2015-2016 学年度下学期半期 5 校联考数学试题（理科）
命题人：阳澜 审题人：罗青春
考试时间：120 分钟 总分：150 分
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 2{ | 3 0}A x x x ， { | | | 2}B x x ，则 A B （ ）
A． | 2 3x x B． | 2 0x x C． | 0 2x x D． | 2 3x x
2．设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f（ x）=log2
x，则 f（﹣2）的值等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．要得到函数 y=sin（2x﹣ ）的图象，应该把函数 y=sin2x 的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
4．已知向量 (1, ), ( 1, ),a x b x 若 (2 ) .a b b 则 a （ ）
A． 2 B． 3 C．2 D．4
5．设 0.3，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c
6．在各项均为正数的等比数列{ }na 中，若 5 6 9a a ，则 （ ）
A．12 B． 32 log 5 C．8 D．10
7．三棱锥 S﹣ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，
则棱 SB 的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．16
8．如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）
A．i≤2014？ B．i≤2016？ C．i≤2018？ D．i≤2020？
9．已知 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 2 2 2a b c bc ， 4bc ，则 ABC
的面积为（ ）
A． 1
2
B．1 C． 3 D．2
10 ． 若 函 数 ( ) ( 0 1)x xf x ka a a a 且 在 ( , ) 上 既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数 ， 则 函 数
( ) log ( )ag x x k 的图象是（ ）
11．已知l ， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 / /l ， / /m ，则 / /l m B．若l m ， / /m ，则l
C．若l ， m ，则 / /l m D．若 l m ，l ，则 / /m
12．已知函数 )(xfy )( Rx 满足 ( 2) 2 ( )f x f x ，且 [ 1,1]x 时， ( ) 1f x x ，则当 [ 10 ,10 ]x 时，
)(xfy 与 4( ) logg x x 的图象的交点个数为( )
A．13 B．12 C．11 D．10
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．某大学中文系共有本科生 5000 人，其中一、二、三、四年级的学生比为 5：4：3：1，要用分
层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 260 的样本，则应抽二年级的学生 ．
14．已知正数 x、y，满足 118
yx
，则 x+2y 的最小值为 ．
15．若 yx, 满足约束条件
1
3
1
y
yx
xy
，则
2
x
yz 的最大值为_______．
16．已知函数
]2
1,0[,4
1
2
1
]1,2
1(,2)(
xx
xx
x
xf ， )0(22)2
3
3sin()( aaxaxg 给出下列结论：
①函数 )(xf 的值域为
]3
1,0[
；
②函数 )(xg 在[0， 1]上是增函数；
③对任意 a ＞0，方程 )()( xgxf 在[0，1]内恒有解；
④若存在 ]1,0[, 21 xx ，使得 )()( 21 xgxf 成立，则实数 a 的取 值范围是 5
4
9
5 a
。
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（本小题 满分 10 分）
已知向量 cos sin ,2sin , cos sin ,cosa x x x b x x x ．令 f x a b ．
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）当 3,4 4x
时，求 f x 的最小值以及取得最小值时 x 的值．
18．（本小题满分 12 分）
等差数列 na 中， 11 a ，公差 0d 且 632 ,, aaa 成等比数列，前 n 项的和为 nS .
（1）求 na 及 nS ;
（2）设
1
1
nn
n aab ， nn bbbT 21 ，求 nT .
19．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 ABCDP 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD，
DCPD ，E 是 PC 的中点，作 PBEF 交 PB 于点 F.
