2015—2016 学年下学期高二期中考试
数学试题（理科）
时间:120 分钟 分值:150 分 命题牵头学校：枣阳一中
命题学校:曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中
命题教师:
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．请把答案填在答题卷上）
1.下列命题是真命题的为（ ）
A．若 x y ,则 1 1
x y
B．若 2 1x ,则 1x
C．若 x y ,则 x y D．若 x y ,则 2 2x y
2.双曲线
2
2 13
yx 的右焦点到其一条渐近线的距离为（ ）
A． 3 B．2 C． 2 D．1
3.原命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命
题中真命题的个数（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4.通过随机询问 110 名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：
男 女 总计[来源:Z.Com]
爱好 40 20 60[
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由
dbcadcba
bcadnK
2
2 得， 8.750605060
20203040110 2
2
K
2( )P K k 0．050 0．010 0．001
k 3．841 6．635 10．828
参照附表，得到的正确结论是 （ ）
A．在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好运动与性别有关”
B．有99% 以上的把握认为“爱好运动与性别有关”
C．在犯错误的概率不超过 0.1% 的前提下，认为“爱好运动与性别无关”
D．有99% 以上的把握认为“爱好运动与性别无关”
5.已知 , ,a b c 是实数且 0a ，则“ 0b
a
且 0c
a
”是“方程 2 0ax bx c 有两正根”
的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
曾都一中 枣阳一中
襄州一中 宜城一中
6. 如 图 ， 平 行 六 面 体 '''' DCBAABCD ， 其 中
,90,3',3,4 BADAAADAB ' 60BAA ,
' 60DAA ，则 'AC 的长为（ ）
A． 55 B． 65 C． 85 D． 95
7.抛物线C 方程为 2y x ，点 1 2A ， ，点 P 是抛物线 C 上的动点，点 F 是抛物线 C 的焦
点，当 PF PA 最小时，点 P 的坐标为（ ）
A． 11 ， B． 11， C． 2 2， D． 1 1
2 4
，
8. , ,a b c 为三个非零向量，则①对空间任一向量 p ，存在惟一实数组 , ,x y z ，使
p xa yb zc ；②若 a ∥b ，b ∥ c ，则 a ∥ c ；③若 a b b c ，则 a c ；
④ a b c = a b c ，以上说法一定成立的个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
9.已知 0a b ，椭圆 1C 的方程为
2 2
2 2 1x y
a b
，双曲线 2C 的方程为
2 2
2 2 1x y
a b
， 1C 与 2C
的离心率之积为 3
2
，则 2C 的渐近线方程为（ ）
A. 2 0x y B. 2 0x y C. 2 0x y D. 2 0x y
10.已知 3, 1,2,0a c ， 4a c a ，则 cos ,a c （ ）
A． 1
3
B． 2
3
C． 3
3
D． 5
3
11.已知 413A ，， ， 2,3,1B ， 3 7 5C ，， ，点 , 1,3P x 在平面 ABC 内，则 x 的值为
( )
A．－4 B．1 C．10 D．11
12.椭圆C 的方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
，离心率 3
2e ，斜率为非零实数 k 的直线l 与
其交与 ,A B 两点，AB 中点为 0 0,P x y ,坐标原点为O ，OP 斜率为 0k ，则 0k k 为（ ）
A． 3
4
B． 3
4
C． 1
4
D． 1
4
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．请把答案填在答题卷上）
