步步为赢
中考数学第一轮复习资料
北京中考数学研究中心
李博士新坐标教育
目 录
第一章 实数
课时 1．实数的有关概念…………………………………………( 1 )
课时 2．实数的运算与大小比较……………………………( 4 )
第二章 代数式
课时 3．整式及运算 ……………………………………………( 7 )
课时 4．因式分解…………………………………………………( 10 )
课时 5．分式 ……………………………………………………( 13 )
课时 6．二次根式…………………………………………………( 16 )
第三章 方程（组）与不等式
课时 7．一元一次方程及其应用 ……………………………( 19 )
课时 8．二元一次方程及其应用 ……………………………( 22 )
课时 9．一元二次方程及其应用………………………………( 25 )
课时 10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 …( 28 )
课时 11．分式方程及其应用……………………………………( 31 )
课时 12．一元一次不等式（组）………………………………( 34 )
课时 13．一元一次不等式（组）及其应用……………………( 37 )
第四章 函数
课时 14．平面直角坐标系与函数的概念……………………( 40 )
课时 15．一次函数…………………………………………………( 43 )
课时 16．一次函数的应用 ………………………………………( 46 )
课时 17．反比例函数 ……………………………………………( 49 )
课时 18．二次函数及其图像 …………………………………( 52 )
课时 19．二次函数的应用 ……………………………………( 55 )
课时 20．函数的综合应用（1） ………………………………( 58 )
课时 21．函数的综合应用（2） ………………………………( 61 )
第五章 统计与概率
课时 22．数据的收集与整理（统计 1） ……………………( 64 )
课时 23．数据的分析（统计 2）………………………………( 67 )
课时 24．概率的简要计算（概率 1）…………………………( 70 )
课时 25．频率与概率（概率 2）…………………………………( 73 )
第六章 三角形
课时 26．几何初步及平行线、相交线 ………………………( 76 )
课时 27．三角形的有关概念 …………………………………( 79 )
课时 28．等腰三角形与直角三角形 …………………………( 82 )
课时 29．全等三角形 ……………………………………………( 85 )
课时 30．相似三角形 ……………………………………………( 88 )
课时 31．锐角三角函数 …………………………………………( 91 )
课时 32．解直角三角形及其应用 ……………………………( 94 )
第七章 四边形
课时 33．多边形与平面图形的镶嵌 …………………………( 97 )
课时 34．平行四边形 ……………………………………………( 100 )
课时 35．矩形、菱形、正方形…………………………………(103)
课时 36．梯形 ……………………………………………………(106)
第八章 圆
课时 37．圆的有关概念与性质 ………………………………(109)
课时 38．与圆有关的位置关系…………………………………(112)
课时 39．与圆有关的计算………………………………………(115)
第九章 图形与变换
课时 40．视图与投影 ……………………………………………(118)
课时 41．轴对称与中心对称……………………………………(121)
课时 42．平移与旋转 ……………………………………………(124)
第一章 实数
课时 1．实数的有关概念
【课前热身】
1.（08 重庆）2 的倒数是 ．
2.（08 白银）若向南走 2m 记作 2m ，则向北走3m 记作 m ．
3.（08 乌鲁木齐） 2 的相反数是 ．
4.（08 南京） 3 的绝对值是（ ）
A． 3 B．3 C． 1
3
D． 1
3
5．（08 宜昌）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种
电子元件大约只占 0.000 000 7（毫米 2），这个数用科学记数法表示为（ ）
A.7×10－6 B. 0.7×10－6 C. 7×10－7 D. 70×10－8
【考点链接】
1．有理数的意义
⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应.
⑵ 实数 a 的相反数为________. 若 a ，b 互为相反数，则 ba = .
⑶ 非零实数 a 的倒数为______. 若 a ，b 互为倒数，则 ab = .
⑷ 绝对值
)0(
)0(
)0(
a
a
a
a ．
⑸ 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中 1≤ a ＜10 的数，n 是整数.
⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左
边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．
2.数的开方
⑴ 任何正数 a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根 a 叫
_______________. 没有平方根，0 的算术平方根为______.
⑵ 任何一个实数 a 都有立方根，记为 .
⑶ 2a
)0(
)0(
a
aa .
3. 实数的分类 和 统称实数.
4．易错知识辨析
（1）近似数、有效数字 如 0.030 是 2 个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×105
是 3 个有效数字；精确到千位.3.14 万是 3 个有效数字（3,1,4）精确到百位．
（2）绝对值 2x 的解为 2x ；而 22 ，但少部分同学写成 22 ．
（3）在已知中，以非负数 a2、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.
【典例精析】
例 1 在“ 0
5 ，3.14 ， 3
3 ， 2
3
，cos 600 sin 450 ”这 6 个数中，无理数的个
数是（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
例 2 ⑴（06 成都） 2 的倒数是（ ）
A．2 B. 1
2
C. 1
2
D.－2
⑵（08 芜 湖 ） 若 23 ( 2) 0m n ，则 2m n 的值为（ ）
A． 4 B． 1 C．0 D．4
⑶（07 扬州）如图，数轴上点 P 表示的数可能是（ ）
A. 7 B. 7 C. 3.2 D. 10
例 3 下列说法正确的是（ ）
A．近似数 3．9×103 精确到十分位
B．按科学计数法表示的数 8．04×105 其原数是 80400
C．把数 50430 保留 2 个有效数字得 5．0×104.
D．用四舍五入得到的近似数 8．1780 精确到 0．001
【中考演练】
1.（08 常州）-3 的相反数是______,- 1
2
的绝对值是_____,2-1=______, 2008( 1) ．
2. 某种零件，标明要求是φ20±0.02 mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件
的直径是 19.9 mm，该零件 .（填“合格” 或“不合格”）
3. 下列各数中：－3， 1
4
，0， 3
2
， 3 64 ，0.31， 22
7
，2 ，2.161 161 161…，
（－2 005）0 是无理数的是___________________________．
4．(08 湘潭)全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到 6 月 3 日止各地共捐款约 423.64
亿元，用科学记数法表示捐款数约为__________元．（保留两个有效数字）
5．（06 北京）若 0)1(3 2 nm ，则 m n 的值为 ．
6. 2.40 万精确到__________位，有效数字有__________个.
7.（06 泸州）
5
1 的倒数是 ( )
A．
5
1 B．
5
1 C． 5 D．5
8．（06 荆门）点 A 在数轴上表示+2，从 A 点沿数轴向左平移 3 个单位到点 B，则点 B 所表示
的实数是（ ）
A．3 B．-1 C．5 D．-1 或 3
9．(08 扬州)如果□＋2＝0，那么“□”内应填的实数是（ ）
A．
2
1 B．
2
1 C．
2
1 D．2
10．（08 梅州）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．2 和
2
1 B．-2 和－
2
1 C．-2 和|-2| D． 2 和
2
1
11．（08 无锡）16 的算术平方根是（ ）
A.4 B.－4 C.±4 D.16
12.（08 郴州）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则 a 与 b 的大小关系是（ ）
A．a > b B． a = b C． a < b D．不能判断
3 2 1 O 1 2 3
P
13．若 x 的相反数是 3，│y│＝5，则 x＋y 的值为（ ）
A．－8 B．2 C．8 或－2 D．－8 或 2
14．(08 湘潭) 如图，数轴上 A、B 两点所表示的两数的（ ）
A. 和为正数 B. 和为负数 C. 积为正数 D. 积为负数
课时 2. 实数的运算与大小比较
【课前热身】
1.（08 大连）某天的最高气温为 6°C，最低气温为－2°C，同这天的最高气温比最低气温
高__________°C．
2.（07 晋江）计算： 13 _______.
3.（07 贵阳）比较大小： 2 3 .（填“ ， 或 ”符号）
4. 计算 23 的结果是（ ）
A. －9 B. 9 C.－6 D.6
5.（08 巴中）下列各式正确的是（ ）
A． 3 3 B． 32 6 C． ( 3) 3 D． 0(π 2) 0
6．若“！”是一种数学运算符号，并且 1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，
4！＝4×3×2×1，…，则 100!
