2017年无锡市中考数学试卷及答案解析

2017 年江苏省无锡市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣5 的倒数是（ ） A． B．±5 C．5 D．﹣ 2．函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≠2 B．x≥2C．x≤2D．x＞2 3．下列运算正确的是（ ） A．（a2）3=a5 B．（ab）2=ab2 C．a6÷a3=a2 D．a2•a3=a5 4．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．若 a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则 a﹣c 等于（ ） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 6．“表 1”为初三（1）班全部 43 名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列 说法正确的是（ ） 成绩（分） 70 80 90 男生（人） 5 10 7 女生（人） 4 13 4 A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩 B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩 C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数 D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数 7．某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从 1 月份 到 3 月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ） A．20% B．25% C．50% D．62.5% 8．对于命题“若 a2＞b2，则 a＞b”，下面四组关于 a，b 的值中，能说明这个命题 是假命题的是（ ） A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3 9．如图，菱形 ABCD 的边 AB=20，面积为 320，∠BAD＜90°，⊙O 与边 AB，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（ ） A．5 B．6 C．2 D．3 10．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ABD 沿 AD 翻折得到△AED，连 CE，则线段 CE 的长等于（ ） A．2 B． C． D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 11．计算 × 的值是 ． 12．分解因式：3a2﹣6a+3= ． 13．贵州 FAST 望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积约 250000m2，这个数据用科学记数法可表示为 ． 14．如图是我市某连续 7 天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知， 这 7 天中最大的日温差是 ℃． 15．若反比例函数 y= 的图象经过点（﹣1，﹣2），则 k 的值为 ． 16．若圆锥的底面半径为 3cm，母线长是 5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2． 17．如图，已知矩形 ABCD 中，AB=3，AD=2，分别以边 AD，BC 为直径在矩形 ABCD 的内部作半圆 O1 和半圆 O2，一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交 于点 E、点 F，且 EF=2（EF 与 AB 在圆心 O1 和 O2 的同侧），则由 ，EF， ，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 ． 18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C， D 都在格点处，AB 与 CD 相交于 O，则 tan∠BOD 的值等于 ． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分） 19．计算： （1）|﹣6|+（﹣2）3+（ ）0； （2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b） 20．（1）解不等式组： （2）解方程： = ． 21．已知，如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F，求证：AB=BF． 22．甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张 扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为 游戏搭档，现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．