2017年烟台市中考数学试卷及答案解析

2017 年山东省烟台市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列实数中的无理数是（ ） A． B．π C．0 D． 2．下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有 65 个国家加入，共涉及总人口 约达 46 亿人，用科学记数法表示该总人口为（ ） A．4.6×109B．46×108 C．0.46×1010 D．4.6×1010 4．如图所示的工件，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 5．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 AB∥CD，AE 与 AB 的夹角为 48°， 若 CF 与 EF 的长度相等，则∠C 的度数为（ ） A．48° B．40° C．30° D．24° 6．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果应为（ ） A． B． C． D． 7．用棋子摆出下列一组图形： 按照这种规律摆下去，第 n 个图形用的棋子个数为（ ） A．3n B．6n C．3n+6 D．3n+3 8．甲、乙两地去年 12 月前 5 天的日平均气温如图所示，下列描述错误的是（ ） A．两地气温的平均数相同 B．甲地气温的中位数是 6℃ C．乙地气温的众数是 4℃ D．乙地气温相对比较稳定 9．如图，▱ ABCD 中，∠B=70°，BC=6，以 AD 为直径的⊙O 交 CD 于点 E，则 的 长为（ ） A． π B． π C． π D． π 10．若 x1，x2 是方程 x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0 的两个根，且 x1+x2=1﹣x1x2，则 m 的 值为（ ） A．﹣1 或 2 B．1 或﹣2 C．﹣2 D．1 11．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线 x=1，下列结 论： ①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0． 其中正确的是（ ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 12．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处 安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处，测得点 D 的仰角为 67.5°，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为（结 果精确到 0.1 米， ≈1.414）（ ） A．34.14 米B．34.1 米 C．35.7 米 D．35.74 米 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．30×（ ）﹣2+|﹣2|= ． 14．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则 sin = ． 15．运行程序如图所示，从“输入实数 x”到“结果是否＜18”为一次程序操作， 若输入 x 后程序操作仅进行了一次就停止，则 x 的取值范围是 ． 16．如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为 1，△AOB 与△A′OB′是以原 点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 3：2，点 A，B 都在格点上，则点 B′ 的坐标是 ． 17．如图，直线 y=x+2 与反比例函数 y= 的图象在第一象限交于点 P，若 OP= ， 则 k 的值为 ． 18．如图 1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形 AOB．已 知 OA=6，取 OA 的中点 C，过点 C 作 CD⊥OA 交 于点 D，点 F 是 上一点．若 将扇形 BOD 沿 OD 翻折，点 B 恰好与点 F 重合，用剪刀沿着线段 BD，DF，FA 依 次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．先化简，再求值：（x﹣ ）÷ ，其中 x= ，y= ﹣1． 20．主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议， 达成以下四个观点： A．放下自我，彼此尊重； B．放下利益，彼此平衡； C．放下性格，彼此成就； D．合理竞争，合作双赢． 要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制 了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题： 观点 频数 频率 A a 0.2 B 12 0.24 C 8 b D 20 0.4 （1）参加本次讨论的学生共有 人； （2）表中 a= ，b= ； （3）将条形统计图补充完整； （4）现准备从 A，B，C，D 四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画 树状图的方法求选中观点 D（合理竞争，合作双赢）的概率． 21．今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间” 活动，现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球 2015 年单价为 200 元，2017 年单价为 162 元． （1）求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案： 试问去哪个商场购买足球更优惠？ 