98!
的值为（ ）
A. 50
49
B. 99! C. 9900 D. 2！
【考点链接】
1. 数的乘方 na ，其中 a 叫做 ，n 叫做 .
2. 0a （其中 a 0 且 a 是 ） pa （其中 a 0）
3. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算
里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行.
4. 实数大小的比较
⑴ 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大.
⑵ 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的
绝对值小的．
5．易错知识辨析
在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.
A B
O-3
输入 x
输出 y
平方
乘以 2
减去 4 若结果大于 0
否则
如 5÷
5
1 ×5.
【典例精析】
例 1 计算：
⑴（08 龙岩）20080＋|-1|- 3 cos30°＋ ( 2
1 )3；
⑵ 23 2 ( 2) 2sin 60 .
例 2 计算： 1 3 01( ) 2 0.125 2009 | 1|2
.
﹡例 3 已知 a 、b 互为相反数， c 、 d 互为倒数， m 的绝对值是 2，
求 2
| | 4 32 1
a b m cdm
的值．
【中考演练】
1. (07 盐城)根据如图所示的程序计算，
若输入 x 的值为 1，则输出 y 的值为 .
2. 比较大小： 7 3_____10 10
.
3.（08 江西）计算(－2)2－(－2) 3 的结果是（ ）
A. －4 B. 2 C. 4 D. 12
4. (08 宁夏)下列各式运算正确的是（ ）
A．2-1＝-
2
1 B．23＝6 C．22·23＝26 D．(23)2＝26
5. －2，3，－4，－5，6 这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ）
A. 10 B．20 C．－30 D．18
6. 计算：
⑴（08 南宁） 4245tan2
1)1( 10 ；
⑵（08 年郴州） 2 01( ) ( 3 2) 2sin30 32
；
⑶ (08 东莞) 01 )2008(260cos .
﹡7. 有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子 2n （ n 是正整
数）来表示．有规律排列的一列数：1 2 3 4 5 6 7 8 ， ，， ，， ，， ，…
（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
（2）它的第 100 个数是多少？
（3）2006 是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？
﹡8．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是：任取 1 至 13 之间的自然数四个，将这个
四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于 2 4．例如：对
1，2，3，4，可作运算：（1＋2＋3）×4＝24．（注意上述运算与 4 ×(2＋3＋1）应视作
相同方法的运算.现“超级英雄”栏目中有下列问题：四个有理数 3，4，－6，10，运用
上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于 24，
（1）_______________________，（2）_______________________，
（3）_______________________．
另有四个数 3，－5，7，－13，可通过运算式（4）_____________________ ，使其
结果等于 24．
第二章 代数式
课时 3．整式及其运算
【课前热身】
1.
3
1 x2y 的系数是 ，次数是 .
2.（08 遵义）计算： 2( 2 )a a ．
3.（08 双柏）下列计算正确的是（ ）
A． 5 5 10x x x B． 5 5 10·x x x C． 5 5 10( )x x D． 20 2 10x x x
4. (08 湖州)计算 2 3( )x x 所得的结果是（ ）
A． 5x B． 5x C． 6x D． 6x
5. a，b 两数的平方和用代数式表示为（ ）
A. 2 2a b B. 2( )a b C. 2a b D. 2a b
6．某工厂一月份产值为 a 万元，二月份比一月份增长 5％，则二月份产值为（ ）
A. )1( a ·5％万元 B. 5％ a 万元 C.(1+5％) a 万元 D.(1+5％) 2 a
【考点链接】
1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示
连接而成的式子叫做代数式.
2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所
得的 叫做代数式的值.
3. 整式
（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或
也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的
叫做这个单项式的次数.
(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫
做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母
的项叫做 .
(3) 整式： 与 统称整式.
4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫
做同类项. 合并同类项的法则是 ___.
5. 幂的运算性质: am·an= ； (am)n= ； am÷an＝_____； (ab)n= .