（请 用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23．某数学学习网站为吸引更多人注册加入，举行了一个为期 5 天的推广活动， 在活动期间，加入该网站的人数变化情况如下表所示： 时间 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 新加入人数（人） 153 550 653 b 725 累计总人数（人） 3353 3903 a 5156 5881 （1）表格中 a= ，b= ； （2）请把下面的条形统计图补充完整； （3）根据以上信息，下列说法正确的是 （只要填写正确说法前的序号）． ①在活动之前，该网站已有 3200 人加入； ②在活动期间，每天新加入人数逐天递增； ③在活动期间，该网站新加入的总人数为 2528 人． 24．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不 要求写作法，但要保留作图痕迹）： （1）作△ABC 的外心 O； （2）设 D 是 AB 边上一点，在图中作出一个正六边形 DEFGHI，使点 F，点 H 分 别在边 BC 和 AC 上． 25．操作：“如图 1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，点 C 绕点 P 逆时针旋转 60°得到点 Q．”我们将此由点 P 得到点 Q 的操作称为点的 T 变换． （1）点 P（a，b）经过 T 变换后得到的点 Q 的坐标为 ；若点 M 经过 T 变换后得到点 N（6，﹣ ），则点 M 的坐标为 ． （2）A 是函数 y= x 图象上异于原点 O 的任意一点，经过 T 变换后得到点 B． ①求经过点 O，点 B 的直线的函数表达式； ②如图 2，直线 AB 交 y 轴于点 D，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比． 26．某地新建的一个企业，每月将生产 1960 吨污水，为保护环境，该企业计划 购置污水处理器，并在如下两个型号种选择： 污水处理器型号 A 型 B 型 处理污水能力（吨/月） 240 180 已知商家售出的 2 台 A 型、3 台 B 型污水处理器的总价为 44 万元，售出的 1 台 A 型、4 台 B 型污水处理器的总价为 42 万元． （1）求每台 A 型、B 型污水处理器的价格； （2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器， 那么他们至少要支付多少钱？ 27．如图，以原点 O 为圆心，3 为半径的圆与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 B 在 点 A 的右边），P 是半径 OB 上一点，过 P 且垂直于 AB 的直线与⊙O 分别交于 C， D 两点（点 C 在点 D 的上方），直线 AC，DB 交于点 E．若 AC：CE=1：2． （1）求点 P 的坐标； （2）求过点 A 和点 E，且顶点在直线 CD 上的抛物线的函数表达式． 28．如图，已知矩形 ABCD 中，AB=4，AD=m，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上 以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，连接 CP，作点 D 关于直线 PC 的对称点 E， 设点 P 的运动时间为 t（s）． （1）若 m=6，求当 P，E，B 三点在同一直线上时对应的 t 的值． （2）已知 m 满足：在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中， 有且只有一个 时刻 t，使点 E 到直线 BC 的距离等于 3，求所有这样的 m 的取值范围． 2017 年江苏省无锡市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．﹣5 的倒数是（ ） A． B．±5 C．5 D．﹣ 【考点】17：倒数． 【分析】根据倒数的定义，即可求出﹣5 的倒数． 【解答】解：∵﹣5×（﹣ ）=1， ∴﹣5 的倒数是﹣ ． 故选 D． 2．函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≠2 B．x≥2C．x≤2D．x＞2 【考点】E4：函数自变量的取值范围． 【分析】根据分式的意义的条件，分母不等于 0，可以求出 x 的范围． 【解答】解：根据题意得：2﹣x≠0， 解得：x≠2． 故函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 x≠2． 故选 A． 3．下列运算正确的是（ ） A．（a2）3=a5 B．（ab）2=ab2 C．a6÷a3=a2 D．a2•a3=a5 【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方． 【分析】利用幂的运算性质直接计算后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、（a2）3=a6，故错误，不符合题意； B、（ab）2=a2b2，故错误，不符合题意； C、a6÷a3=a3，故错误，不符合题意； D、a2•a3=a5，正确，符合题意， 故选 D． 