13. 抛物线 24y x 的焦点坐标为 。
14.“ 2
0 0 0, 1 0x R ax ax ”为假命题 ，则 a 。
15. 已知 P 是抛物线 C： 2y x 上一点，则 P 到直线 3y x 的最短距离为 。
16. 已知椭圆 E ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）与双曲线 D：
2 2
2 2 14
x y
a b
，直线
2
: al x c
（ 2 2 2 0c a b c 其中 ， ）与双曲线 D 的两条渐近线分别交于点 A 、 B ，若椭圆 E 的右
焦点为 F , AFB 为钝角，则椭圆的离心率 e 的取值范围是 。
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）[来源:Z§xx§k.Com]
17.（12 分）点 5,0A ，点 5,0B ，点 ,M x y ，直线 ,AM BM 斜率之积是非零实数 m 。
(Ⅰ)求点 M 的轨迹方程；
（Ⅱ)点 M 的轨迹添上点 A , B 后，可能为双曲线、圆或椭圆，请指出 m 为何值时轨迹为
双曲线、圆或椭圆。
18.（12 分）如图，两个正方形框架的边长均为 1，且平面 ABCD 与平面 ABEF 互相垂直。
,M N 分别在正方形对角线 AC 和 BF 上移动，且CM 和
BN 的长度保持相等，记 = 0 2CM BN t t 。
(Ⅰ)求 MN 的长（用 t 表示）；
（Ⅱ)当 MN 的长最小时，求异面直线 MN 与 DE 所成角的
余弦值。
19.（12 分）动圆圆心 C 在 y 轴右边，圆C 与圆 F 2 2: 1 1x y 相外切且与 y 轴相切。
(Ⅰ)求点C 的轨迹方程；
（Ⅱ)直线l : x ty m 0m （ ）与点C 轨迹有两个不同交点 ,A B ，若OA OB ，求正实数
m 的值。
20.（12 分）如图，在 ABC 中， 060ABC , 090BAC , =1DB ， AD 是 BC 边上的
高，沿 AD 把 ABD 折起，使 090BDC 。
（Ⅰ）证明： DB 平面 ADC ；
（Ⅱ）点 E 在线段 BC 上，当直线 AE 与平面 ADC 成角正弦值为 22
22
时，求平面 ADE 与
平面 ABC 所成锐二面角的余弦值。
21.（12 分）椭圆 C 焦点在 y 轴上，离心率为 3
2
，上焦点到上顶点距离为 2 3 。
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;
（Ⅱ）直线l 与椭圆C 交与 ,P Q 两点，O 为坐标原点， OPQ 的面积 1OPQS ,则
2 2
OP OQ 是否为定值，若是求出定值；若不是，说明理由。
22.（10 分）命题 :p
2 2
14 2
x y
m m
表示双曲线方程，命题 :q 2,2x ， x m 。若
p q 为真， p q 为假，求实数 m 的取值范围。
2015—2016 学年下学期高二期中考试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 `10 11 12
C A C B B A B A B D D C
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13. 10 16
， 14. 0,4a 15. 11 2
8 16. 3 12
，
三、解答题（共 70 分）
17.解:（Ⅰ） ,5 5AM BM
y yk kx x
5x …（2 分）
=5 5AM BM
y yk k mx x
2 2 25mx y m …（4 分）[
2 2
125 25
x y
m
5x …（6 分，丢范围扣 1 分）
（Ⅱ）1 。 当 0m 时，轨迹形状为焦点在 x 轴的双曲线， …（8 分）
2 。 当 1m 时，轨迹形状为圆， …（10 分）
3 。 当 1 0m 时，轨迹形状为焦点在 x 轴的椭圆，
当 1m 时，轨迹形状为焦点在 y 轴的椭圆。 …（12 分）
（不需指明焦点位置，未指明焦点位置不扣分）
18.解：（Ⅰ）以 B 为坐标原点，以 , ,BA BC BE 分别为 , ,x y z 轴正方向建立坐标系，如图，
则 2 2 2 2,1 ,0 , ,0,2 2 2 2M t t N t t
，
2
2 22 20, 1, 2 12 2MN t t t t
2 2 1MN t t …（6 分）
曾都一中 枣阳一中
襄州一中 宜城一中
（Ⅱ）
2
2 2 12 1= 2 2MN t t t
,当 2
2t 时， MN 的长最小…（9 分）
1 1= 0, , 1 112 2MN DE