6. 乘法公式：
(1) ))(( dcba ； （2）（a＋b）(a－b)＝ ；
(3) (a＋b)2＝ ；(4)(a－b)2＝ .
7. 整式的除法
⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；
对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把
所得的商 ．
【典例精析】
例 1 （08 乌鲁木齐）若 0a 且 2xa ， 3ya ，则 x ya 的值为（ ）
A． 1 B．1 C． 2
3
D． 3
2
例 2 （06 广东）按下列程序计算，把答案写在表格内：
⑴ 填写表格：
输入n 3
2
1 —2 —3 …
输出答案 1 1 …
⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．
例 3 先化简，再求值：
(1) （08 江西）x (x＋2)－(x＋1)(x－1)，其中 x＝－
2
1 ；
(2) 2 2( 3) ( 2)( 2) 2x x x x ，其中 1
3x ．
【中考演练】
1. 计算(-3a3)2÷a2 的结果是( )
A. -9a4 B. 6a4 C. 9a2 D. 9a4
2.（06 泉州）下列运算中，结果正确的是（ ）
A. 633 · xxx B. 422 523 xxx C. 532 )( xx D． 2 2 2( )x y x y
﹡3.（08 枣庄）已知代数式 23 4 6x x 的值为 9，则 2 4 63x x 的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．7
4. 若 3 22 3m nx y x y与 是同类项，则 m + n ＝____________.
5．观察下面的单项式：x，-2x，4x3，-8x4，…….根据你发现的规律，写出第 7 个式子
是 .
6. 先化简，再求值：
⑴ 3( 2 )( 2 ) ( )a b a b ab ab ，其中 2a ， 1b ；
n 平方 +n n -n 答案
⑵ )(2)( 2 yxyyx ，其中 2,1 yx ．
﹡7．（08 巴中）大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）
根据前面各式规律，则 5( )a b ．
课时 4．因式分解
【课前热身】
1.（06 温州）若 x－y＝3，则 2x－2y＝ ．
2.（08 茂名）分解因式：3 x 2 －27= ．
3．若 , ),4)(3(2 baxxbaxx 则 ．
4. 简便计算： 22008 2009 2008 ＝ .
5. (08 东莞) 下列式子中是完全平方式的是（ ）
A． 22 baba B． 222 aa C． 22 2 bba D． 122 aa
【考点链接】
1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因
式都不能再分解为止．
2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，
⑶ ，⑷ .
3. 提公因式法： mcmbma __________ _________.
4. 公式法: ⑴ 22 ba ⑵ 22 2 baba ，
⑶ 22 2 baba .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
Ⅰ Ⅱ
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
( )
( ) 2
( ) 3 3
( ) 4 6 4
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b a b ab b
5. 十字相乘法： pqxqpx 2 ．
6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．
7．易错知识辨析
（1）注意因式分解与整式乘法的区别；
（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项
式.
【典例精析】
例 1 分解因式：
⑴（08 聊城） 3 3 2 22ax y axy ax y __________________.
⑵（08 宜宾）3y2－27＝___________________.
⑶（08 福州） 2 4 4x x _________________.
⑷ (08 宁波) 22 12 18x x ．
例 2 已知 5, 3a b ab ，求代数式 3 2 2 32a b a b ab 的值.
【中考演练】
1．简便计算： 22 71.229.7 － .
2．分解因式： xx 42 2 ____________________.
3．分解因式： 94 2x ____________________.
4．分解因式： 442 xx ____________________.
5.（08 凉山）分解因式 2 2 32ab a b a ．
6．（08 泰安）将 3 21
4 x x x 分解因式的结果是 ．
7.（08 中山）分解因式 am an bm bn =_____ _____；
8．(08 安徽) 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A．x2－xy B．x2＋xy C．x2－y2 D．x2＋y2
9．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． bxaxbax )( B． 222 )1)(1(1 yxxyx
C． )1)(1(12 xxx D． cbaxcbxax )(
﹡10. 如图所示，边长为 ,a b 的矩形，它的周长为 14，面积为 10，求 2 2a b ab 的值．
b
a
11．计算：
（1） 299 ；
（2） 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )2 3 4 9 10
．
﹡12．已知 a 、b 、 c 是△ABC 的三边，且满足 224224 cabcba ，试判断△ABC 的
形状.阅读下面解题过程：
解：由 224224 cabcba 得：
222244 cbcaba ①
2222222 bacbaba ②
即 222 cba ③
∴△ABC 为 Rt△。 ④
试问：以上解题过程是否正确： ；
若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；
错误原因是 ；
本题的结论应为 .