4．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】R5：中心对称图形． 【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选 C． 5．若 a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则 a﹣c 等于（ ） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【考点】44：整式的加减． 【分析】根据题中等式确定出所求即可． 【解答】解：∵a﹣b=2，b﹣c=﹣3， ∴a﹣c=（a﹣b）+（b﹣c）=2﹣3=﹣1， 故选 B 6．“表 1”为初三（1）班全部 43 名同学某次数学测验成绩的统计结果，则下列 说法正确的是（ ） 成绩（分） 70 80 90 男生（人） 5 10 7 女生（人） 4 13 4 A．男生的平均成绩大于女生的平均成绩 B．男生的平均成绩小于女生的平均成绩 C．男生成绩的中位数大于女生成绩的中位数 D．男生成绩的中位数小于女生成绩的中位数 【考点】W4：中位数；W1：算术平均数． 【分析】根据平均数的定义分别求出男生与女生的平均成绩，再根据中位数的定 义分别求出男生与女生成绩的中位数即可求解． 【解答】解：∵男生的平均成绩是：（70×5+80×10+90×7）÷22=1780÷22=80 ， 女生的平均成绩是：（70×4+80×13+90×4）÷21=1680÷21=80， ∴男生的平均成绩大于女生的平均成绩． ∵男生一共 22 人，位于中间的两个数都是 80，所以中位数是（80+80）÷2=80， 女生一共 21 人，位于最中间的一个数是 80，所以中位数是 80， ∴男生成绩的中位数等于女生成绩的中位数． 故选 A． 7．某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元，从 1 月份 到 3 月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ） A．20% B．25% C．50% D．62.5% 【考点】AD：一元 二次方程的应用． 【分析】设每月增长率为 x，据题意可知：三月份销售额为 2（1+x）2 万元，依 此等量关系列出方程，求解即可． 【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率为 x，则二月份销售额为 2（1+x） 万元，三月份销售额为 2（1+x）2 万元， 由题意可得：2（1+x）2=4.5， 解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去）， 答即该店销售额平均每月的增长率为 50%； 故选：C． 8．对于命题“若 a2＞b2，则 a＞b”，下面四组关于 a，b 的值中，能说明这个命题 是假命题的是（ ） A．a=3，b=2 B．a=﹣3，b=2 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣1，b=3 【考点】O1：命题与定理． 【分析】说明命题为假命题，即 a、b 的值满足 a2＞b2，但 a＞b 不成立，把四个 选项中的 a、b 的值分别难度验证即可． 【解答】解： 在 A 中，a2=9，b2=4，且 3＞2，满足“若 a2＞b2，则 a＞b”，故 A 选项中 a、b 的 值不能说明命题为假命题； 在 B 中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足 a2＞b2，但 a＞b 不成立，故 B 选项中 a、b 的值可以说明命题为假命题； 在 C 中，a2=9，b2=1，且 3＞﹣1，满足“若 a2＞b2，则 a＞b”，故 C 选项中 a、b 的值不能说明命题为假命题； 在 D 中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足 a2＜b2，得出 a＜b，即意味着命题“若 a2＞b2，则 a＞b”成立，故 D 选项中 a、b 的值不能说明命题为假命题； 故选 B． 9．如图，菱形 ABCD 的边 AB=20，面积为 320，∠BAD＜90°，⊙O 与边 AB，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（ ） A．5 B．6 C．2 D．3 【考点】MC：切线的性质；L8：菱形的性质． 【分析】如图作 DH⊥AB 于 H，连接 BD，延长 AO 交 BD 于 E．利用菱形的面积 公式求出 DH，再利用勾股定理求出 AH，BD，由△AOF∽△DBH，可得 = ， 延长即可解决问题． 【解答】解：如图作 DH⊥AB 于 H，连接 BD，延长 AO 交 BD 于 E． ∵菱形 ABCD 的边 AB=20，面积为 320， ∴AB•DH=32O， ∴DH=16， 在 Rt△ADH 中，AH= =12， ∴HB=AB﹣AH=8， 在 Rt△BDH 中，BD= =8 ， 设⊙O 与 AB 相切于 F，连接 AF． ∵AD=AB，OA 平分∠DAB， ∴AE⊥BD， ∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°， ∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°， ∴△AOF∽△DBH， ∴ = ， ∴ = ， ∴OF=2 ． 