22．数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是： 当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当 上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至﹣20℃时， 制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行． 同学们记录了 44min 内 15 个时间点冷柜中的温度 y（℃）随时间 x（min）的变 化情况，制成下表： 时 间 x/min … 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 … 温 度 y/℃ … ﹣ 20 ﹣ 10 ﹣ 8 ﹣ 5 ﹣ 4 ﹣ 8 ﹣ 12 ﹣ 16 ﹣ 20 ﹣ 10 ﹣ 8 ﹣ 5 ﹣ 4 a ﹣ 20 … （1）通过分析发现，冷柜中的温度 y 是时间 x 的函数． ①当 4≤x＜20 时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； ②当 20≤x＜24 时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； （2）a 的值为 ； （3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余 数 据 对 应 的 点 ， 并 画 出 当 4 ≤ x ≤ 44 时 温 度 y 随 时 间 x 变 化 的 函 数 图 象． 23．【操作发现】 （1）如图 1，△ABC 为等边三角形，现将三角板中的 60°角与∠ACB 重合，再将 三角板绕点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于 0°且小于 30°），旋转后三角板的 一直角边与 AB 交于点 D，在三角板斜边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使∠DCE=30°，连接 AF，EF． ①求∠EAF 的度数； ②DE 与 EF 相等吗？请说明理由； 【类比探究】 （2）如图 2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的 90°角与∠ ACB 重合，再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于 0°且小于 45°）， 旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使∠DCE=45°，连接 AF，EF，请直接写出探究结果： ①求∠EAF 的度数； ②线段 AE，ED，DB 之间的数量关系． 24．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=12cm，BD=16cm， 动点 N 从点 D 出发，沿线段 DB 以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同时动点 M 从点 B 出发，沿线段 BA 以 1cm/s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点停止运动时另一 个动点也随之停止，设运动时间为 t（s）（t＞0），以点 M 为圆心，MB 长为半径 的⊙M 与射线 BA，线段 BD 分别交于点 E，F，连接 EN． （1）求 BF 的长（用含有 t 的代数式表示），并求出 t 的取值范围； （2）当 t 为何值时，线段 EN 与⊙M 相切？ （3）若⊙M 与线段 EN 只有一个公共点，求 t 的取值范围． 25．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4， 矩形 OBDC 的边 CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线 交直线 EO 于点 G，作 PH⊥EO，垂足为 H．设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m， 求 l 与 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围），并求出 l 的最大值； （3）如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M， A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 2017 年山东省烟台市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列实数中的无理数是（ ） A． B．π C．0 D． 【考点】26：无理数． 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【解答】解： ，0， 是有理数， π是无理数， 故选：B． 2．下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意． 故选：A． 3．我国推行“一带一路”政策以来，已确定沿线有 65 个国家加入，共涉及总人口 约达 46 亿人，用科学记数法表示该总人口为（ ） A．4.6×109B．46×108 C．0.46×1010 D．4.6×1010 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：46 亿=4600 000 000=4.6×109， 故选：A． 4．如图所示的工件，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】U2：简单组合体的三视图． 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解：从上边看是一个同心圆，外圆是实线，內圆是虚线， 故选：B． 