课时 5．分式
【课前热身】
1．当 x＝______时，分式 1
1
x
x
有意义；当 x＝______时，分式
2x x
x
的值为 0．
2．填写出未知的分子或分母：
（1） 2 2 2
3 ( ) 1 1, (2) 2 1 ( )
x y
x y x y y y
.
3．计算： x
x y
+ y
y x
＝________．
4．代数式
21, , ,1 3
x x axx x
中，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.（08 无锡）计算
2
2
( )ab
ab
的结果为（ ）
A．b B． a C．1 D． 1
b
【考点链接】
1. 分式：整式 A 除以整式 B，可以表示成 A
B
的形式，如果除式 B 中含有 ，那么
称 A
B
为分式．若 ，则 A
B
有意义；若 ，则 A
B
无意义；若 ，
则 A
B
＝0.
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式
的 ．用式子表示为 .
3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分
式的通分.
5．分式的运算
⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减： .
② 异分母的分式相加减： .
⑵ 乘法法则： .乘方法则： .
⑶ 除法法则： .
【典例精析】
例 1 （1） 当 x 时，分式
x1
3 无意义；
（2）当 x 时，分式
3
92
x
x 的值为零.
例 2 ⑴ 已知 31
xx ，则 2
2 1
x
x ＝ .
⑵（08 芜 湖 ） 已知 1 1 3x y
，则代数式 2 14 2
2
x xy y
x xy y
的值为 .
例 3 先化简，再求值：
(1)（08 资阳）（ 2
1
2x x
－ 2
1
4 4x x
）÷ 2
2
2x x
，其中 x＝1．
⑵（08 乌鲁木齐） 2 2
1 1 1
1 1 2 1
x
x x x x
，其中 3 1x .
【中考演练】
1．化简分式：
2
2
5 4 4______,20 2
ab x x
a b x
=________．
2．计算：x－1
x－2
＋ 1
2－x
＝ .
3．分式 2 2 3
1 1 1, ,3 4 2x y xy x
的最简公分母是_______．
4．把分式 )0,0( yxyx
x 中的分子、分母的 x 、y 同时扩大 2 倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大 2 倍 B. 缩小 2 倍 C. 改变原来的
4
1 D. 不改变
5．如果 x
y
=3，则 x y
y
=（ ） A． 4
3
B．xy C．4 D． x
y
6．（08 苏州）若 2 2 0x x ，则
2
2 2
2 3
( ) 1 3
x x
x x
的值等于（ ）
A． 2 3
3
B． 3
3
C． 3 D． 3 或 3
3
7. 已知两个分式：A＝
4
4
2 x
，B＝
xx 2
1
2
1 ，其中 x≠±2．下面有三个结论：
①A＝B； ②A、B 互为倒数； ③A、B 互为相反数．
请问哪个正确?为什么?
8. 先化简
2
2
2 1 1 1
1 1
x x
x x x
，再取一个你认为合理的 x 值，代入求原式的值.
课时 6．二次根式
【课前热身】
1.（07 福州）当 x ___________时，二次根式 3x 在实数范围内有意义．
2.（07 上海）计算： 2( 3) __________．
3. 若无理数 a 满足不等式 ，请写出两个符合条件的无理数_____________.
4.（06 长春）计算： 54 = _____________.
5．下面与 2 是同类二次根式的是（ ）
A． 3 B． 12 C． 8 D． 2 1
【考点链接】
1．二次根式的有关概念
⑴ 式子 )0( aa 叫做二次根式．注意被开方数 a 只能是 ．并且根式.