故选 C． 10．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点 D 是 BC 的中点，将△ABD 沿 AD 翻折得到△AED，连 CE，则线段 CE 的长等于（ ） A．2 B． C． D． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股 定理． 【分析】如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AH⊥BC 于 H．首先证明 AD 垂直平分线段 BE，△BCE 是直角三角形，求出 BC、BE 在 Rt△BCE 中，利用勾股定理即可解决 问题． 【解答】解：如图连接 BE 交 AD 于 O，作 AH⊥BC 于 H． 在 Rt△ABC 中，∵AC=4，AB=3， ∴BC= =5， ∵CD=DB， ∴AD=DC=DB= ， ∵ •BC•AH= •AB•AC， ∴AH= ， ∵AE=AB，DE=DB=DC， ∴AD 垂直平分线段 BE，△BCE 是直角三角形， ∵ •AD•BO= •BD•AH， ∴OB= ， ∴BE=2OB= ， 在 Rt△BCE 中，EC= = = ， 故选 D． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 11．计算 × 的值是 6 ． 【考点】75：二次根式的乘除法． 【分析】根据 • = （a≥0，b≥0）进行计算即可得出答案． 【解答】解： × = = =6； 故答案为：6． 12．分解因式：3a2﹣6a+3= 3（a﹣1）2 ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】首先提取公因式 3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 13．贵州 FA ST 望远镜是目前世界第一大单口径射电望远镜，反射面总面积约 250000m2，这个数据用科学记数法可表示为 2.5×105 ． 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 250000 用科学记数法表示为：2.5×105． 故答案为：2.5×105． 14．如图是我市某连续 7 天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知， 这 7 天中最大的日温差是 11 ℃． 【考点】18：有理数大小比较；1A：有理数的减法． 【分析】求出每天的最高气温与最低气温的差，再比较大小即可． 【解答】解：∵由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温 差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温 差=13℃﹣5℃=8℃；周六的日温差=15℃﹣71℃=8℃；周日的日温差=16℃﹣ 5℃=11℃， ∴这 7 天中最大的日温差是 11℃． 故答案为：11． 15．若反比例函数 y= 的图象经过点（﹣1，﹣2），则 k 的值为 2 ． 【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式． 【分析】由一个已知点来求反比例函数解析式，只要把已知点的坐标代入解析式 就可求出比例系数． 【解答】解：把点（﹣1，﹣2）代入解析式可得 k=2． 16．若圆锥的底面半径为 3cm，母线长是 5cm，则它的侧面展开图的面积为 15π cm2． 【考点】MP：圆锥的计算． 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【解答】解：底面半径为 3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积= ×6π×5=15πcm2． 17．如图，已知矩形 ABCD 中，AB=3，AD=2，分别以边 AD，BC 为直径在矩形 ABCD 的内部作半圆 O1 和半圆 O2，一平行于 AB 的直线 EF 与这两个半圆分别交 于点 E、点 F，且 EF=2（EF 与 AB 在圆心 O1 和 O2 的同侧），则由 ，EF， ，AB 所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 3﹣ ﹣ ． 【考点】MO：扇形面积的计算；LB：矩形的性质． 【分析】连接 O1O2，O1E，O2F，过 E 作 EG⊥O1O2，过 F⊥O1O2，得到四边形 EGHF 是矩形，根据矩形的性质得到 GH=EF=2，求得 O1G= ，得到∠O1EG=30°，根据三 角形、梯形、扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接 O1O2，O1E，O2F， 则四边形 O1O2FE 是等腰梯形， 过 E 作 EG⊥O1O2，过 F⊥O1O2， ∴四边形 EGHF 是矩形， ∴GH=EF=2， ∴O1G= ， ∵O1E=1， ∴GE= ， ∴ = ； ∴∠O1EG=30°， ∴∠AO1E=30°， 同理∠BO2F=30°， ∴阴影部分的面积=S ﹣2S ﹣S =3×1﹣2× ﹣ （2+3）× =3﹣ ﹣ ． 