5．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 AB∥CD，AE 与 AB 的夹角为 48°， 若 CF 与 EF 的长度相等，则∠C 的度数为（ ） A．48° B．40° C．30° D．24° 【考点】KH：等腰三角形的性质；JA：平行线的性质． 【分析】先根据平行线的性质，由 AB∥CD 得到∠1=∠BAE=45°，然后根据三角 形外角性质计算∠C 的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠BAE=48°， ∵∠1=∠C+∠E， ∵CF=EF， ∴∠C=∠E， ∴∠C= ∠1= ×48°=24°． 故选 D． 6．如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： ] ∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确； ∵x=1 时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 而 c＜0， ∴a+b+2c＜0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1， ∴b=﹣2a， 而 x=﹣1 时，y＞0，即 a﹣b+c＞0， ∴a+2a+c＞0，所以④错误． 故选 C． 12．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处 安置测倾器测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处，测得点 D 的仰角为 67.5°，已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为（结 果精确到 0.1 米， ≈1.414）（ ） A．34.14 米B．34.1 米 C．35.7 米 D．35.74 米 【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【分析】过 B 作 BF⊥CD 于 F，于是得到 AB=A′B′=CF=1.6 米，解直角三角形即可 得到结论． 【解答】解：过 B 作 BF⊥CD 于 F， ∴AB=A′B′=CF=1.6 米， 在 Rt△DFB′中，B′F= ， 在 Rt△DFB 中，BF=DF， ∵BB′=AA′=20， ∴BF﹣B′F=DF﹣ =20， ∴DF≈34.1 米， ∴CD=DF+CF=35.7 米， 答：楼房 CD 的高度约为 35.7 米， 故选 C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．30×（ ）﹣2+|﹣2|= 6 ． 【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂． 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值 3 个考点．在计算时，需要 针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：30×（ ）﹣2+|﹣2| =1×4+2 =4+2 =6． 故答案为：6． 14．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2，BC= ，则 sin = ． 【考点】T5：特殊角的三角函数值． 【分析】根据∠A 的正弦求出∠A=60°，再根据 30°的正弦值求解即可． 【解答】解：∵sinA= = ， ∴∠A=60°， ∴sin =sin30°= ． 故答案为： ． 15．运行程序如图所示，从“输入实数 x”到“结果是否＜18”为一次程序操作， 若输入 x 后程序操作仅进行了一次就停止，则 x 的取值范围是 x＜8 ． 【考点】C9：一元一次不等式的应用． 【分析】根据运算程序，列出算式：3x﹣6，由于运行了一次就停止，所以列出 不等式 3x﹣6＜18，通过解该不等式得到 x 的取值范围． 【解答】解：依题意得：3x﹣6＜18， 解得 x＜8． 故答案是：x＜8． 16．如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为 1，△AOB 与△A′OB′是以原 点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 3：2，点 A，B 都在格点上，则点 B′ 的坐标是 （﹣ 3， ） ． 【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质． 【分析】把 B 的横纵坐标分别乘以﹣ 得到 B′的坐标． 【解答】解：由题意得：△A′OB′与△AOB 的相似比为 2：3， 又∵B（3，﹣2） ∴B′的坐标是[3× ，﹣2× ]，即 B′的坐标是（﹣2， ）； 故答案为：（﹣2， ）． 17．如图，直线 y=x+2 与反比例函数 y= 的图象在第一象限交于点 P，若 OP= ， 则 k 的值为 3 ． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】可设点 P（m，m+2），由 OP= 根据勾股定理得到 m 的值，进一步得 到 P 点坐标，再根据待定系数法可求 k 的值． 【解答】解：设点 P（m，m+2）， ∵OP= ， ∴ = ， 解得 m1=1，m2=﹣3（不合题意舍去）， ∴点 P（1，3）， ∴3= ， 解得 k=3． 故答案为：3． 18．如图 1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图 2 所示的扇形 AOB．已 知 OA=6，取 OA 的中点 C，过点 C 作 CD⊥OA 交 于点 D，点 F 是 上一点．若 将扇形 BOD 沿 OD 翻折，点 B 恰好与点 F 重合，用剪刀沿着线段 BD，DF，FA 依 次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 36π﹣108 ． 