彭州五校联考2015-2016年高二下学期数学（文）期中试题及答案

2015-2016 学年度下学期半期 5 校联考数学试题（文科） 命题人：阳澜 审题人：罗青春 考试时间：120 分钟 总分：150 分 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合 2{ | 3 0}A x x x   ， { | | | 2}B x x  ，则 A B  （ ） A． | 2 3x x  B． | 2 0x x   C． | 0 2x x  D． | 2 3x x   2．a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc 成等差数列”是“2a、2b、2c 成等比数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．要得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象，应该把函数 y=sin2x 的图象（ ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 4．已知向量 (1, ), ( 1, ),a x b x    若 (2 ) .a b b    则 a  （ ） A． 2 B． 3 C．2 D．4 5．设 0.3，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c[ 6．在各项均为正数的等比数列{ }na 中，若 5 6 9a a  ，则 （ ） A．12 B． 32 log 5 C．8 D．10 7．三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示， 则棱 SB 的长为（ ） A．2 B．4 C． D．16 8．如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ） A．i≤2014？ B．i≤2016？ C．i≤2018？ D．i≤2020？ 9．已知 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 2 2 2a b c bc   ， 4bc  ，则 ABC 的面积为（ ） A． 1 2 B．1 C． 3 D．2 10．设 1 2,F F 是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 p ,使 1 2 120F PF   ,则椭圆离心率 e 的取值范 围是 （ ） A． 30, 2       B． 30, 2      C． 3 ,12       D． 3 ,12      11．已知l ， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A．若 / /l  ， / /m  ，则 / /l m B．若l m ， / /m  ，则l  C．若l  ， m  ，则 / /l m D．若 l m ，l  ，则 / /m  12．已知函数 )(xfy  )( Rx  满足 ( 2) 2 ( )f x f x  ，且 [ 1,1]x  时， ( ) 1f x x   ，则当 [ 10 ,10 ]x  时， )(xfy  与 4( ) logg x x 的图象的交点个数为( ) A．13 B．12 C．11 D．10 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．某大学中文系共有本科生 5000 人，其中一、二、三、四年级的学生比为 5：4：3：1，要用分 层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 260 的样本，则应抽二年级的学生 ． 14．已知正数 x、y，满足 118  yx ，则 x+2y 的最小值为 ． 15．若 yx, 满足约束条件       1 3 1 y yx xy ，则 2 x yz 的最大值为_______． 16．已知函数         ]2 1,0[,4 1 2 1 ]1,2 1(,2)( xx xx x xf ， )0(22)2 3 3sin()(  aaxaxg  给出下列结论： ①函数 )(xf 的值域为 ]3 1,0[ ； ②函数 )(xg 在[0，1]上是增函数； ③对任意 a ＞0，方程 )()( xgxf  在[0，1]内恒有解； ④若存在 ]1,0[, 21 xx ，使得 )()( 21 xgxf  成立，则实数 a 的取 值范围是 5 4 9 5  a 。 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17．（本小题满分 10 分） 已知向量    cos sin ,2sin , cos sin ,cosa x x x b x x x    ．令  f x a b  ． （1）求  f x 的最小正周期； （2）当 3,4 4x       时，求  f x 的最小值以及取得最小值时 x 的值． 18．（本小题满分 12 分） 等差数列 na 中， 11 a ，公差 0d 且 632 ,, aaa 成等比数列，前 n 项的和为 nS . （1）求 na 及 nS ;[来源:Z.Com] （2）设 1 1   nn n aab ， nn bbbT  21 ，求 nT . 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 ABCDP  中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD， DCPD  ，E 是 PC 的中点，作 PBEF  交 PB 于点 F. （1）证明 ∥PA 平面 EDB ； （2）证明 PB 平面 EFD； （3）求二面角 D-PB-C 的大小． 20．（本小题满分 12 分） 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学 生，将其数学成绩 （均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频 率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图； （Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段[70， 80）的概率． 