故答案为：3﹣ ﹣ ． 18．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C， D 都在格点处，AB 与 CD 相交于 O，则 tan∠BOD 的值等于 3 ． 【考点】T7：解直角三角形． 【分析】根据平移的性质和锐角三角函数以及勾股定理，通过转化的数学思想可 以求得 tan∠BOD 的值．，本题得以解决 【解答】解：平移 CD 到 C′D′交 AB 于 O′，如右图所示， 则∠BO′D′=∠BOD， ∴tan∠BOD=tan∠BO′D′， 设每个小正方形的边长为 a， 则 O′B= ，O′D′= ，BD′=3a， 作 BE⊥O′D′于点 E， 则 BE= ， ∴O′E= = ， ∴tanBO′E= ， ∴tan∠BOD=3， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分） 19．计算： （1）|﹣6|+（﹣2）3+（ ）0； （2）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣b） 【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算；4A：单项式乘多项式；6E：零指数 幂． 【分析】（1）根据零指数幂的意义以及绝对值的意义即可求出答案； （2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式=6﹣8+1=﹣1 （2）原式=a2﹣b2﹣a2+ab=ab﹣b2 20．（1）解不等式组： （2）解方程： = ． 【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组． 【分析】（1）分别解不等式，进而得出不等式组的解集； （2）直接利用分式的性质求出 x 的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）解①得：x＞﹣1，新$课$标$第$一$网 解②得：x≤6， 故不等式组的解集为：﹣1＜x≤6； （2）由题意可得：5（x+2）=3（2x﹣1）， 解得：x=13， 检验：当 x=13 时，（x+2）≠0，2x﹣1≠0， 故 x=13 是原方程的解． 21．已知，如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F，求证：AB=BF． 【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质． 【分析】根据线段中点的定义可得 CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可 得 AB∥CD，AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利 用“角边角”证明△CED 和△BEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CD=BF， 从而得证． 【解答】证明：∵E 是 BC 的中点， ∴CE=BE， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴∠DCB=∠FBE， 在△CED 和△BEF 中， ， ∴△CED≌△BEF（ASA）， ∴CD=BF， ∴AB=BF． 22．甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张 扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为 游戏搭档，现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．（请 用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【考点】X6：列表法与树状图法． 【分析】利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求 解． 【解答】解：根据题意画图如下： 共有 12 中情况，从 4 张牌中任意摸出 2 张牌花色相同颜色 4 种可能，所以两人 恰好成为游戏搭档的概率= = ． 23．某数学学习网站为吸引更多人注册加入，举行了一个为期 5 天的推广活动， 在活动期间，加入该网站的人数变化情况如下表所示： 时间 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 第 5 天 新加入人数（人） 153 550 653 b 725 累计总人数（人） 3353 3903 a 5156 5881 （1）表格中 a= 4556 ，b= 600 ； （2）请把下面的条形统计图补充完整； （3）根据以上信息，下列说法正确的是 ① （只要填写正确说法前的序号）． ①在活动之前，该网站已有 3200 人加入； ②在活动期间，每天新加入人数逐天递增； ③在活动期间，该网站新加入的总人数为 2528 人． 【考点】VC：条形统计图． 【分析】（1）观察表格中的数据即可解决问题； （2）根据第 4 天的人数 600，画出条形图即可； （3）根据题意一一判断即可； 【解答】解：（1）由题意 a=3903+653=4556，b=5156﹣4556=600． 