利润=出厂价﹣成本，学会利用函数的性质解决最值问题． 23．（8 分）如图，△ABC 内接于⊙O，CD 平分∠ACB 交⊙O 于 D，过点 D 作 PQ ∥AB 分别交 CA、CB 延长线于 P、Q，连接 BD． （1）求证：PQ 是⊙O 的切线； （2）求证：BD2=ACBQ； （3）若 AC、BQ 的长是关于 x 的方程 x+ =m 的两实根，且 tan∠PCD= ，求⊙O 的半径． 【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接 OB，OD，交 AB 于 E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ， 根据三角形的内角和得到 2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据 切线的判定定理即可得到结论； （2）证明：连接 AD，根据等腰三角形的判定得到 AD=BD，根据相似三角形的性 质即可得到结论； （3）根据题意得到 ACBQ=4，得到 BD=2，由（1）知 PQ 是⊙O 的切线，由切线 的性质得到 OD⊥PQ，根据平行线的性质得到 OD⊥AB，根据三角函数的定义得 到 BE=3DE，根据勾股定理得到 BE= ，设 OB=OD=R，根据勾股定理即可得到 结论． 【解答】（1）证明：∵PQ∥AB， ∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD， ∵∠ACD=∠BCD， ∴∠BDQ=∠ACD， 如图 1，连接 OB，OD，交 AB 于 E， 则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ， 在△OBD 中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°， ∴2∠ODB+2∠O=180°， ∴∠ODB+∠O=90°， ∴PQ 是⊙O 的切线； （2）证明：如图 2，连接 AD，由（1）知 PQ 是⊙O 的切线， ∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD， ∴AD=BD， ∵∠DBQ=∠ACD， ∴△BDQ∽△ACD， ∴ = ， ∴BD2=ACBQ； （3）解：方程 x+ =m 可化为 x2﹣mx+4=0， ∵AC、BQ 的长是关于 x 的方程 x+ =m 的两实根， ∴ACBQ=4，由（2）得 BD2=ACBQ， ∴BD2=4， ∴BD=2， 由（1）知 PQ 是⊙O 的切线， ∴OD⊥PQ， ∵PQ∥AB， ∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD， ∵tan∠PCD= ， ∴tan∠ABD= ， ∴BE=3DE， ∴DE2+（3DE）2=BD2=4， ∴DE= ， ∴BE= ， 设 OB=OD=R， ∴OE=R﹣ ， ∵OB2=OE2+BE2， ∴R2=（R﹣ ）2+（ ）2， 解得：R=2 ， ∴⊙O 的半径为 2 ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系， 圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作 出 辅助线是解题的关键． 24．（11 分）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直 角坐标系内任意两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图 1 得到结论：P1P2= 他还利用图 2 证明了线段 P1P2 的中点 P（x，y）P 的坐标公式：x= ，y= ． （1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程； 运用：（2）①已知点 M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段 MN 长度为 ； ②直接写出以点 A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D 为顶点的平行四边 形顶点 D 的坐标： （﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3） ； 拓展：（3）如图 3，点 P（2，n）在函数 y= x（x≥0）的图象 OL 与 x 轴正半轴 夹角的平分线上，请在 OL、x 轴上分别找出点 E、F，使△PEF 的周长最小，简要 叙述作图方法，并求出周长的最小值． 【分析】（1）用 P1、P2 的坐标分别表示出 OQ 和 PQ 的长即可证得结论； （2）①直接利用两点间距离公式可求得 MN 的长；②分 AB、AC、BC 为对角线， 可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得 D 点坐标； （3）设 P 关于直线 OL 的对称点为 M，关于 x 轴的对称点为 N，连接 PM 交直线 OL 于点 R，连接 PN 交 x轴于点 S，则可知 OR=OS=2，利用两点间距离公式可求 得 R 的坐标，再由 PR=PS=n，可求得 n 的值，可求得 P 点坐标，利用中点坐标公 式可求得 M 点坐标，由对称性可求得 N 点坐标，连接 MN 交直线 OL 于点 E，交 x 轴于点 S，此时 EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF 的周长最小，利用两点间距离 公式可求得其周长的最小值． 