松原油田2015-2016年第一学期高二数学（理）期末试卷及答案

吉林油田高级中学 2015-2016 学年度上学期期末考试 高二数学试题（理科） （考试时间：120 分钟，满分：150 分 ） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一．选择题：(本大题共 12 小题,每题 5分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.设0 1   a b a b且 ，则下列四数中最大的是 A． 22 ba  B．2ab C．a D． 2 1 2. 已知向量 (2 , 1,1), (2, 4, )a x x b k      ，若 a  与b  共线，则 A. 0k  B． 1k  C． 2k  D． 4k  3.在 ABC 中， a b c，， 分别为角 A B C， ， 所对的边，若 2 cosa b C ，则此三角形一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 4. “1＜x＜2”是“x＜2”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.椭圆 2 2 1 25 16 x y   上一点 P到其一个焦点的距离为 3，则点 P到另一个焦点的距离为 A．2 B．7 C．3 D．5 6.等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 2 42, 10S S  ，则 6S 等于 A．12 B．18 C．24 D．42 7. 已知点 ( , )P x y 在不等式组 2 0 1 0 2 2 0 x y x y          表示的平面区域内运动，则 z x y  的 取值范围是 A．[－2，－1] B．[－2,1] C．[－1,2] D．[1,2] 8. 设 0, 0a b  .若 3是3a与3b的等比中项，则ab的最大值为 A．8 B．4 C．1 D. 1 4 9.抛物线 2 8y x  中，以 ( 1,1) 为中点的弦的方程是 A . 4 3 0x y   B． 4 3 0x y   C． 4 3 0x y   D． 4 3 0x y   10. 等比数列 na 的前n项和为 nS ，且 1 2 34 ,2 ,a a a 成等差数列．若 1 1a  ，则 4S 等于 A．7 B．8 C．15 D．16 11. 如图：在平行六面体 1111 DCBAABCD 中，M 为 11CA 与 11DB 的交点。若 aAB  ， bAD  ， cAA 1 则下列向量中与 BM 相等的向量是 A. cba  2 1 2 1 B． cba  2 1 2 1 C． cba  2 1 2 1 D． cba  2 1 2 1 12. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的离心率 2,2e     ．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线 的角记为，则的取值范围是 A． ， B． ， C． ， D． ，π] 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二 填空题：( 本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13.已知 ABC 的三个顶点为 (3,3, 2)A ， (4, 3,7)B  ， (0,5,1)C ，则 BC边上的 中线长为 ． 14.抛物线 2 4y x 的准线方程为 ． 15.在正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， ,E F 分别为 1AB CC和 的中点，则异面直线 EF 与 1 1AC 所成 角的大小是_______. 16. 设 1e 、 2e 分别为具有公共焦点 1F、 2F 的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足 1 2 1 2PF PF F F     ，则 1 2 2 2 1 2 e e e e 的值为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．设双曲线C的两个焦点为  2,0 ，  2,0 ，一个顶点  1,0 ， 求双曲线C的方程，离心率及渐近线方程。 18.已知命题 p： 2 8 20 0k k   ，命题 q：方程 1 14 22     k y k x 表示焦点在 x轴上的双曲线． （Ⅰ）命题 q为真命题，求实数 k的取值范围； （Ⅱ）若命题“ p q ”为真，命题“ p q ”为假，求实数 k的取值范围． M C1 C B1 D1 A1 A B D 19. 在锐角 ABC 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c ，已知 3 2 sina c A (Ⅰ)求角C的值； (Ⅱ)若 7c  ，且 3 3 2ABCS  ，求 a b 的值． 20.数列 }{ na 中， cnaaa nn  11 ,2 （ c是常数， *Nn )，且 321 ,, aaa 成公比不为 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c的值； (Ⅱ)求 }{ na 的通项公式. 21.如图：直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 090ACB  ， 1 2AA AC BC   ，D 为 AB中点． （Ⅰ）求证： 1 1BC CD平面A (Ⅱ)求二面角 1D CA A  的正切值． 