故答案为 4556，600． （2）统计图如图所示， （3）①正确．3353﹣153=3200．故正确． ②错误．第 4 天增加的人数 600＜第 3 天 653，故错误． ③错误．增加的人数=153+550+653+600+725=2681，故错误． 故答案为① 24．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不 要求写作法，但要保留作图痕迹）： （1）作△ABC 的外心 O； （2）设 D 是 AB 边上一点，在图中作出一个正六边形 DEFGHI，使点 F，点 H 分 别在边 BC 和 AC 上． 【考点】N3：作图—复杂作图；KK：等边三角形的性质；MA：三角形的外接圆 与外心． 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作出 AB，AC 的垂直平分线交于点 O 即为所 求； （2）过 D 点作 DI∥BC 交 AC 于 I，分别以 D，I 为圆心，DI 长为半径作圆弧交 AB 于 E，交 AC 于 H，过 E 点作 EF∥AC 交 BC 于 F，过 H 点作 HG∥AB 交 BC 于 G， 六边形 DEFGHI 即为所求正六边形． 【解答】解：（1）如图所示：点 O 即为所求． （2）如图所示：六边形 DEFGHI 即为所求正六边形． 25．操作：“如图 1，P 是平面直角坐标系中一点（x 轴上的点除外），过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，点 C 绕点 P 逆时针旋转 60°得到点 Q．”我们将此由点 P 得到点 Q 的操作称为点的 T 变换． （1）点 P（a，b）经过 T 变换后得到的点 Q 的坐标为 （a+ b， b） ； 若点 M 经过 T 变换后得到点 N（6，﹣ ），则点 M 的坐 标为 （9，﹣ 2 ） ． （2）A 是函数 y= x 图象上异于原点 O 的任意一点，经过 T 变换后得到点 B． ①求经过点 O，点 B 的直线的函数表达式； ②如图 2，直线 AB 交 y 轴于点 D，求△OAB 的面积与△OAD 的面积之比． 【考点】FI：一次函数综合题． 【分析】（1）连接 CQ 可知△PCQ 为等边三角形，过 Q 作 QD⊥PC，利用等边三 角形的性质可求得 CD 和 QD 的长，则可求得 Q 点坐标；设出 M 点的坐标，利用 P、Q 坐标之间的关系可得到点 M 的方程，可求得 M 点的坐标； （2）①可取 A（2， ），利用 T 变换可求得 B 点坐标，利用待定系数示可求得 直线 OB 的函数表达式；②由待定系数示可求得直线 AB 的解析式，可求得 D 点 坐标，则可求得 AB、AD 的长，可求得△OAB 的面积与△OAD 的面积之比． 【解答】解： （1）如图 1，连接 CQ，过 Q 作 QD⊥PC 于点 D， 由旋转的性质可得 PC=PQ，且∠CPQ=60°， ∴△PCQ 为等边三角形， ∵P（a，b）， ∴OC=a，PC=b， ∴CD= PC= b，DQ= PQ= b， ∴Q（a+ b， b）； 设 M（x，y），则 N 点坐标为（x+ y， y）， ∵N（6，﹣ ）， ∴ ，解得 ， ∴M（9，﹣2 ）； 故答案为：（a+ b， b）；（9，﹣2 ）； （2）①∵A 是函数 y= x 图象上异于原点 O 的任意一点， ∴可取 A（2， ）， ∴2+ × = ， × = ， ∴B（ ， ）， 设直线 OB 的函数表达式为 y=kx，则 k= ，解得 k= ， ∴直线 OB 的函数表达式为 y= x； ②设直线 AB 解析式为 y=k′x+b， 把 A、B 坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线 AB 解析式为 y=﹣ x+ ， ∴D（0， ），且 A（2， ），B（ ， ）， ∴AB= = ，AD= = ， ∴ = = = ． 26．某地新建的一个企业，每月将生产 1960 吨污水，为保护环境，该企业计划 购置污水处理器，并在如下两个型号种选择： 污水处理器型号 A 型 B 型 处理污水能力（吨/月） 240 180 已知商家售出的 2 台 A 型、3 台 B 型污水处理器的总价为 44 万元，售出的 1 台 A 型、4 台 B 型污水处理器的总价为 42 万元． （1）求每台 A 型、B 型污水处理器的价格； （2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的污水处理器， 那么他们至少要支付多少钱？ 【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用． 【分析】（1）可设每台 A 型污水处理器的价格是 x 万元，每台 B 型污水处理器的 价格是 y 万元，根据等量关系：①2 台 A 型、3 台 B 型污水处理器的总价为 44 万元，②1 台 A 型、4 台 B 型污水处理器的总价为 42 万元，列出方程组求解即 可； （2）由于求至少要支付的钱数，可知购买 6 台 A 型污水处理器、3 台 B 型污水 处理器，费用最少，进而求解即可． 【解答】解：（1）可设每台 A 型污水处理器的价格是 x 万元，每台 B 型污水处理 器的价格是 y 万元，依题意有 ， 解得 ． 