， 又 ， ， ,设 MN 与 DE 所成角为 ，则余弦
6cos 3
MN DE
MN DE
…（12 分）
19.解：（Ⅰ）设 ( , )C x y , 0x …（1 分）
则 2 2( 1) 1x y x …（3 分）
化简得 2 4 ( 0)y x x …（5 分,丢范围扣 1 分）
（用抛物线定义得出方程给相应分数）
（Ⅱ）l 的方程为 x ty m ，由 2 4
x ty m
y x
得 2 4 4 0y ty m
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 则
2
1 2
1 2
=16t 16 0
4
4
m
y y t
y y m
…（8 分）
OA OB
2 2
1 2
1 2 1 2 1 2= +4 4
y yOA OB x x y y y y
2= 4 0m m …（10 分）
0 4m m 或 正数 4m …（12 分）
20.解：（Ⅰ）∵折起前 AD 是 BC 边上的高，
∴ 当 ABD 折起后， AD DB ，
∵ 090BDC ,∴ DB DC
∴ DB 平面 ADC 。 …（3 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 , ,DA DB DC 两两垂直，以 D 为坐标原点，以 , ,DA DB DC 所在直线为
, ,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵ =1DB ，易得 0,0,0D , 1 0 0B ，， , 0 3 0C ，， , 0 0 3A ，， …（5 分）
∴ 1 0 0DB ，， 为平面 ADC 法向量。
∵点 E 在 BC 上，设 ,3 3 ,0E t t ，则
,3 3 , 3AE t t
∴ AE 与 DB 夹角余弦值为
2
22= 2210 18 12
tAE DB
AE DB t t
…（7 分）
∴ 1
2t ，即 1 3 02 2E
，， 为 BC 边中点 …（8 分）
平面 ADE 法向量 1 3,1,0n …（10 分）
平面 ABC 法向量 2 3,1, 3n …（11 分）
所求锐二面角的余弦为 1 2
1 2
4 130
65
n n
n n
…（12 分）
21.解：（Ⅰ）由题
3
2
2 3
ce a
a c
解得 2, 3a c , 2 2 2 1b a c
椭圆C 的标准方程为:
2
2 14
yx …（4 分）
（Ⅱ）设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y
（1）当l 斜率不存在时， ,P Q 两点关于 x 轴对称， 1 1 1OPQS x y
又
2
2 1
1 14
yx ，解得 2 2
1 1
1= 22x y ， ，
2 2 2 2
1 1=2 =5OP OQ x y …（5 分）
（2）当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y kx m ，
题意知 0m ，将其代入
2
2 14
yx 得
2 2 24 2 4 0k x kmx m …（6 分）
2 2 2 2 2
1 2 2
2
1 2 2
2 4 4 4 0 4
2
4
4
4
km k m k m
kmx x k
mx x k
…（7 分）
22
1 21PQ k x x ，O 到 PQ 距离
21
md
k
…（8 分）
2 2
1 2 1 2 1 241 12 2 2OPQ
m x x m x x x x
S PQ d
解得 2 24 2k m ，满足 0 ， …（10 分）
2
1 2 1 22 2
2 4=4 2
km k mx x x xk m m
，
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2= +OP OQ x y x y
= 22 2
1 2 1 2 1 23 8 3 6 8x x x x x x
2 2 2 2
2 2
4 3 3 123 6 8 82
k m k m
m m m
=-3+8=5 …（11 分）
综上： 2 2
=5OP OQ 为定值。 …（12 分）
22.解：命题 p 为真，则 4 2 0m m ， 4 2m …（3 分）
命题 q 为真，则 2m …（5 分）
p q 为真， p q 为假，则 ,p q 一真一假 …（7 分）
4 2
2
m
m
或 4 2
2
m m
m
或
，
所求 m 的取值范围为 4 2 2m m 或 …（10 分）
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