22.过焦点在 x 轴上的椭圆 12 2 2 2  b y a x 的右焦点F 作斜率 1k 的直线交椭圆于 A， B两点， 且 OBOA 与 ) 3 1,1(a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设 P为椭圆上任意一点，且 ),( RnmOBnOAmOP  . 证明： 22 nm  为定值. 2015-2016 学年度上学期期末考试 高二数学理科试卷参考答案 一．选择题 ACCAB CCDAC AC 13.3 14. 1x   15.30 16. 2 2 17.解： 2 2 1x y  2,e 离心率 y x 渐近线方程： 18. 解：（1）当命题 q为真时，由已知得 4 0 1 0 k k      ，解得1 4k  ∴当命题 q为真命题时，实数 k的取值范围是1 4k  …………………5分 （2）当命题 p为真时，由 2 8 20 0k k   解得 2 10k   …………………7 分 由题意得命题 p、 q中有一真命题、有一假命题 ………………………8 分 当命题 p为真、命题 q为假时，则 2 10 1 4 k k k       或 ， 解得 2 1k   或 4 10k  . …………………………………………………10 分 当命题 p为假、命题 q为真时，则 2 10 1 4 k k k       或 ， k无解. …………12 分 ∴实数 k的取值范围是 2 1k   或 4 10k  . …………………………13 分 19(1)由 3a＝2csinA 及正弦定理，得 a c ＝ 2sinA 3 ＝ sinA sinC . ∵sinA≠0，∴sinC＝ 3 2 . 又∵△ABC 是锐角三角形，∴C＝ π 3 . (2)方法一 c＝ 7，C＝ π 3 ， 由面积公式，得 1 2 absin π 3 ＝ 3 3 2 ，即 ab＝6.① 由余弦定理，得 a2 ＋b2 －2abcos π 3 ＝7， 即 a2 ＋b2 －ab＝7.② 由②变形得(a＋b)2 ＝3ab＋7.③ 将①代入③得(a＋b)2 ＝25，故 a＋b＝5. 20. (Ⅰ) cacaa 32,2,2 321  ，因为 321 ,, aaa 成公比不为 1 的等比数列，解得 c=2； (Ⅱ) )1(2,...,2 112   naaaa nn 累加可得 22  nnan ， 1a 也符合 ，所以 22  nnan （ *Nn ）. 21.解答： （1）证明：连接 AC1交 A1C 于 O 点，连接 DO，则 O 为 AC1的中点， ∵D 为 AB 中点，∴DO∥BC1， 又∵DO⊂平面 A1CD，BC1⊄平面 A1CD， ∴BC1∥平面 A1CD． （2）解：以 CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1为 z 轴，建立空间直角坐标系， ∵直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D 为 AB 中点． ∴ =（﹣2，2，2）， 设二面角 D﹣CA1﹣A 的大小为θ，则 ∵平面 ACA1的法向量是 =（0，1，0） ∴cosθ= = ，∴tanθ= ， ∴二面角 D﹣CA1﹣A 的正切值是 ． 22.解：（I）设 AB: y x c   ,直线 AB 交椭圆于两点，    1 1 2 2, , ,A x y B x y 2 2 2 2 2 2b x a y a b y x c           22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2 0b x a x c a b b a x a cx a c a b          2 2 2 2 2 / 1 2 1 22 2 2 2 2 , , 2a c a c a bx x x x a b a b         1 2 1 2 1, 1, 3 OA OB x x y y a             与 共线，        1 2 1 2 1 2 1 23 0,3 0y y x x x c x c x x           2 2 2 2 ' 1 2 3 6 6, 3 , , 6 2 3 3 c a cx x a b c a b e a          （Ⅱ） 2 23a b ，椭圆方程为 2 2 23 3 ,x y b    设M(x,y)为椭圆上任意一点,OM (x,y), OM mOA nOB     ，      1 2 1 2, , , ,x y mx nx my ny M x y   点 在椭圆上    2 2 2 1 2 1 23 3mx nx my ny b    2 2 2 2 2 2 2 / 1 1 2 2 1 2 1 2( 3 ) ( 3 ) 2 ( 3 ) 3 8m x y n x y mn x x y y b       2 2 2 2 1 2 3 3 1, , 2 2 2 cx x a c b c    ， 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 8 a c a bx x c a b           2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ' 3 3 4 3 3 3 9 3 0 10 2 2 x x y y x x x c x c x x c x x c c c c                 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 3 3 , 3 3 3 3 , 1 12 x y b x y b m b n b m n         2 代入得 3b 不用注册，免费下载！