2015-2016高二数学（理）期中试题及答案

2015---2016 学年度上学期 高二年级数学学科（理科）期中考试试题 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 （1）方程 3 2 2x xy x  所表示的曲线是 (A)一个圆 (B)一条直线 (C) 一个点和一条直线 (D) 一条直线和一个圆 （2）两条直线 1 : (1 ) 3l ax a y   ，2 :( 1) (2 3) 2l a x a y    互相垂直，则 a 的值是 (A) 5 (B) 1 (C) 1 或 3 (D) 0 或 3 （3）已知点 ),( yxP 在圆 2 2( 2) 1x y   上运动，则代数式 y x 的最大值是 (A) 3 3 (B)－ 3 3 (C) 3 (D)－ 3 （4）圆 O1: 0222  xyx ＋ 和圆 O2: 0422  yyx ＋ 的位置关系是 (A)相离 (B)相交 (C) 外切 (D) 内切 （5）已知实数 ,x y 满足 1 0 0 0 x y x y x         ，则 2x y 的最大值为 (A) 1 2  (B) 0 (C) 1 (D) 1 2 （6）若直线 kxy  与圆 1)2( 22  yx 的两个交点关于直线 02  byx 对称，则 bk, 的值分别为 (A) 2 1k ， 4b (B) 2 1k ， 4b (C) 2 1k ， 4b (D) 2 1k ， 4b （7）已知直线 l 经过点 M(2，3)，当圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9 截 l 所得弦长最长时，直线 l 的方程为 (A) x－2y＋4＝0 (B) 3x＋4y－18＝0 (C) y＋3＝0 (D) x－2＝0 （8）已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 1 2 ，它的长轴长等于圆 x2＋y2－2x－15＝0 的 半径，则椭圆的标准方程是 (A) x2 4 ＋y2＝1 (B) x2 16 ＋y2 12 ＝1 (C) x2 4 ＋y2 3 ＝1 ((D) x2 16 ＋y2 4 ＝1 （9） 已知椭圆 :C 2 2 14 x y  的左、右焦点分别为 1 2,F F ，椭圆C 上点 A 满足 2 1 2AF F F . 若点 P 是椭圆C 上的动点，则 1 2F P F A  的最大值为 (A) 2 3 (B) 2 1 (C) 2 33 (D) 4 15 （10）在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，底面是正三角形，侧棱 1AA  底面 ABC ,点 E 是侧 面 11CCBB 的中心，若 1 3AA AB ,则直线 AE 与平面 11CCBB 所成角的大小为 (A)30 (B) 45 (C) 60 (D) 90 （11）椭圆 1416 22  yx 上的点到直线 022  yx 的最大距离是（ ） (A)3 (B) 11 (C) 10 (D) 22 （12）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ， 21 F,F 为其左、右焦点， P 为椭圆 C 上任 一点， 1 2F PF 的重心为G ，内心 I ，且有 1 2IG F F  （其中  为实数），椭圆C 的离心率 (A) 1 2 (B) 1 3 (C) 2 3 (D) 3 2 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）过点 (1, 2)P  且垂直于直线 3 2 0x y   的直线方程为 （14）若圆C 的半径为3 ，其圆心与点 )0,1( 关于直线 xy  对称，则圆C 的标准方程为 ________ （15）在正方体 1111 DCBAABCD  中，O 是底面 ABCD 的中心， E 、 F 分别是 1CC 、 AD 的中点．那么异面直线OE 和 1FD 所成角的余弦值为 （16）椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的左．右焦点分别为 1 2,F F ，焦距为 c2 ，若 3( )y x c  与椭圆 E 的一个交点 M 满足 1 2 2 12MF F MF F   ，则该椭圆的 离心率等于 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 10 分） 已知 1F 、 2F 为椭圆  012 2 2 2  ba b y a x 的左、右焦点，过 2F 做椭圆的弦 AB . （Ⅰ） 求证： ABF1 的周长是常数； （Ⅱ） 若 ABF1 的周长为 16，且 1AF 、 21FF 、 2AF 成等差数列，求椭圆方程． （18）(本小题满分 12 分) 已知点C 的坐标是 )3,2( ，过点C 的直线CA 与 x 轴交于 A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 交 y 轴与点 B ，设点 M 为 AB 的中点，求点 M 的轨迹方程． （19）(本小题满分 12 分) 已知       052 04 02 yx yx yx ，求（Ⅰ） 1 2   x yz 的取值范围; （Ⅱ） 251022  yyxz 的最小值. （20）(本小题满分 12 分) 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90ACB   ， E 是棱 1CC 上的动点， F 是 AB 中点 ， 2 BCAC ， 41 AA ． （Ⅰ）求证：CF  平面 1ABB ； （Ⅱ）若二面角 1A EB B  的大小是 45 ，求CE 的长． （21）(本小题满分 12 分) 已知圆 ,02042: 22  yxyxC 直线     .046112:  mymxml (Ⅰ)求证：直线l 与圆 C 相交； (Ⅱ)计算直线l 被圆C 截得的最短的弦长． （22）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点为 2 (1,0)F ，点 3 2( ,2)2 在椭圆上． （I）求椭圆的离心率； （II）点 M 在圆 2 2 2x y b  上，且 M 在第一象限， 过 M 作圆 2 2 2x y b  的切线交椭圆于 P ,Q 两 点，求证：△ 2PF Q 的周长是定值． 