襄阳四校联考2015-2016年高二下学期期中数学（文）试卷及答案

2015—2016 学年下学期高二期中考试 数学试题（文） 时间 ：120 分钟 分值：150 分 命题牵头学校：襄州一中 命题教师： 学 校：曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。网评考生务必将自己的学校、班级、姓 名、考号填写在答题卡密封线内，将考号最后两位填在登分栏的座位号内。网评考生务 必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3. 非选择答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在 试题卷、草稿纸上无效。 第I卷 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 1．若命题 p : 2x  或 3y  ，则 p 为( ) A. 2x  或 3y  B. 2x  或 3y  C. 2x  或 3y  D. 2x  且 3y  2．抛物线 2x ay 的准线方程是 1y   ，则 a  （ ） A. 16a  B. 8a  C. 4a  D. 2a  3．已知直线 y m 是曲线 2 xy xe 的一条切线，则实数 m 的值为（ ） A. 2e B. e C. 2 e  D. 1 e  4. 若动点 ( , )M x y 在运动过程中，总满足关系式 2 2 2 2( 5) ( 5) 6x y x y      ，则 M 的轨迹为（ ） A. 双曲线 1169 22  yx 的右支 B. 双曲线 2 2 19 16 x y  的左支 C. 椭圆 11625 22  yx D. 双曲线 1916 22  yx 的右支 5. 函数 ( ) sin , 0,2 2 xf x x x        的最大值是（ ） A． 1 2 12  B． 3 2 6  C． 3 12 2   D． 1 6 2   曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中 6．已知函数 2( ) lnf x k x x  在 (1, ) 上为增函数，则 k 的取值范围是（ ） A.( , 1) (1, )   B.  1, C.  , 1  D.    , 1 1,   7. 已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 恰好是椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的一个焦点， 两条曲线的交点的连线过点 F ，则椭圆的离心率为( ) A. 2 2 B. 3 2 C. 2 1 D. 3 1 8．函数 3 21 1( ) 3 2f x ax bx cx d    的图像如图所示，设 2( )x ax bx c d     ，则下 列结论成立的是( ) A. (1) 0  B． (1) 0  C. (1) 0  D． (1) 0  9.下列命题正确的是（ ） A．“ 2 2a b ”是“ 2 2a b ”的充分不必要条件； B．在△ ABC 中，“ A B ”是“sin sinA B ”的充要条件； C．“ 1a b  ”是“ a b ”的必要不充分条件； D．“若 0x  或 0y  ，则 2 2 0x y  ”是真命题. 10．在下列图形中，可能是方程 2 0ax by  和 2 2 1ax by  ( 0)ab  图形的是（ ） 11.若一个函数在其定义域内函数值恒为正值，则称该函数为“正函数”，下列函数不是．．“正 函数”的是（ ） A．   sin , (0, )f x x x x    B． ln( ) 1 xf x x   C． ( ) 1xf x e x   D． ( ) lnf x x x  12.如图，设抛物线 xy 42  的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 , ,A B C ， 其中点 ,A B 在抛物线上，点C 在 y 轴上，则△ BCF 与△ ACF 的面积之比是( ) A. 1 1   AF BF B. 1 1 2 2   AF BF C. 1 1   AF BF D. 1 1 2 2   AF BF 第 II 卷 二.填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卷的相应位置上) 13. 函数 ( ) ( 2) xf x x e  的单调递增区间是 ． 14．已知命题 : 3 4p x a    ，命题 :( 1)( 3) 0q x x   ，且 q 是 p 的充分而不必要条件, 则 a 的取值范围是 ． 15．设 1 2,F F 为曲线 1C : 2 2 124 yx   的焦点， P 是曲线 2 2 2 : 149 24 x yC   与 1C 的一个交点， 则 △ 1 2PF F 的面积为________． 16. 定 义 在 R 上 的 函 数 ( )f x 的 图 像 过 点 (0,5) ， 其 导 函 数 是 ( )f x ， 且 满 足 ( ) 1 ( )f x f x   ，则不等式 ( ) 4x xe f x e  （e 为自然对数的底数）的解集为________． 三.