（1）证明 ∥PA 平面 EDB ；
（2）证明 PB 平面 EFD；
（3）求二面角 D-PB-C 的大小．
20．（本小题满分 12 分）
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生，将 其数学成绩
（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频
率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；[来源:学*科*网]
（Ⅱ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6
的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段[70，
80）的概率．
21．（本小题满分 12 分）
某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品 x（百台），其总成本为 xG （万元），其中固定成本为 42 万元，且每
生 产 1 百 台 的 生 产 成 本 为 15 万 元 （ 总 成 本 固 定 成 本 生 产 成 本 ）． 销 售 收 入 xR （ 万 元 ） 满 足
26 63 ,0 5,
165, 5,
x x xR x
x
假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述规律，完成下列问题：
（1）写出利润函数 xfy 的解析式（利润 销售收入 总成本）；
（2）要使工厂有盈利，求产量 x 的范围；
（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？
22．（本小题满分 12 分）
已知圆C 经过点 A（－2，0），B（0，2），且圆心C 在直线 y＝x 上，又直线 l：y＝kx＋1 与圆 C 相交于 P、Q 两点．
（1）求圆 C 的方程；
（2）若 ，求实数 k 的值；
（3）过点 (0,4) 作动直线 m 交圆C 于 E ， F 两点．试问：在以 EF 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆 P ，使
得圆 P 经过点 (2,0)M ？若存在，求出圆 P 的方 程；若不存在，请说明理由．
[
2015-2016 学年度下学期半期 5 校联考数学试题（理科）
参考答案
命题人：阳澜 审题人：罗青春
1-5:CBDCD 6-10:DBBCC 11-12:CC
1．C．
【解析】
试 题 分 析 ： 由 题 意 可 知 { | 0 3}A x x ， 则 { | 2 2}B x x ， ∴
{ | 0 2}A B x x ，故选 C．
考点：集合的关系．
2．B
【解析】
试题分析：先根据 f（x）是定义在 R 上的奇函数，把自变量转化到所给的区间内，即可求
出函数值．
解：∵f（x）是定义在 R 上的奇函数，
∴f（﹣2）=﹣f（2），
又∵当 x＞0 时，f（x）=log2x，
∴f（2）=log22=1，
∴f（﹣2）=﹣1．
故答案是 B．
考点：函数的值．
3．D
【解析】
试题分析：化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．
解：要得到函数 y=sin（2x﹣ ）=sin[2（x﹣ ）]的图象，需要将函数 y=sin2x 的图象，
向右平移 单位即可．
故选：D．
考点：函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
4．C
【解析】
试题分析：由已知 2 (3, )a b x ，因为 (2 ) .a b b ，所以 2(2 ) 3 ( 1) 0a b b x ，
3x ，所以 21 1 3 2a x ．故选 C．
考点：向量垂直的坐标运算，向量的模．
5．D
【解析】
试题分析：由幂函数的性质比较 a，b 的大小，再由对数函数的性质可知 c＜0，则答案可求．
解：∵0＜ ＜0.50=1，
c=log50.3＜log51=0，
而由幂函数 y= 可知 ，
∴b＞a＞c．
故选：D．
考点：指数函数的图象与性质．
6．D
【解析】
试 题 分 析 ： 由 等 比 数 列 的 性 质 知 ： 5 6 1 10 2 9 9a a a a a a L ， 故
3 1 3 2 3 10log log loga a a L
5
3 1 2 10 3 5 6 3log ( ) log ( ) 5log 9 10a a a a a L ，所以正确答案为 D．
考点：1、等比数列的性质；2、对数运算．
7．B
【解析】
试题分析：由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC，底面△ABC 为等腰三角形，SC=4，△ABC
中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，进而根据勾股定理得到答案．
解：由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC，
且底面△ABC 为等腰三角形，
在△ABC 中 AC=4，AC 边上的高为 2 ，
故 BC=4，
在 Rt△SBC 中，由 SC=4，
可得 SB=4 ，
故选 B
考点：简单空间图形的三视图．
8．B
【解析】
试题分析：根据流程图写出每次循环 i，S 的值，和 比较即可确定
退出循环的条件，得到答案．
解：根据流程图，可知
第 1 次循环：i=2，S= ；
第 2 次循环：i=4，S= ；
…
第 1008 次循环：i=2016，S= ；
此时，设置条件退出循环，输出 S 的值．
故判断框内可填入 i≤2016．
故选：B．
考点：程序框图．
9．C
【解析】
试题分析：
2 2 2
2 2 2 2 2 2 1 3cos sin2 2 2
b c aa b c bc b c a bc A Abc
[来
源:学.科.网 Z.X.X.K]
1 1 3sin 4 32 2 2S bc A
考点：余 弦定理及三角形面积公式
10．C
【解析】
试题分析：由题意： ( ) ( 0 1)x xf x ka a a a 且 ， 1, 1k a ．则 ( ) log ( )ag x x k
图为 C
考点：指数型和对数型函数的性质．
11．C．
【解析】
试题分析：A：l ，m 可能的位置关系为：相交，异面，平行，故 A 错误；B：根据线面平行
的性质以及线面垂直的判定可知 B 错误；C：根据线面垂直的性质可知 C 正确；D： / /m 或
m ，故 D 错误，故选 C．
考点：空间中线面的位置关系判定及其性质．
12．C
【解析】
试题分析：∵ )(xfy )( Rx 满足 ( 2) 2 ( )f x f x ，且 x [ 1,1]x 时， ( ) 1f x x ，
1 1 10 , 10 932 32
1 1 8 , 9 716 16
1 1 6 , 7 58 8
1 1 4 , 5 34 4
1 1 2 , 3 1( ) ,2 2
1 , 1 1
2 2 2 ,1 3
4 4 4 ,3 5
8 8 6 ,5 7
16 16 8 ,7 9
32 32 10 ,9 11
x x
x x
x x
x x
x xf x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
分别作出函数 )(xfy 与 4( ) logg x x 的图像如图：
由图象可知 )(xfy 与 4( ) logg x x 的图象的交点个数为 11 个．故选：C．
考点： 1.抽象函数；2.函数图象.