21．（本小题满分 12 分） 某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品 x（百台），其总成本为  xG （万元），其中固定成本为 42 万元，且每 生 产 1 百 台 的 生 产 成 本 为 15 万 元 （ 总 成 本  固 定 成 本  生 产 成 本 ）． 销 售 收 入  xR （ 万 元 ） 满 足   26 63 ,0 5, 165, 5, x x xR x x       假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题： （1）写出利润函数  xfy  的解析式（利润 销售收入 总成本）； （2）要使工厂有盈利，求产量 x 的范围； （3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？ 22．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 E 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且椭圆 E 上一点到两个焦点距离之和为 4；l1，l2 是过 点 P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1 交 E 于 A，B 两点，l2 交 E 交 C，D 两点，AB，CD 的中点分别为 M，N． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）求 l1 的斜率 k 的取值范围； （Ⅲ）求 的取值范围． 参考答案 1-5:CDDCD 6-10:DBBCD 11-12:CC 1．C． 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 可 知 { | 0 3}A x x   ， 则 { | 2 2}B x x    ， ∴ { | 0 2}A B x x   ，故选 C． 考点：集合的关系． 2．．D 【解析】 试题分析：从三个数字成等差数列入手，整理出 a，b，c 之间的关系，两个条件所对应的关 系不同，这两者不能互相推出． 解：lna、lnb、lnc 成等差数列 ∴2lnb=lna+lnc ∴b2=ac 当 2b=a+c 时， 2a、2b、2c 成等比数列， 这两个条件不能互相推出， ∴是既不充分又不必要 故选 D． 考点：等比关系的确定． 3．D[来源:Z|xx|k.Com] 【解析】 试题分析：化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向． 解：要得到函数 y=sin（2x﹣ ）=sin[2（x﹣ ）]的图象，需要将函数 y=sin2x 的图象， 向右平移 单位即可． 故选：D． 考点：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 4．C 【解析】 试题分析：由已知 2 (3, )a b x   ，因为 (2 ) .a b b    ，所以 2(2 ) 3 ( 1) 0a b b x         ， 3x   ，所以 21 1 3 2a x     ．故选 C． 考点：向量垂直的坐标运算，向量的模． 5．D 【解析】 试题分析：由幂函数的性质比较 a，b 的大小，再由对数函数的性质可知 c＜0，则答案可求． 解：∵0＜ ＜0.50=1， c=log50.3＜log51=0， 而由幂函数 y= 可知 ， ∴b＞a＞c． 故选：D． 考点：指数函数的图象与性质． 6．D 【解析】 试 题 分 析 ： 由 等 比 数 列 的 性 质 知 ： 5 6 1 10 2 9 9a a a a a a   L ， 故 3 1 3 2 3 10log log loga a a   L 5 3 1 2 10 3 5 6 3log ( ) log ( ) 5log 9 10a a a a a  L ，所以正确答案为 D． 考点：1、等比数列的性质；2、对数运算． 7．B 【解析】 试题分析：由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC，底面△ABC 为等腰三角形，SC=4，△ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，进而根据勾股定理得到答案． 解：由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC， 且底面△ABC 为等腰三角形， 在△ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ， 故 BC=4， 在 Rt△SBC 中，由 SC=4， 可得 SB=4 ， 故选 B 考点：简单空间图形的三视图． 8．B 【解析】 试题分析：根据流程图写出每次循环 i，S 的值，和 比较即可确定 退出循环的条件，得到答案． 解：根据流程图，可知 第 1 次循环：i=2，S= ； 第 2 次循环：i=4，S= ； … 第 1008 次循环：i=2016，S= ； 此时，设置条件退出循环，输出 S 的值． 故判断框内可填入 i≤2016． 故选：B． 考点：程序框图． 9．C 【解析】 试题分析： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3cos sin2 2 2 b c aa b c bc b c a bc A Abc              1 1 3sin 4 32 2 2S bc A      考点：余弦定理及三角形面积公式 10 D 【解析】 试 题 分 析 ： 1 2F PF 最 大 时 点 P 位 于 短 轴 的 顶 点 B ， 因 此 只 需 满 足 1 2 1120 60F BF F BO     1 1 1 0 3 3sin ,12 2 F cF BO eF B a            考点：椭圆性质 11．