⑵ 简二次根式
被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最
简二次根式．
(3) 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质 ⑴ a 0；
⑵ 2
a （ a ≥0） ⑶ 2a ；
⑶ ab （ 0,0 ba ）；
⑷
b
a （ 0,0 ba ）.
3．二次根式的运算
(1) 二次根式的加减：
①先把各个二次根式化成 ；
②再把 分别合并，合并时，仅合并 ，
不变.
【典例精析】
例 1 ⑴ 二次根式 1 a 中，字母 a 的取值范围是（ ）
A． 1a B．a≤1 C．a≥1 D． 1a
⑵（08 芜 湖 ） 估计 132 202
的运算结果应在（ ）
A．6 到 7 之间 B．7 到 8 之间 C．8 到 9 之间 D．9 到 10 之间
例 2 （08 荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A. 2 1a B. 1
2
C. 8 D. 27
例 3 计算：⑴（ 07 台州） 0(π 1) 12 3 ；
⑵（07 嘉兴） 8＋ 31 －2× 2
2
．
【中考演练】
1．（06 南昌）计算： 12 3 3 ．
2.（06 南通）式子
2
x
x
有意义的 x 取值范围是________．
3.（06 海淀）下列根式中能与 3 合并的二次根式为（ ）
A． 3
2
B． 24 C． 12 D． 18
﹡4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点 P 所表示的数是 2 ”，这种说明问
题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）
A．代人法 B．换元法
C．数形结合 D．分类讨论
5．（08 大连）若 baybax , ，则 xy 的值为 ( )
A． a2 B． b2 C． ba D． ba
6．在数轴上与表示 3 的点的距离最近的整数点所表示的数是 ．
7．（1）（06 无锡）计算： 03 ( 2) tan 45 º；
（2）（08 宜宾）计算： 45tan2)510()3
1(4 01 .
﹡8．（08 广州）如图，实数 a 、b 在数轴上的位置，化简 2 2 2( )a b a b .
第三章 方程（组）和不等式
课时 7．一元一次方程及其应用
【课前热身】
1．在等式3 6 7y 的两边同时 ，得到3 13y .
2．方程 5 3 8x 的根是 .
3． x 的 5 倍比 x 的 2 倍大 12 可列方程为 .
4．写一个以 2x 为解的方程 .
5．如果 1x 是方程 2 3 4x m 的根，则 m 的值是 .
6．如果方程 2 1 3 0mx 是一元一次方程，则 m .
【考点链接】
1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式.
⑵ 性质：① 如果 ba ，那么 ca ；
② 如果 ba ，那么 ac ；如果 ba 0c ，那么
c
a .
2. 方程、一元一次方程的概念
⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程
的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系
数不等于 0 的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 0a .
3. 解一元一次方程的步骤：
①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为 1.
4．易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一
个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于 0 的方程，像 21
x
， 1222 xx
等不是一元一次方程.
（2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘
以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不
要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.
【典例精析】
例 1 解方程
（1） 3 1 7 5 30 1x x x ； （2） 2 1 10 1 13 6
x x .
例 2 当 m 取什么整数时，关于 x 的方程 1 5 1 4( )2 3 2 3mx x 的解是正整数？
例 3 （08 福州）今年 5 月 12 日，四川汶川发生了里氏 8.0 级大地震，给当地人民造成了巨
大的损失．“一方有难，八方支援”，我市锦华中学全体师生积极捐款，其中九年级的 3
个班学生的捐款金额如下表：
班级 （1）班 （2）班 （3）班
金额（元） 2000
吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条
信息：
信息一：这三个班的捐款总金额是 7700 元；
信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多 300 元；
信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．48 元，小于．．51 元．
请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题：
（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；
（2）求出（1）班的学生人数．
【中考演练】
1．若 5x－5 的值与 2x－9 的值互为相反数,则 x＝_____．
2． 关于 x 的方程 0)1(2 ax 的解是 3，则 a 的值为________________.