【解答】解： （1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）， ∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1， ∴Q1Q= ， ∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+ = ， ∵PQ 为梯形 P1Q1Q2P2 的中位线， ∴PQ= = ， 即线段 P1P2 的中点 P（x，y）P 的坐标公式为 x= ，y= ； （2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5）， ∴MN= = ， 故答案为： ； ②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1）， ∴当 AB 为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1）， 设 D（x，y），则 x+3=0，y+（﹣1）=2，解得 x=﹣3，y=3， ∴此时 D 点坐标为（﹣3，3）， 当 AC 为对角线时，同理可求得 D 点坐标为（7，1）， 当 BC 为对角线时，同理可求得 D 点坐标为（﹣1，﹣3）， 综上可知 D 点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）， 故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）； （3）如图，设 P 关于直线 OL 的对称点为 M，关于 x 轴的对称点为 N，连接 PM 交直线 OL 于点 R，连接 PN 交 x 轴于点 S，连接 MN 交直线 OL 于点 E，交 x 轴于 点 F， 又对称性可知 EP=EM，FP=FN， ∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN， ∴此时△PEF 的周长即为 MN 的长，为最小， 设 R（x， x），由题意可知 OR=OS=2，PR=PS=n， ∴ =2，解得 x=﹣ （舍去）或 x= ， ∴R（ ， ）， ∴ =n，解得 n=1， ∴P（2，1）， ∴N（2，﹣1）， 设 M（x，y），则 = ， = ，解得 x= ，y= ， ∴M（ ， ）， ∴MN= = ， 即△PEF 的周长的最小值为 ． 【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及中位线定理、中点坐标公式、两点间 距离公式、轴对称的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质等知识．在（1） 中求得 OQ 和 PQ 的长是解题的关键，在（2）中注意中点坐标公式的应用，在（3） 中确定出 E、F 的位置，求得 P 点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多， 综合性较强，计算量较大，难度较大． 25．（12 分）如图 1，点 A 坐标为（2，0），以 OA 为边在第一象限内作等边△ OAB，点 C 为 x 轴上一动点，且在点 A 右侧，连接 BC，以 BC 为边在第一象限内 作等边△BCD，连接 AD 交 BC 于 E． （1）①直接回答：△OBC 与△ABD 全等吗？ ②试说明：无论点 C 如何移动，AD 始终与 OB 平行； （2）当点 C 运动到使 AC2=AEAD 时，如图 2，经过 O、B、C 三点的抛物线为 y1．试 问：y1 上是否存在动点 P，使△BEP 为直角三角形且 BE 为直角边？若存在，求出 点 P 坐标；若不存在，说明理由； （3）在（2）的条件下，将 y1 沿 x 轴翻折得 y2，设 y1 与 y2 组成的图形为 M，函 数 y= x+ m 的图象 l 与 M 有公共点．试写出：l 与 M 的公共点为 3 个时，m 的取值． 【分析】（1）①利用等边三角形的性质证明△OBC≌△ABD； ②证明∠OBA=∠BAD=60°，可得 OB∥AD； （2）首先证明 DE⊥BC，再求直线 AE 与抛物线的交点就是点 P，所以分别求直 线 AE 和抛物线 y1 的解析式组成方程组，求解即可； （3）先画出如图 3，根据图形画出直线与图形 M 有个公共点时，两个边界的直 线，上方到 y= x，将 y= x 向下平移即可满足 l 与图形 M 有 3 个公共点，一直 到直线 l 与 y2 相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定△≥0 时，m 的值即 可． 【解答】解：（1）①△OBC 与△ABD 全等， 理由是：如图 1，∵△OAB 和△BCD 是等边三角形， ∴∠OBA=∠CBD=60°， OB=AB，BC=BD， ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC， 即∠OBC=∠ABD， ∴△OBC≌△ABD（SAS）； ②∵△OBC≌△ABD， ∴∠BAD=∠BOC=60°， ∴∠OBA=∠BAD， ∴OB∥AD， ∴无论点 C 如何移动，AD 始终与 OB 平行； （2）如图 2，∵AC2=AEAD， ∴ ， ∵∠EAC=∠DAC， ∴△AEC∽△ACD， ∴∠ECA=∠ADC， ∵∠BAD=∠BAO=60°， ∴∠DAC=60°， ∵∠BED=∠AEC， ∴∠ACB=∠ADB， ∴∠ADB=∠ADC， ∵BD=CD， ∴DE⊥BC， Rt△ABE 中，∠BAE=60°， ∴∠ABE=30°， ∴AE= AB= ×2=1， Rt△AEC 中，∠EAC=60°， ∴∠ECA=30°， ∴AC=2AE=2， ∴C（4，0）， 等边△OAB 中，过 B 作 BH⊥x 轴于 H， ∴BH= = ， ∴B（1， ）， 设 y1 的解析式为：y=ax（x﹣4）， 把 B（1， ）代入得： =a（1﹣4）， a=﹣ ， ∴设 y1 的解析式为：y1=﹣ x（x﹣4）=﹣ x2+ x， 过 E 作 EG⊥x 轴于 G， Rt△AGE 中，AE=1， ∴AG= AE= ， EG= = ， ∴E（ ， ）， 设直线 AE 的解析式为：y=kx+b， 把 A（2，0）和 E（ ， ）代入得： ， 解得： ， ∴直线 AE 的解析式为：y= x﹣2 ， 则 ， 解得： ， ， ∴P（3， ）或（﹣2，﹣4 ）； （3）如图 3， y1=﹣ x2+ x=﹣ （x﹣2）2+ ， 顶点（2， ）， ∴抛物线 y2 的顶点为（2，﹣ ）， ∴y2= （x﹣2）2﹣ ， 当 m=0 时，y= x 与图形 M 两公共点， 当 y2 与 l 相切时，即有一个公共点，l 与图形 M 有 3 个公共点， 则 ， = ﹣ ， x2﹣7x﹣3m=0， △=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）≥0， m≥﹣ ，[来源:Z,xx,k.Com] ∴当 l 与 M 的公共点为 3 个时，m 的取值是：﹣ ≤m＜0． 【点评】本题是二次函数与三角形的综合题，考查了等边三角形的性质、三角形 全等和相似的性质和判定、平行线的判定、两函数的交点问题、翻折变换、利用 待定系数法求函数的解析式等知识，比较复杂，计算量大，尤其是第三问，利用 数形结合的思想有助于理解题意，解决问题．