2015-2016 高二上学期期中考试 数学学科（理科）答案 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 （1）D （2）C（3）A （4）B （5）D（6）B （7）D （8）C （9）B （10）A （11）C（12）A 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13） 13  yx （14） 9)1( 22  yx （15） 5 15 （16） 13  三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17（本小题满分 10 分）解：（Ⅰ） a4 （Ⅱ） 164 a  4a  1AF 、 21FF 、 2AF 成等差数列  ac 24   2c 32b 椭圆方程为 11216 22  yx （18）解：设 )0,(aA ， ),0( bB ， ),( yxM CBCA   0CBCA 01332  ba M 是 AB 的中点， ax 2 ， by 2 ， 01364  yx 若用斜率乘积为 1 ，需讨论分式的分母是否为 0 ，不讨论的扣1分（检验 )2 3,1(M 求出直线上的不扣分） （19）解：（Ⅰ）三条直线的交点分别是 )3,1(),9,7(),1,3( CBA )1( )2(   x yz ，表示点 )2,1( N 到 CA, 两点斜率的取值范围。 2 5,4 3  NCNA KK , Z 的取值范围是     2 5,4 3 （Ⅱ） Z 表示到可行域中的点的距离的平方最小值。 )5,0( 到直线 02  yx 的距 离的平方为 2 9 是最小的。 （20）（Ⅰ）证明：∵三棱柱 1 1 1ABC A B C 是直棱柱，∴ 1BB  平面 ABC . 又∵CF  平面 ABC ，∴CF 1BB . ∵ 90ACB   ， 2AC BC  ，F 是 AB 中点，∴ CF AB . 又∵ 1BB ∩ AB B ， ∴CF  平面 1ABB . （Ⅱ）解：以C 为坐标原点，射线 1, ,CA CB CC 为 , ,x y z 轴正半 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ， 则 (0,0,0)C , (2,0,0)A , 1(0,2,4)B . 设 (0,0, )E m ，平面 1AEB 的法向量 ( , , )n x y z ， 则 1 ( 2,2,4)AB   , ( 2,0, )AE m  . 且 1AB n  ， AE n  .于是 1 2 2 4 0, 2 0 0. AB n x y z AE n x y mz                  所以 ,2 4 .2 mzx mz zy     取 2z  ，则 ( , 4,2)n m m  ∵ 三棱柱 1 1 1ABC A B C 是直棱柱，∴ 1BB  平面 ABC . 又∵ AC  平面 ABC ，∴ AC 1BB .∵ 90ACB   ， ∴ AC BC .∵ 1BB ∩ BC B ， ∴ AC  平面 1ECBB .∴ CA  是平面 1EBB 的法向量， (2,0,0)CA  . ∵二面角 1A EB B  的大小是 45 ， ∴ 2 2 2 2 2cos45 22 ( 4) 2 CA n m CA n m m             . 解得 5 2m  . ∴ 5 2CE  . （21）（I）证明：圆的标准方程 25)2()1( 22  yx ，圆心 )2,1( ， 2 分 直线经过定点 )3 14,3 2(M 4 分 25)23 14()13 2( 22  点 M 在圆的内部，则直线和圆相交。 （II）当CM 垂直弦 AB 时，弦长最短，由垂径定理得最小值为 3 108 （22）（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是 1( 1,0)F  ， 2 (1,0)F ， 1c  ， ∵ H 3 2( ,2)2 在椭圆上，代入椭圆方程得： 3a  ， 2 2b  ，椭圆的方程是 2 2 19 8 x y  ， 3 1e …（6 分） （II）方法 1：设  1 1 2 2, , ( , )P x y Q x y ，则 2 2 1 1 19 8 x y  ，     2 2 22 21 1 2 1 1 11 1 8(1 ) ( 3)9 3 x xPF x y x         ， ∵ 10 3x  ，∴ 1 2 3 3 xPF   ， 在圆中， M 是切点， ∴ 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1| | | | 8 8(1 ) 89 3 xPM OP OM x y x x          ， ∴ 2 1 1 1 13 33 3PF PM x x     ， 同理 2 3QF QM  ，∴ 2 2 3 3 6F P F Q PQ     ， 因此△ 2PF Q 的周长是定值6 ． …………（12 分） 方法 2：设 PQ 的方程为 ( 0, 0)y kx m k m    ， 由      189 22 xx mkxy ，得 072918)98( 222  mkm 设 ),(),,( 2211 yxQyxP ，则 221 98 18 k kmxx   ， 2 2 21 98 729 k mxx   ， ∴ ||1|| 21 2 PQ  21 2 21 2 4)(1 xx  2 2 2 2 2 18 9 721 ( ) 48 9 8 9 km mk k k       2 2 2 2 2 4 9 8 (9 8)1 (8 9 ) k mk k        ， ∵ PQ 与圆 822  yx 相切，∴ 2 2 2 1 m k   ，即 2122 km  ， ∴ 2 6| | 8 9 kmPQ k    ， ∵     2 2 22 21 1 2 1 1 11 1 8(1 ) ( 3)9 3 x xPF x y x         ， ∵ 10 3x  ，∴ 1 2 3 3 xPF   ，同理 2 2 2 1 (9 ) 33 3 xQF x    ， ∴ 1 2 2 2 2 2 2 6 6 66 6 63 8 9 8 9 8 9 x x km km kmF P F Q PQ k k k            ， 因此△ 2PF Q 的周长是定值6 ． …………（12 分）