3. 某商店销售一批服装，每件售价 150 元，可获利 25%，求这种服装的成本价.设这种服装
的成本价为 x 元，则得到方程( )
A. 150 25%x B. 25% 150x C. %25150
x
x D. 150 25%x
4．解方程 16
110
3
12 xx 时，去分母、去括号后，正确结果是（ ）
A. 111014 xx B. 111024 xx
C. 611024 xx D. 611024 xx
5．解下列方程：
(1) 3 1 7 5 30 1x x x ； （2） 1 2 12 5 3
x x x .
6. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 480 台．改进生产技术后，计划第二季度生产这
两种机器共 554 台，其中甲种机器产量要比第一季度增产 10 % ，乙种机器产量要比第
一季度增产 20 %．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？
7. 苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾
的混合养殖，他了解到如下信息：
①每亩水面的年租金为 500 元，水面需按整数亩出租；
②每亩水面可在年初混合投放 4 公斤蟹苗和 20 公斤虾苗；
③每公斤蟹苗的价格为 75 元，其饲养费用为 525 元，当年可获 1400 元收益；
④每公斤虾苗的价格为 15 元，其饲养费用为 85 元，当年可获 160 元收益；
(1) 若租用水面 亩，则年租金共需__________元；
(2) 水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖
的年利润(利润=收益－成本)；
(3) 李大爷现在奖金 25000 元，他准备再向银行贷不超过 25000 元的款，用于蟹虾混合
养殖.已知银行贷款的年利率为 8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款
多少元，可使年利润超过 35000 元？
课时 8．二元一次方程及其应用
【课前热身】
1. 在方程 yx 4
13 ＝5 中，用含 x 的代数式表示 y 为 y ＝ ；当 x ＝3 时， y ＝ .
2．如果 x ＝3， y ＝2 是方程 326 byx 的解，则b ＝ .
3. 请写出一个适合方程 13 yx 的一组解： .
4. 如果 xyyx baba 24277 73 和 是同类项，则 x 、 y 的值是（ ）
A. x ＝－3， y ＝2 B. x ＝2， y ＝－3
C. x ＝－2， y ＝3 D. x ＝3， y ＝－2
【考点链接】
1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.
2. 二元一次方程组：由 2 个或 2 个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.
3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有 个解.
4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解.
5. 解二元一次方程的方法步骤：
二元一次方程组 方程.
消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种.
6．易错知识辨析：
（1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；
（2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值；
（3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.
【典例精析】
例 1 解下列方程组：
（1）4 5 19
3 2 3
a b
a b
（2） 2 2 0
7 4 41
x y
x y
例 2 （08 泰安）某厂工人小王某月工作的部分信息如下：
信息一：工作时间：每天上午 8∶20~12∶00，下午 14∶00~16∶00，每月 25 元；
信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于 60 件．
生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：
消元
转化
生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分）
10 10 350
30 20 850
信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得 1.50 元，每生产一件乙产品可得 2.80 元．根
据以上信息，回答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？
（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
例 3 若方程组 3
1
x y
x y
与方程组 8
4
mx ny
mx ny
的解相同，求 m 、 n 的值.
【中考演练】
1． 若
1
1
y
x 是方程组
124
2
ayx
byax 的解，则
_______
_______
b
a ．
2. 在方程 3x+4y=16 中，当 x=3 时，y=___；若 x、y 都是正整数，这个方程的解为_____．
3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．
911
4
yx
yx
B．
7
5
zy
yx C．
623
1
yx
x D．
1yx
xyyx
4. 关于 x、y 的方程组
myx
myx
9
32 的解是方程 3x+2y=34 的一组解，那么 m=（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．-2
5．某校初三(2)班 40 名同学为“希望工程”捐款，共捐款 100 元.捐款情况如下表：
捐款(元) 1 2 3 4
人 数 6 7
表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款 2 元的有 x 名同学，捐款 3 元的有 y 名同学，根据题意，可得方程组
A． 27
2 3 66
x y
x y
B． 27
2 3 100
x y
x y
C． 27
3 2 66
x y
x y
D． 27
3 2 100
x y
x y
6．解方程组：
①
13
92
xy
yx ②
12
1
3
3
4
3
144
yx
yx
7. 夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、
乙两种空调的设定温度都调高 1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27 度；再对乙
种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高 1℃后的节电量的 1.1
倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电 405 度.求只将温度调高 1℃后两
种空调每天各节电多少度？
8. 某同学在 A、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和
书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元.