【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题． 【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作 DE⊥OB 可得 DE= OD=3，先根据 S 弓形 BD=S 扇形 BOD﹣S△BOD 求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积． 【解答】解：如图，∵CD⊥OA， ∴∠DCO=∠AOB=90°， ∵OA=OD=OB=6，OC= OA= OD， ∴∠ODC=∠BOD=30°， 作 DE⊥OB 于点 E， 则 DE= OD=3， ∴S 弓形 BD=S 扇形 BOD﹣S△BOD= ﹣ ×6×3=3π﹣9， 则剪下的纸片面积之和为 12×（3π﹣9）=36π﹣108， 故答案为：36π﹣108． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 66 分） 19．先化简，再求值：（x﹣ ）÷ ，其中 x= ，y= ﹣1． 【考点】6D：分式的化简求值． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 x、y 的值代入 化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（x﹣ ）÷ = = =x﹣y， 当 x= ，y= ﹣1 时，原式= =1． 20．主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议， 达成以下四个观点： A．放下自我，彼此尊重； B．放下利益，彼此平衡； C．放下性格，彼此成就； D．合理竞争，合作双赢． 要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制 了下面两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题： 观点 频数 频率 A a 0.2 B 12 0.24 C 8 b D 20 0.4 （1）参加本次讨论的学生共有 50 人； （2）表中 a= 10 ，b= 0.16 ； （3）将条形统计图补充完整； （4）现准备从 A，B，C，D 四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画 树状图的方法求选中观点 D（合理竞争，合作双赢）的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VC：条形统计图． 【分析】（1）由 B 观点的人数和所占的频率即可求 出总人数； （2）由总人数即可求出 a、b 的值， （3）由（2）中的数据即可将条形统计图补充完整； （4）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【解答】解： （1）总人数=12÷0.24=50（人）， 故答案为：50； （2）a=50×0.2=10，b= =0.16， 故答案为： （3）条形统计图补充完整如图所示： （4）根据题意画出树状图如下： 由树形图可知：共有 12 中可能情况，选中观点 D（合理竞争，合作双赢）的概 率有 4 种， 所以选中观点 D（合理竞争，合作双赢）的概率= = ． 21．今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间” 活动，现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球 2015 年单价为 200 元，2017 年单价为 162 元． （1）求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案： 试问去哪个商场购买足球更优惠？ 【考点】AD：一元二次方程的应用． 【分析】（1）设 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x， 根据 2015 年及 2017 年该品牌足球的单价，即可得出关于 x 的一元二次方程，解 之即可得出结论； （2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买 100 个该品牌足球的总费 用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x， 根据题意得：200×（1﹣x）2=162， 解得：x=0.1=10%或 x=﹣1.9（舍去）． 答：2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 10%． （2）100× = ≈90.91（个）， 在 A 商城需要的费用为 162×91=14742（元）， 在 B 商城需要的费用为 162×100× =14580（元）． 14742＞14580． 答：去 B 商场购买足球更优惠． 22．数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是： 当温度达到设定温度﹣20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当 上升到﹣4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至﹣20℃时， 制冷再次停止，…，按照以上方式循环进行． 