13．80
【解析】
试题分析： 由分层抽样的定义可得，应抽二年级的学生人数为 4260 805 4 3 1
（人）．故答案为 80．
考点：分层抽样．
14．18
【解析】
试题分析： 8 1 162 2 10 8 2 16 16y xx y x y x y x y
，当且仅当16y x
x y
时等号成立，所以最小值为 18
考点：均值不等式求最值
15． 2
3
【解析】
试题分析：画出可行域，目标函数
)2(
0
2
x
y
x
yz 表示可行域内的点 ),( yx 与点 )0,2(
连线的斜率，当其经过点 )2,1(A 时，
2
x
yz 取到最大值为
3
2z ．
考点：简单的线性规划的应用．
16．①②④
【解析】
试题分析：当 ]1,2
1(x 是函数单调递增，此时 ]3
1,5
1()( xf ；当 ]2
1,0[x 时函数单调递减，
此 时 ]4
1,0[)( xf , 故 函 数 的 值 域 为 ]3
1[0， ， 所 以 命 题 正 确 。
)0(22)3cos(-22)2
3
3sin()( aaxaaxaxg ，显然在[0，1]上是增函
数，故命题正确。
由命题函数 )(xg 的值域为 2]a2
52,-[-3a ,要是命题④成立，需有
0
3
123
022
5-
a
a
a
解得
5
4
9
5 a
，故命题④正确。因此答案为①②④
考点：函数的单调性及值域问题存在性问题求参数
17．（1）T （2）当 5
8x 时，函数 f x 取得最小值 2 ．
【解析】
试题分析：（1）利用向量的数量积运算公式及二倍角的三角函数、辅助角公式整理可得
( ) 2 sin 2 4f x x
，则周期易得；（2）讨论函数 f x 在 3,4 4x
的单调性，即可
求出 f x 的最小值以及取得最小值时 x 的值
试 题 解 析 ： （ 1 ） cos sin cos sin 2sin cosf x x x x x x x
2 2cos sin 2sin cosx x x x cos2 sin 2 2 sin 2 4x x x
．
（1）由最小正周期公式得： 2
2T ．
（2） 3,4 4x
，则 3 72 ,4 4 4x
，令 32 4 2x ，则 5
8
=x ，
从而 f x 在 5,4 8
单调递减，在 5 3,8 4
单调递增，即当 5
8x 时，函数 f x 取
得最小值 2 ．
考点：三角函数的图像和性质
18．（1） 32 nan ， nnsn 22 ；（2）
12
n
nTn ．
【解析】
试题分析：（1）首先根据 a1=-1 和 d，求出 632 ,, aaa ，再根据 632 ,, aaa 是等比数列，求出数
列{an}的通项公式，再由等比数列的前 n 项和公式即可求得 nS ；
（2）根据（1）求出数列{bn}的通项公式，然后根据数列通项公式的特点选用裂项求和法进
行求和即可．
试题解析：（1）有题意可得 2
362 aaa 又因为 11 a 2d 2 分
32 nan nnsn 22 4 分
（2） )12
1
32
1(2
1
)12)(32(
11
1
nnnnaab
nn
n 6 分
)]12
1
32
1()3
1
1
1()1
1
1
1[(2
1
21
nnbbbT nn
12)12
11(2
1
n
n
n
10 分
考点：1.等比数列；2.数列求和．
19．
（1）略 （2）略 （3）
3
解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点.设 .DC a (1)证明：连结 AC，AC 交 BD
于 G.连结 EG.