C． 【解析】 试题分析：A：l ，m 可能的位置关系为：相交，异面，平行，故 A 错误；B：根据线面平行 的性质以及线面垂直的判定可知 B 错误；C：根据线面垂直的性质可知 C 正确；D： / /m  或 m  ，故 D 错误，故选 C． 考点：空间中线面的位置 关系判定及其性质． 12．C 【解析】 试题分析：∵ )(xfy  )( Rx  满足 ( 2) 2 ( )f x f x  ，且 x [ 1,1]x  时， ( ) 1f x x   ， 1 1 10 , 10 932 32 1 1 8 , 9 716 16 1 1 6 , 7 58 8 1 1 4 , 5 34 4 1 1 2 , 3 1( ) ,2 2 1 , 1 1 2 2 2 ,1 3 4 4 4 ,3 5 8 8 6 ,5 7 16 16 8 ,7 9 32 32 10 ,9 11 x x x x x x x x x xf x x x x x x x x x x x x x                                                                        分别作出函数 )(xfy  与 4( ) logg x x 的图像如图： 由图象可知 )(xfy  与 4( ) logg x x 的图象的交点个数为 11 个．故选：C． 考点： 1.抽象函数；2.函数图象. 13．80 【解析】 试题分析： 由分层抽样的定义可得，应抽二年级的学生人数为 4260 805 4 3 1     （人）．故答案为 80． 考点：分层抽样． 14．18 【解析】 试题分析：   8 1 162 2 10 8 2 16 16y xx y x y x y x y              ，当且仅当16y x x y  时等号成立，所以最小值为 18 考点：均值不等式求最值 15． 2 3 【解析】 试题分析：画出可行域，目标函数 )2( 0 2   x y x yz 表示可行域内的点 ),( yx 与点 )0,2( 连线的斜率，当其经过点 )2,1(A 时， 2 x yz 取到最大值为 3 2z ． 考点：简单的线性规划的应 用． 16．①②④ 【解析】 试题分析：当 ]1,2 1(x 是函数单调递增，此时 ]3 1,5 1()( xf ；当 ]2 1,0[x 时函数单调递减， 此 时 ]4 1,0[)( xf , 故 函 数 的 值 域 为 ]3 1[0， ， 所 以 命 题  正 确 。 )0(22)3cos(-22)2 3 3sin()(  aaxaaxaxg  ，显然在[0，1]上是增函 数，故命题正确。 由命题函数 )(xg 的值域为 2]a2 52,-[-3a  ,要是命题④成立，需有            0 3 123 022 5- a a a 解得 5 4 9 5  a ，故命题④正确。因此答案为①②④ 考点：函数的单调性及值域问题存在性问题求参数 17．（1）T  （2）当 5 8x  时，函数  f x 取得最小值 2 ． 【解析】 试题分析：（1）利用向量的数量积运算公式及二倍角的三角函数、辅助角公式整理可得 ( ) 2 sin 2 4f x x      ，则周期易得；（2）讨论函数  f x 在 3,4 4x       的单调性，即可 求出  f x 的最小值以及取得最小值时 x 的值 试 题 解 析 ： （ 1 ）     cos sin cos sin 2sin cosf x x x x x x x     2 2cos sin 2sin cosx x x x   cos2 sin 2 2 sin 2 4x x x        ． （1）由最小正周期公式得： 2 2T    ． （2） 3,4 4x       ，则 3 72 ,4 4 4x         ，令 32 4 2x    ，则 5 8 =x  ， 从而  f x 在 5,4 8       单调递减，在 5 3,8 4       单调递增，即当 5 8x  时，函数  f x 取 得最小值 2 ． 考点：三角函数的图像和性质 18．（1） 32  nan ， nnsn 22  ；（2） 12  n nTn ． 【解析】 试题分析：（1）首先根据 a1=-1 和 d，求出 632 ,, aaa ，再根据 632 ,, aaa 是等比数列，求出数 列{an}的通项公式，再由等比数列的前 n 项和公式即可求得 nS ； （2）根据（1）求出数列{bn}的通项公式，然后 根据数列通项公式的特点选用裂项求和法进 行求和即可． 试题解析：（1）有题意可得 2 362 aaa  又因为 11 a 2d 2 分 32  nan nnsn 22  4 分 （2） )12 1 32 1(2 1 )12)(32( 11 1   nnnnaab nn n 6 分 )]12 1 32 1()3 1 1 1()1 1 1 1[(2 1 21  nnbbbT nn  12)12 11(2 1  n n n 10 分 考点：1.等比数列；2.数列求和． 19． （1）略 （2）略 （3） 3  解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点.设 .DC a (1)证明：连结 AC，AC 交 BD 于 G.连结 EG. G A B CD P y x z E F 依题意得 ( ,0,0), (0,0, ), (0, , )2 2 a aA a P a E 底面 ABCD 是正方形， G 是此正方形的中心， 故点 G 的坐标为 ( , ,0)2 2 a a 且 ( ,0, ), ( ,0, ).2 2 a aPA a a EG     2PA EG   . 这表明 EGPA∥ . 而 EG  平面 EDB 且 PA  平面 EDB， PA ∥平面 EDB。 (2) 证 明 ： 依 题 意 得 ( , ,0), ( , , )B a a PB a a a  。 