解答题(本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知命题 p :方程 2 2 125 7 x y m m    表示焦点在 x 轴上的椭圆, 命 题 q ：双曲线 2 2 14 y x m   的离心率 (1,2)e ,若“ p q  ”为假命题，求实数 m 的取值 范围. 18.(本小题满分 12 分)有一智能机器人在平面上行进中始终保持与点 (1,0)F 的距离和到直 线 1x   的距离相等． （Ⅰ）机器人行进至何处时到点 F 与到点 (3, 2)M  的距离之和最小？ （Ⅱ）若机器人接触不到过点 ( 1,0)K  且斜率为 k 的直线，求 k 的取值范围． x BC F O Ay 19.(本小题满分 12 分)已知函数 3( ) lnf x x x  . （Ⅰ）求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （Ⅱ）设 3( )g x x x t   ，若函数 ( ) ( ) ( ) h x f x g x 在 1[ , ]ee 上( e 为自然对数的底数， 2.718e  ）恰有两个不同的零点,求实数t 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分)已知焦点在 x 轴上的椭圆的一个顶点为 (0, 1)A  ，其离心率为 6 3 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆与直线 y kx m  ( 0)k  相交于不同的两点 ,P Q ，当点 A 在线段 PQ 的垂直 平分线上时,求 m 的取值范围. 21.（本小题满分 12 分）如图，边长为 2 米的正方形钢板 ABCD 缺损一角（图中的阴影部 分），边缘线 OC 是以直线 AD 为对称轴，以线段 AD 的中点 O 为顶点的抛物线的一部分. 工人师傅沿直线 EF 将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形. （Ⅰ）求边缘线OC 所在的抛物线的方程； （Ⅱ）当剩余的直角梯形 ABEF 的面积最大时 ，求线段 EF 所在直线的方程，并求梯形面 积的最大值. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 2( ) lnf x x x ax   ， a R . （Ⅰ）若函数  f x 在其定义域上为增函数，求 a 的取值范围； （Ⅱ）当 1a  时，函数     1 f xg x xx   在区间 ,t  ( t N * ) 上存在极值，求t 的最大 值. 2015—2016 学年下学期高二期中考试 数学（文科）参考答案及评分细则 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） D C C A B D C A B D C C 二.填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上) 13． (1, ) （ 1, 也可） 14． 1,2 15. 24 16. ( ,0) 三.解答题(本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.解：当命题 p 为真， 167  m …………………3 分 当命题 q 为真， 0 12m  …………………6 分 p q  为假， qp  为真………………8 分 则所求实数 m 的取值范围是 7 12m  …………10 分 18．解：（Ⅰ）由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为 2 4y x …………3 分 设机器人行进至点 P 时到点 F 与到点 M 的距离和最小,且 P 到抛物线的准线的距离为 d ， 由抛物线定义： PF PM d PM   ,当机器人到点 F 与到点 M 的距离和最小时， MP 垂直直线 1x   ，此时，点 P 的坐标为 (1, 2) …………6 分 （Ⅱ）过点 ( 1,0)K  且斜率为 k 的直线方程为 ( 1)y k x  ， 由题意知直线与抛物线无交点，机器人是接触不到该直线的， 联立消去 y ，得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    …………8 分 则Δ＝ 2 2 4(2 4) 4 0k k   ……………10 分 所以 2 1k  ，得 1k  或 1k   .……………12 分 19.解：（Ⅰ）函数定义域为 (0, ) ……………1 分 2 1( ) 3f x x x    ， (1) 2f   ……………3 分 又 (1) 1f ，所求切线方程为 1 2( 1)y x   ，即 2 1 0x y   ……………5 分 （Ⅱ）函数 ( ) ( ) ( ) ln     h x f x g x x x t 在 1[ , ]ee 上恰有两个不同的零点， 等价于 ln 0   x x t 在 1[ , ]ee 上恰有两个不同的实根， 等价于 ln t x x在 1[ , ]ee 上恰有两个不同的实根，……………7 分 令 ( ) ln , k x x x 则 1 1'( ) 1    xk x x x 当 1( ,1)x e 时， '( ) 0k x ， ( )k x 在 1( ,1)e 递减； 当 (1, ]x e 时 ， '( ) 0k x ， ( )k x 在(1, ]e 递增. 