答：设每台 A 型污水处理器的价格是 10 万元，每台 B 型污水处理器的价格是 8 万元； （2）购买 6 台 A 型污水处理器、3 台 B 型污水处理器，费用最少， 10×6+8×3 =60+24 =84（万元）． 答：他们至少要支付 84 万元钱． 27．如图，以原点 O 为圆心，3 为半径的圆与 x 轴分别交于 A，B 两点（点 B 在 点 A 的右边），P 是半径 OB 上一点，过 P 且垂直于 AB 的直线与⊙O 分别交于 C， D 两点（点 C 在点 D 的上方），直线 AC，DB 交于点 E．若 AC：CE=1：2． （1）求点 P 的坐标； （2）求过点 A 和点 E，且顶点在直线 CD 上的抛物线的函数表达式． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）如图，作 EF⊥y 轴于 F，DC 的延长线交 EF 于 H．设 H（m，n），则 P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．首先证明△ACP∽△ECH，推出 = = = ， 推出 CH=2n，EH=2m=6，再证明△DPB∽△DHE，推出 = = = ，可得 = ， 求出 m 即可解决问题； （2）由题意设抛 物线的解析式为 y=a（x+3）（x﹣5），求出 E 点坐标代入即可解 决问题； 【解答】解：（1）如图，作 EF⊥y 轴于 F，DC 的延长线交 EF 于 H．设 H（m，n）， 则 P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m． ∵EH∥AP， ∴△ACP∽△ECH， ∴ = = = ， ∴CH=2n，EH=2m=6， ∵CD⊥AB， ∴PC=PD=n， ∵PB∥HE， ∴△DPB∽△DHE， ∴ = = = ， ∴ = ， ∴m=1， ∴P（1，0）．[来源:学§科§网] （2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9， 连接 OP，在 Rt△OCP 中，PC= =2 ， ∴CH=2PC=4 ，PH=6 ， ∴E（9，6 ）， ∵抛物线的对称轴为 CD， ∴（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为 y=a（x+3）（x﹣5）， 把 E（9，6 ）代入得到 a= ， ∴抛物线的解析式为 y= （x+3）（x﹣5），即 y= x2﹣ x﹣ ． 28．如图，已知矩形 ABCD 中，AB=4，AD=m，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上 以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，连接 CP，作点 D 关于直线 PC 的对称点 E， 设点 P 的运动时间为 t（s）． （1）若 m=6，求当 P，E，B 三点在同一直线上时对应的 t 的值． （2）已知 m 满足：在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时 刻 t，使点 E 到直线 BC 的距离等于 3，求所有这样的 m 的取值范围． 【考点】LO：四边形综合题． 【分析】（1）只要证明△ABD∽△DPC，可得 = ，由此求出 PD 即可解决问 题； （2）分两种情形求出 AD 的值即可解决问题：①如图 2 中，当点 P 与 A 重合时， 点 E 在 BC 的下方，点 E 到 BC 的距离为 3．②如图 3 中，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的上方，点 E 到 BC 的距离为 3； 【解答】解：（1）如图 1 中， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC=∠A=90°， ∴∠DCP+∠CPD=90°， ∵∠CPD+∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠PCD， ∵∠A=∠CDP=90°， ∴△ABD∽△DPC， ∴ = ， ∴ = ， ∴PD= ， ∴t= s 时，B、E、D 共线． （2）如图 2 中，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的下方，点 E 到 BC 的距离为 3． 作 EQ⊥BC 于 Q，EM⊥DC 于 M．则 EQ=3，CE=DC=4 易证四边形 EMCQ 是矩形， ∴CM=EQ=3，∠M=90°， ∴EM= = = ， ∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M， ∴△ADC∽△DME， = ， ∴ = ， ∴AD=4 ， 如图 3 中，当点 P 与 A 重合时，点 E 在 BC 的上方，点 E 到 BC 的距离为 3． 作 EQ⊥BC 于 Q，延长 QE 交 AD 于 M．则 EQ=3，CE=DC=4 在 Rt△ECQ 中，QC=DM= = ， 由△DME∽△CDA， ∴ = ， ∴ = ， ∴AD= ， 综上所述，在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t，使 点 E 到直线 BC 的距离等于 3，这样的 m 的取值范围 ≤m＜4 ． 2017 年 6 月 28 日 不用注册，免费下载！