同学们记录了 44min 内 15 个时间点冷柜中的温度 y（℃）随时间 x（min）的变 化情况，制成下表： 时 间 x/min … 4 8 10 16 20 21 22 23 24 28 30 36 40 42 44 … 温 度 y/℃ … ﹣ 20 ﹣ 10 ﹣ 8 ﹣ 5 ﹣ 4 ﹣ 8 ﹣ 12 ﹣ 16 ﹣ 20 ﹣ 10 ﹣ 8 ﹣ 5 ﹣ 4 a ﹣ 20 … （1）通过分析发现，冷柜中的温度 y 是时间 x 的函数． ①当 4≤x＜20 时，写出一个符合表中数据的函数解析式 y=﹣ ； ②当 20≤x＜24 时，写出一个符合表中数据的函数解析式 y=﹣4x+76 ； （2）a 的值为 ﹣12 ； （3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余 数 据 对 应 的 点 ， 并 画 出 当 4 ≤ x ≤ 44 时 温 度 y 随 时 间 x 变 化 的 函 数 图 象． 【考点】FH：一次函数的应用． 【分析】（1）①由 x•y=﹣80，即可得出当 4≤x＜20 时，y 关于 x 的函数解析式； ②根据点（20，﹣4）、（21，﹣8），利用待定系数法求出 y 关于 x 的函数解析式， 再代入其它点的坐标验证即可； （2）根据表格数据，找出冷柜的工作周期为 20 分钟，由此即可得出 a 值； （3）描点、连线，画出函数图象即可． 【解答】解：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）= ﹣80，16×（﹣5）=﹣80，20×（﹣4）=﹣80， ∴当 4≤x＜20 时，y=﹣ ． 故答案为：y=﹣ ． ②当 20≤x＜24 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b， 将（20，﹣4）、（21，﹣8）代入 y=kx+b 中， ，解得： ， ∴此时 y=﹣4x+76． 当 x=22 时，y=﹣4x+76=﹣12， 当 x=23 时，y=﹣4x+76=﹣16， 当 x=24 时，y=﹣4x+76=﹣20． ∴当 20≤x＜24 时，y=﹣4x+76． 故答案为：y=﹣4x+76． （2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为 20 分钟， ∴当 x=42 时，与 x=22 时，y 值相同， ∴a=﹣12． 故答案为：﹣12． （3）描点、连线，画出函数图象，如图所示． 23．【操作发现】 （1）如图 1，△ABC 为等边三角形，现将三角板中的 60°角与∠ACB 重合，再将 三角板绕点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于 0°且小于 30°），旋转后三角板的 一直角边与 AB 交于点 D，在三角板斜边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使∠DCE=30°，连接 AF，EF． ①求∠EAF 的度数； ②DE 与 EF 相等吗？请说明理由； 【类比探究】 （2）如图 2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的 90°角与∠ ACB 重合，再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转（旋转角大于 0°且小于 45°）， 旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使 CF=CD，线段 AB 上取点 E，使∠DCE=45°，连接 AF，EF，请直接写出探究结果： ①求∠EAF 的度数； ②线段 AE，ED，DB 之间的数量关系． 【考点】RB：几何变换综合题． 【分析】（1）①由等边三角形的性质得出 AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF= ∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°； ②证出∠DCE=∠FCE，由 SAS 证明△DCE≌△FCE，得出 DE=EF 即可； （2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD， 由 SAS 证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠ CAF=90°； ②证出∠DCE=∠FCE，由 SAS 证明△DCE≌△FCE，得出 DE=EF；在 Rt△AEF 中， 由勾股定理得出 AE2+AF2=EF2，即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°， ∵∠DCF=60°， ∴∠ACF=∠BCD， 在△ACF 和△BCD 中， ， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF=∠B=60°， ∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°； ②DE=EF；理由如下： ∵∠DCF=60°，∠DCE=30°， ∴∠FCE=60°﹣30°=30°， ∴∠DCE=∠FCE， 在△DCE 和△FCE 中， ， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE=EF； （2）①∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°， ∵∠DCF=90°， ∴∠ACF=∠BCD， 在△ACF 和△BCD 中， ， ∴△ACF≌△BCD（SAS）， ∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB， ∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°； ②AE2+DB2=DE2，理由如下： ∵∠DCF=90°，∠DCE=45°， ∴∠FCE=90°﹣45°=45°， ∴∠DCE=∠FCE， 在△DCE 和△FCE 中， ， ∴△DCE≌△FCE（SAS）， ∴DE=EF， 在 Rt△AEF 中，AE2+AF2=EF2， 又∵AF=DB， ∴AE2+DB2=DE2． 24．