故 min ( ) (1) 1 k x k ，……………9 分 又 1 1( ) 1, ( ) 1,k k e ee e      1 1( ) ( ) 2 0    k k e ee e ， 1( ) ( )k k ee ………11 分  1(1) ( ) k t k e ，即 1(1,1 ] t e ……………12 分 20.解：（Ⅰ）由已知 1b  ， 6 3 c a  解得 3a  ，椭圆方程： 2 2 13 x y  ………4 分 （Ⅱ）设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，联立直线和椭圆方程得方程组 2 2 22 2 (3 1) 6 3 3 0 13 y kx m k x kmx mx y            2 1 2 1 22 2 6 3 3,3 1 3 1 km mx x x xk k      ， 2 1 2 2 2 6 223 1 3 1 k m my y mk k      由 0  ，得 2 23 1k m  ……………7 分， 设线段 PQ 的中点为 E ，则 AE PQ , 22 2 1 3 13 1 3 3 3 1 AE m m kkk km km k       ， 2 23 1 1 2 3 1 13AE PQ m kk k k m kkm         ， 解得 1 2m  ,……………9 分 又 2 22 1 3 1m k m    ，得： 0 2m  ……………11 分 综上可得 1 22 m  ,即为所求……………12 分（设 P 、Q 及中点 E 的坐标用点差法亦可） 21.解：（Ⅰ）设边缘线 OC 的方程为 2y ax (0 2)x  又∵点 (2,1)C 在抛物线上，,∴ 4 1a  得 4 1a ∴ 21 4y x ………………4 分 （Ⅱ）要使梯形 ABEF 的面积最大，则 直线 EF 必与边缘线 OC 相切，设切点为 21( , )4P t t (0 2)t  当 0t  或 2t  时， 2S  . 当 (0,2)t  时，∵ xy 2 1 ，直线 EF 的方程为 21 1 ( )4 2y t t x t   即 21 1 2 4y tx t  由此可求得 21(2, )4E t t ， 21(0, )4F t ………………………6 分 从而有 2t4 11|| AF ， 14 1|| 2  ttBE 设梯形的面积为 ( )S t 则 22 1)14 1()4 11(|)||(|||2 1)( 222  tttttBEAFABtS 21 5( 1)2 2t    ∴当 1t  时， max 5( ) 2S t  ……………………………10 分 此时，直线 EF 的方程为 1 1 2 4y x  ………………………12 分 22.解：（Ⅰ）函数  f x 的定义域为 0, , ∵   2lnf x x x ax   ， ∴   1 2f x x ax     . ∵ 函数  f x 在 0, 上单调递增，[来源:学§科§网] ∴   0f x  , 即 1 2 0x ax    对  0,x  都成立. …………………2 分 ∴ 1 2a xx    对  0,x  都成立. 当 0x  时, 1 12 2 2 2 2x xx x     , 当且仅当 1 2xx  , 即 2 2x  时,取等号. ∴ 2 2a  , 即 2 2a   . ∴ a 的取值范围为 2 2,  .…………………5 分 （Ⅱ）当 1a  ，     2ln ln 1 1 1 f x x x x xg x x xx x x         .    2 11 ln 1 xxg x x      .…………………6 分 ∵ 函数  g x 在 ,t  ( t N * ) 上存在极值， ∴ 方程   0g x  在 ,t  ( t N * ) 上有解, 即方程 11 ln 0xx    在 ,t  ( t N * ) 上有解. …………………8 分 令   11 lnx xx      0x  , 由于 0x  , 则   2 1 1 0x x x      , ∴函数  x 在 0, 上单调递减. ∵   4 13 ln3 ln3 3     4e 27 41 2.5ln 03 27   ,   5 14 ln 4 ln4 4     5e 256 51 3ln 04 256   , ∴函数  x 的零点  0 3,4x  .………………10 分 ∵方程   0x  在 ,t  (t  N * ) 上有解, t N * ∴ 3t  . ∵t N * ，∴t 的最大值为3.…………………12 分 高二数学文科双向细目表 题号 内容 理解 应用 综合 分值 1 命题的否定 V 5 2 抛物线性质 V 5 3 导数几何意义 V 5 4 双曲线定义 V 5 5 导数求最值 V 5 6 导数单调性 V 5 7 圆锥曲线性质 V 5 8 导数意义 V 5 9 导数单调性 V 5 10 圆锥曲线 V 5 11 命题 V 5 12 抛物线定义 V 5 13 导数 V 5 14[来源:学科网 ZXXK] 充要条件 V 5 15 圆锥曲线性质 V 5 16 导数 V 5 17 命题 V 10 18 直线圆锥曲线位置 关系 V 12 19 导数 V 12 20 导数求最值 V 12 21 圆锥曲线 V 12 22 导数 V 12 不用注册，免费下载！