G
A B
CD
P
y
x
z
E
F
依题意得 ( ,0,0), (0,0, ), (0, , )2 2
a aA a P a E 底面 ABCD 是正方形， G 是此正方形的中心，
故点 G 的坐标为 ( , ,0)2 2
a a 且 ( ,0, ), ( ,0, ).2 2
a aPA a a EG 2PA EG . 这表明 EGPA∥ .
而 EG 平面 EDB 且 PA 平面 EDB， PA ∥平面 EDB。
(2) 证 明 ： 依 题 意 得 ( , ,0), ( , , )B a a PB a a a 。 又 (0, , ),2 2
a aDE 故
0220
22
aaDEPB PB DE , 由已知 EF PB ，且 ,EF DE E 所以 PB
平面 EFD.
(3)解：设 点 F 的坐标为 0 0 0( , , ), ,x y z PF PB 则 0 0 0( , , ) ( , , )x y z a a a a
从而 0 0 0, , (1 ) .x a y a z a 所以
0 0 0
1 1( , , ) ( ,( ) ,( ) ).2 2 2 2
a aFE x y z a a a
由条件 EF PB 知， 0 PBPE 即 2 2 21 1( ) ( ) 0,2 2a a a 解得 1
3
。
点 F 的坐标为 2( , , ),3 3 3
a a a 且 2( , , ), ( , , ).3 6 6 3 3 3
a a a a a aFE FD
03
2
33
222
aaaFDPB ,即 PB FD ，故 EFD 是二面角 C PB D 的平面角.
∵
69189
2222 aaaaFDPE 且 aaaaFDaaaaPE 3
6
9
4
99,6
6
36369
222222
2
. 16cos .2| || | 6 6.6 3
a
FE FDEFD
FE FD a a
3EFD ,所以，二面角 C—PC—D 的大小为 .3
【解析】本试题主要考查了立体几何中线面平行的判定，线面垂直的判定，以及二面角的求
解的综合运用试题。体现了运用向量求解立体几何的代数手法的好处。
20．（Ⅰ）0.3，见解析（Ⅱ）P（A）=
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，用 1 减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落
在[70，80）上的频率．
（Ⅱ）分别求出[60，70）分数段的人数，[70，80）分数段的人数．再利用古典概型求解．
解：（Ⅰ）分数在[70，80）内的频率
1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015 +0.025+0.005）×10=0.3，
故成绩落在[70，80）上的频率是 0.3，频率分布直方图如下图．
（Ⅱ）由题意，[60，70）分数段的人数为 0.15×60=9 人，[70，80）分数段的人数为 0.3×60=18
人；
∵分层抽样在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，
∴[60，70）分数段抽取 2 人，分别记为 m，n；，[70，80）分数段抽取 4 人，分别记为 a，b，
c，d；
设从中任取 2 人，求至多有 1 人在分数段[70，80）为事件 A，
则基本事件空间包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），…（c，d）
共 15 种，
则基本事件 A 包含的基本事件有：（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，
b），（n，c），（n，d0 共 9 种，
∴P（A）=
考点：频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
21．（1）
26 48 42,0 5,
123 15 , 5,
x x xf x
x x
；（2）当产量大于 100 台，小于 820 台时，
能使工厂有盈利； （3）当工厂生产 400 台时，可使赢利最大为 54 万元．
【解析】
试题分析：（1）根据利润 销售收入 总成本，且总成本为 42 15x 即可求得利润函数
xfy 的解析式．（2）使分段函数 xfy 中各段均大于 0，再将两结果取并集．（3）
分段函数 xfy 中各段均求其值域求最大值，其中最大的一个即为所求．
试题解析：（1）由题意得 42 15G x x ．
∴ f x R x G x