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=12cm，BD=16cm， 动点 N 从点 D 出发，沿线段 DB 以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同时动点 M 从点 B 出发，沿线段 BA 以 1cm/s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点停止运动时另一 个动点也随之停止，设运动时间为 t（s）（t＞0），以点 M 为圆心，MB 长为半径 的⊙M 与射线 BA，线段 BD 分别交于点 E，F，连接 EN． （1）求 BF 的长（用含有 t 的代数式表示），并求出 t 的取值范围； （2）当 t 为何值时，线段 EN 与⊙M 相切？ （3）若⊙M 与线段 EN 只有一个公共点，求 t 的取值范围． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）连接 MF．只要证明 MF∥AD，可得 = ，即 = ，解方程即 可； （2）当线段 EN 与⊙M 相切时，易知△BEN∽△BOA，可得 = ，即 = ， 解方程即可； （3）①由题意可知：当 0＜t≤ 时，⊙M 与线段 EN 只有一个公共点．②当 F 与 N 重合时，则有 t+2t=16，解得 t= ，观察图象即可解决问题； 【解答】解：（1）连接 MF． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8， 在 Rt△AOB 中，AB= =10， ∵MB=MF，AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB=∠MFB， ∴MF∥AD， ∴ = ， ∴ = ， ∴BF= t（0＜t≤8）． （2）当线段 EN 与⊙M 相切时，易知△BEN∽△BOA， ∴ = ， ∴ = ， ∴t= ． ∴t= s 时，线段 EN 与⊙M 相切． （3）①由题意可知：当 0＜t≤ 时，⊙M 与线段 EN 只有一个公共点． ②当 F 与 N 重合时，则有 t+2t=16，解得 t= ， 关系图象可知， ＜t＜8 时，⊙M 与线段 EN 只有一个公共点． 综上所述，当 0＜t≤ 或 ＜t＜8 时，⊙M 与线段 EN 只有一个公共点． 25．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4， 矩形 OBDC 的边 CD=1，延长 DC 交抛物线于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线 交直线 EO 于点 G，作 PH⊥EO，垂足为 H．设 PH 的长为 l，点 P 的横坐标为 m， 求 l 与 m 的函数关系式（不必写出 m 的取值范围），并求出 l 的最大值； （3）如果点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点 M，使得以 M， A，C，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）由条件可求得 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可先求得 E 点坐标，从而可求得直线 OE 解析式，可知∠PGH=45°，用 m 可 表示出 PG 的长，从而可表示出 l 的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值； （3）分 AC 为边和 AC 为对角线，当 AC 为边时，过 M 作对称轴的垂线，垂足为 F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得 M 到对称轴的距离，从而可求得 M 点的横 坐标，可求得 M 点的坐标；当 AC 为对角线时，设 AC 的中点为 K，可求得 K 的 横坐标，从而可求得 M 的横坐标，代入抛物线解析式可求得 M 点坐标． 【解答】解： （1）∵矩形 OBDC 的边 CD=1， ∴OB=1， ∵AB=4， ∴OA=3， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ x2﹣ x+2； （2）在 y=﹣ x2﹣ x+2 中，令 y=2 可得 2=﹣ x2﹣ x+2，解得 x=0 或 x=﹣2， ∴E（﹣2，2）， ∴直线 OE 解析式为 y=﹣x， 由题意可得 P（m，﹣ m2﹣ m+2）， ∵PG∥y 轴， ∴G（m，﹣m）， ∵P 在直线 OE 的上方， ∴PG=﹣ m2﹣ m+2﹣（﹣m）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ）2+ ， ∵直线 OE 解析式为 y=﹣x， ∴∠PGH=∠COE=45°， ∴l= PG= [﹣ （m+ ）2+ ]=﹣ （m+ ）2+ ， ∴当 m=﹣ 时，l 有最大值，最大值为 ； （3）①当 AC 为平行四边形的边时，则有 MN∥AC，且 MN=AC，如图，过 M 作 对称轴的垂线，垂足为 F，设 AC 交对称轴于点 L， 则∠ALF=∠ACO=∠FNM， 在△MFN 和△AOC 中 ∴△MFN≌△AOC（AAS）， ∴MF=AO=3， ∴点 M 到对称轴的距离为 3， 又 y=﹣ x2﹣ x+2， ∴抛物线对称轴为 x=﹣1， 设 M 点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得 x=2 或 x=﹣4， 当 x=2 时，y=﹣ ，当 x=﹣4 时，y= ， ∴M 点坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）； ②当 AC 为对角线时，设 AC 的中点为 K， ∵A（﹣3，0），C（0，2）， ∴K（﹣ ，1）， ∵点 N 在对称轴上， ∴点 N 的横坐标为﹣1， 设 M 点横坐标为 x， ∴x+（﹣1）=2×（﹣ ）=﹣3，解得 x=﹣2，此时 y=2， ∴M（﹣2，2）； 综上可知点 M 的坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）． 2017 年 7 月 5 日