又 (0, , ),2 2 a aDE  故 0220 22  aaDEPB PB DE  , 由已知 EF PB ，且 ,EF DE E 所以 PB  平面 EFD. (3)解：设点 F 的坐标为 0 0 0( , , ), ,x y z PF PB  则 0 0 0( , , ) ( , , )x y z a a a a   从而 0 0 0, , (1 ) .x a y a z a      所以 0 0 0 1 1( , , ) ( ,( ) ,( ) ).2 2 2 2 a aFE x y z a a a          由条件 EF PB 知， 0 PBPE 即 2 2 21 1( ) ( ) 0,2 2a a a        解得 1 3   。 点 F 的坐标为 2( , , ),3 3 3 a a a 且 2( , , ), ( , , ).3 6 6 3 3 3 a a a a a aFE FD        03 2 33 222  aaaFDPB ,即 PB FD ，故 EFD 是二面角C PB D  的平面角. ∵ 69189 2222 aaaaFDPE  且 aaaaFDaaaaPE 3 6 9 4 99,6 6 36369 222222  2 . 16cos .2| || | 6 6.6 3 a FE FDEFD FE FD a a         3EFD   ,所以，二面角 C—PC—D 的大小为 .3  【解析】本试题主要考查了立体几何中线面平行的判定，线面垂直的判定，以及二面角的求 解的综合运用试题。体现了运用向量求解立体几何的代数手法的好处。 20．（Ⅰ）0.3，见解析（Ⅱ）P（A）= 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，用 1 减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落 在[70，80）上的频率． （Ⅱ）分别求出[60，70）分数段的人数，[70，80）分数段的人数．再利用古典概型求解． 解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率 1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3， 故成绩落在[70，80）上的频率是 0.3，频率分布直方图如下图． （Ⅱ）由题意，[60，70）分数段的人数为 0.15×60=9 人，[70，80）分数段的人数为 0.3 ×60=18 人； ∵分层抽样在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本， ∴[60，70）分数段抽取 2 人，分别记为 m，n；，[70，8 0）分数段抽取 4 人，分别记为 a， b，c，d； 设从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段[70，80） 为事件 A， 则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…（c，d） 共 15 种， 则基本事件 A 包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n， b），（n，c），（n，d0 共 9 种， ∴P（A）= 考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式． 21．（1）   26 48 42,0 5, 123 15 , 5, x x xf x x x          ；（2）当产量大于 100 台，小于 820 台时， 能使工厂有盈利； （3）当工厂生产 400 台时，可使赢利最大为 54 万元． 【解析】 试题分析：（1）根据利润  销售收入  总成本，且总成本为 42 15x 即可求得利润函数  xfy  的解析式．（2）使分段函数  xfy  中各段均大于 0，再将两结果取并集．（3） 分段函数  xfy  中各段均求其值域求最大值，其中最大的一个即为所求． 试题解析：（1）由题意得   42 15G x x  ． ∴      f x R x G x   26 48 42,0 5, 123 15 , 5, x x x x x          ． （2）①当 0 5x  时，由 26 48 42 0x x    得： 2 8 7 0x x   ，解得1 7x  ． 所以：1 5x  ． ②当 5x  时，由123 15 0x  解得 8.2x  ．所以：5 8.2x  ． 综上得当1 8.2x  时有 0y  ． 所以当产量大于 100 台，小于 820 台时，能使工厂有盈利． （3）当 5x  时，∵函数 ( )f x 递减，∴    5 48f x f  （万元）． 当 0 5x  时，函数    26 4 54f x x    ， 当 4x  时， ( )f x 有最大值为 54（万元）． 所以，当工厂生产 400 台时，可使赢利最大为 54 万元． 考点：1 函数解析式；2 分段函数求最值． 22 ．（ Ⅰ ） ；（ Ⅱ ） ；（ Ⅲ ） ． 【解析】 试题分析：（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得 a 和 c 关系，进而根据 a 求得 b，则椭 圆的方程可得． （2）由题意知，直线 l1 的斜率存在且不为零设直线 l1 和 l2 的方程，分别于椭圆方程联立消 去 y，根据判别式求得 k 的范围，最后综合可得答案． （3）设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），根据韦达定理求得 x0 和 y0 的表达式，进而表 示 M 和 N 的坐标，最后表示出 根据 k 的范围确定答案． 解：（Ⅰ）设椭圆方程为 ， 由 ∴椭圆方程为 ； （2）由题意知，直线 l1 的斜率存在且不为零 ∵ ，∴ ． 由 消去 y 并化简整理， 得（3+4k2）x2+16kx+4=0 根据题意，△=（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得 ． 同理得 ， ∴ ； （Ⅲ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0） 那么 ，∴ ， ∴ 同理得 ，即 ∴ ∵ ，∴ ∴ 即 的取值范围是 ． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 不用注册，免费下载！