26 48 42,0 5,
123 15 , 5,
x x x
x x
．
（2）①当 0 5x 时，由 26 48 42 0x x 得： 2 8 7 0x x ，解得1 7x ．
所以：1 5x ．
②当 5x 时，由123 15 0x 解得 8.2x ．所以：5 8.2x ．
综上得当1 8.2x 时有 0y ．
所以当产量大于 100 台，小于 820 台时，能使工厂有盈利．
（3）当 5x 时，∵函数 ( )f x 递减，∴ 5 48f x f （万元）．
当 0 5x 时，函数 26 4 54f x x ，
当 4x 时， ( )f x 有最大值为 54（万元）．
所以，当工厂生产 400 台时，可使赢利最大为 54 万元．
考点：1 函数解析式；2 分段函数求最值．
22．（1）x2＋y2＝4．（2）k＝0．（3）存在圆 2 25 5 16 8 12 0x y x y 或 2 2 4x y ，
使得圆 P 经过点 (2,0)M ．
【解析】
试题分析：（1）设圆心 C（a，a），半径为 r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圆 C 的方程；（2）
由 2 2 cos , 2OP OQ OP OQ ，得∠POQ=120°，圆心 C 到直线 l：kx-y+1=0
的距离 d=1，由此能求出 k=0；（3）当直线 m 的斜率不存在时，圆 C 也是满足题意的圆；当
直线 m 的斜率存在时，设直线 m：y=kx+4，由
2 2 4
4
x y
y kx
，得 2 21 8 12 0k x kx ，
由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以 EF 为直径的所有圆中，存在圆
P 经过点 M（2，0）．
试题解析：（1）设圆心 C（a，a），半径为 r．因为圆 C 经过点 A（－2，0），B（0，2），
所以|AC|＝|BC|＝r，易得 a＝0，r＝2，
所以圆 C 的方程是 x2＋y2＝4．
（2）因为
且 与 的夹角为∠POQ，
所以 cos∠PO Q＝－ 1
2
，∠POQ＝120°，所以圆心 C 到直线 l：kx－y＋1＝0 的
距离 d＝1，又 d＝
2
1
1k
，
所以 k＝0．
（联立直线与圆的方程求解酌情给分）
（3） （ⅰ）当直线 m 的斜率不存在时，直线 m 经过圆C 的圆心C ，此时直线 m 与圆C 的
交点为 (0,2)E ， (0, 2)F ， EF 即为圆C 的直径，而点 (2,0)M 在圆C 上，即圆C 也是满
足题意的圆
（ⅱ）当直线 m 的斜率存在时，设直线 : 4m y kx ，由
2 2 4,
4,
x y
y kx
，
消去 y 整理，得 2 2(1 ) 8 12 0k x kx ，
由△ 2 264 48(1 ) 0k k ，得 3k 或 3k ．
设 1 1 2 2( , ), ( , )E x y F x y ，
则有
1 2 2
1 2 2
8 ,1
12 ,1
kx x k
x x k
①
由①得
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
16 4( 4)( 4) 4 ( ) 16 1
ky y kx kx k x x k x x k
， ②
1 2 1 2 1 2 2
84 4 ( ) 8 1y y kx kx k x x k
， ③
若存在以 EF 为直径的圆 P 经过点 (2,0)M ，则 ME MF ，所以 ，
因此 1 2 1 2( 2)( 2) 0x x y y ，
即 1 2 1 2 1 22( ) 4 0x x x x y y ，
则
2
2 2 2
12 16 16 44 01 1 1
k k
k k k
，所以16 32 0k ， 2k ，
满足题意．
此时以 EF 为直径的圆的方程为 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0x y x x x y y y x x y y ，
即 2 2 16 8 12 05 5 5x y x y ，
亦即 2 25 5 16 8 12 0x y x y ．
综 上 ， 在 以 EF 为 直 径 的 所 有 圆 中 ， 存 在 圆 P ： 2 25 5 16 8 12 0x y x y 或
2 2 4x y ，
使得圆 P 经过点 (2,0)M ．
考点：1．圆的方程；2．向量的坐标运算；3．直线与圆锥曲线的综合问题
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