① 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
② 某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市 A 所有商品打八折销售，超市 B 全场
购物满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用），但他只
带了 400 元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择
哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
课时 9．一元二次方程及其应用
【课前热身】
1．方程3 ( 1) 0x x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
2．关于 x 的一元二次方程 1( 3) ( 1) 3 0nn x n x n 中，则一次项系数是 .
3．一元二次方程 2 2 3 0x x 的根是 .
4．某地 2005 年外贸收入为 2.5 亿元，2007 年外贸收入达到了 4 亿元，若平均每年的增长率
为 x，则可以列出方程为 .
5. 关于 x 的一元二次方程 2 25 2 5 0x x p p 的一个根为 1，则实数 p =（ ）
A． 4 B． 0 或 2 C．1 D． 1
【考点链接】
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程
叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中
叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的
系数， 叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如 )0(2 aax 或 )0()( 2 aabx 的一元二次方程，就可用
直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程 02 aocbxax 的一般步骤是：①化二
次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和
一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化
原方程为 2( )x m n 的形式，⑤如果是非负数，即 0n ，就可以用直接开平方求
出方程的解.如果 n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a 的求根公式是
2
2
1,2
4 ( 4 0)2
b b acx b aca
.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程
的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于 0，得到两个一元一次方程，
解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3．易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，
注意一元二次方程一般形式中 0a .
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化 1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
【典例精析】
例 1 选用合适的方法解下列方程：
（1） )4(5)4( 2 xx ； （2） xx 4)1( 2 ；
（3） 22 )21()3( xx ； （4） 3102 2 xx .
例 2 已知一元二次方程 04371 22 mmmxxm ）（ 有一个根为零，求 m 的值.
例 3 用 22 长的铁丝，折成一个面积是 30 ㎝ 2 的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折
成面积是 32 ㎝ 2 的矩形呢？为什么？
【中考演练】
1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是_________.
2．已知 2 是关于 x 的方程
2
3 x2－2 a＝0 的一个解，则 2a－1 的值是_________.
3．关于 y 的方程 22 3 2 0y py p 有一个根是 2y ，则关于 x 的方程 2 3x p 的解为
_____.
4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2=7 x ②
3
2y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0
⑤ 2 ( x2+1)= 10 ⑥ 2
4
x
-x-1=0
A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
5. 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1 化成一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后 a,b,c 的值为
（ ）
A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2
C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4
6．一元二次方程 2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为 1，一次项的
系数为－1，则 m 的值为（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
7．解方程
(1) x2－5x－6＝0 ； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）；
(3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）x 222 x+1=0．
8．某商店 4 月份销售额为 50 万元，第二季度的总销售额为 182 万元，若 5、6 两个月的月
增长率相同，求月增长率．
﹡课时 10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【课前热身】
1．（07 巴中）一元二次方程 2 2 1 0x x 的根的情况为（ ）
Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根
Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根
2. 若方程 kx2－6x＋1＝0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 .
3．设 x1、x2 是方程 3x2＋4x－5＝0 的两根,则
21
11
xx
，.x12＋x22＝ .
4．关于 x 的方程 2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当 m＝ 时，两根互为倒数；
当 m＝ 时，两根互为相反数.
5．若 x1 = 23 是二次方程 x2＋ax＋1＝0 的一个根,则 a＝ ，该方程的另一个根 x2
= .
【考点链接】
1. 一元二次方程根的判别式：
关于 x 的一元二次方程 002 acbxax 的根的判别式为 .
（1） acb 42 >0 一元二次方程 002 acbxax 有两个 实数根，即
2,1x .
（2） acb 42 =0 一元二次方程有 相等的实数根，即 21 xx .
（3） acb 42 l D．m
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