哈六中2015-2016学年高二数学（理）期末试题及答案

2015-2016 学年度上学期期末考试 高二理科数学 一.选择题(共 12 题,每题 5 分) 1．复数 i iz  1 （其中i 为虚数单位）的虚部是( ) A． 2 1 B． i2 1 C． 2 1 D． i2 1 2. 已知 12 1: xp , 1:  axq .若 q 是 p 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是( ) A． (2,3] B．[2,3] C． (2,3) D． ( ,3] 3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为 15:3:2．为了了解该单位职员的某种情况，采用 分层抽样方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中业务人员人数为 30，则此样本的容量 n 为（ ） A.20 B.30 C．40 D．80 4．已知直线 l 平面 ,直线 m 平面  ,给出下列命题： ① l  ∥ m ； ② ∥ ml  ； ③  ml ∥  ④l ∥  m ； 其中正确命题的序号是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④ 5. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“若sin sinx y ，则 x y ”的逆否命题为真命题 B.“ 1x   ”是“ 2 5 6 0x x   ”的必要不充分条件 C. 命题“ 2, 1 0x R x x     ”的否定是“ 2, 1 0x R x x     ” D. 命题“若 2 1x  ，则 1x  ”的否命题为“若 12 x ，则 1x  ” 6．设随机变量 服从正态分布  7,3N ，若    22  apap  ，则 a =( ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如右图，已知 K 为如图所示的程序框图输出结果，二项式 n K xx       1 的 展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有 1、2、3、4、5、6 个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上 的点数分别为 yx, ，设事件 A 为“ yx  为偶数”，事件 B 为“ yx, 中有偶数，且 yx  ”，则概率  ABP =( ) A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 2 5 9．已知  821 x 展开式的二项式系数的最大值为 a ，系数的最大值为b ，则 a b =( ) A．128 5 B． 256 7 C． 512 5 D．128 7 10．有 5 盆菊花，其中黄菊花 2 盆、白菊花 2 盆、红菊花 1 盆，现把它们摆放成一排，要求 2 盆黄菊 花必须相邻，2 盆白菊花不能相邻，则这 5 盆花不同的摆放种数是( ) A．1 2 B．24 C．36 D．48 11. 甲、乙两名运动员的 5 次测试成绩如右图所示. 设 21,ss 分 别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 21, xx 分别 表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ） A. 21 xx  , 21 ss  B. 21 xx  ， 21 ss  C. 21 xx  ， 21 ss  D. 21 xx  ， 21 ss  12．已知三棱锥 ABCS  的所有顶点都在球 O 的球面上， SA ⊥平面 ABC ， 34SA ， 2AB ， 4AC ，  60BAC ，则球O 的表面积为( ) A． 4 B．12 C．16 D． 64 二.填空题(共 4 题,每题 5 分) 13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸 3 次，3 次摸到的红球比白球多 1 次的 概率为___________________． 14. 设 n 为正整数, nnf 1 3 1 2 11)(   ，经计算得 2 5)8(,2)4(,2 3)2(  fff ， 3)16( f , 2 7)32( f ，……观察上述结果，对任意正整数 n ，可推测出一般结论是____________ . 15. 向面积为 S 的 ABC 内任投一点 P ，则 PBC 的面积小于 3 S 的概率为 . 16．如图，在直三棱柱 111 CBAABC  中， 5,4,3  ABBCAC ，点 D 是线段 AB 上的一点，且  901CDB ， CDAA 1 ，则点 1A 到平面 CDB1 的距离为_______. 三.解答题(共 6 题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润 y （元）与该周每天销售这种服装件数 x 之间有如下一组数据： x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知 7 7 2 1 1 280, 3487i i i i i x x y      . (1)求 ,x y ； （2）求纯利润 ˆy 与每天销售件数 x 之间的回归方程. 甲 茎 乙 5 7 1 6 8 8 8 2 2 3 6 7 (参考公式： xbya xnx yxnyx b n i i n i ii         , 1 22 1 ) 18.（本小题满分 12 分） 我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0-50 为优秀，各类人群可正 常活动.环保局对我市 2014 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取 50 个作 为样本进行分析报告，样本数据分组区间为 5,15 ， 15,25 ， 25,35 ， 35,45 ，由此得到本的空气质量指 数频率分布直方图，如图. (1) 求 a 的值； (2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量 指数的平 均值； (3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质 量为“特 优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天 的数值， 其中达到“特优等级”的天数为 ，求 的分布列 和数学期 望. 19.（本小题满分 12 分） 如图三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1BB C C 为菱形， 1AB B C . (1) 证明： 1AC AB ； (2)若 1AC AB ， o 1 60CBB  ， AB BC , 求二面角 1 1 1A A B C  的余弦值. 20．(本小题满分 12 分) 某校的学生记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示： 组别 理科 文科 性别 男生 女生 男生 女生 空气质量指数 频率 组距 0.032 0.020 0.018 O 5 15 25 35 45 a 人数 4 4 3 1 学校准备从中选出 4 人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记 1 分，每选出一 名女生则给其所在小组记 2 分，若要求被选出的 4 人中理科组、文科组的学生都有． (Ⅰ)求理科组恰好记 4 分的概率； (Ⅱ)设文科男生被选出的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 E ． 21．(本小题满分 12 分) 如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中， AEBN 2 , M 是 ND 的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. （1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据； （2）求证： EM ∥平面 ABC ； （3）试问在边 BC 上是否存在点G ，使GN ⊥平面 NED . 若存在，确定点G 的位置；若不存在， 请说明理由. 22.（本小题满分 12 分） 设直线 )1(:  xkyl 与椭圆 )0(3 222  aayx 相交于 BA, 两个不同的点，与 x 轴相交于点C ，记 O 为 坐标原点. （1）证明： 2 2 2 31 3 k ka   ； （2）若 CBAC 2 , 求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. 高二理科数学答案 一.选择题 CACDD CBBAB BD 二.填空题 13. 8 3 14.   2 22  nf n 15. 9 5 16.3 三.解答题 17.(1) 86.797 559,6  yx (2) 75.44 19 b 36.5114 719 a 18.(1) 解：由题意，得 0.02 0.032 0.018 10 1a     ， ……………1 分 解得 0.03a  . ……………2 分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为 0.2 10 0.32 20 0.3 30 0.18 40 24.6X          ……………3 分 由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6 . …………4 分 （3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在 5,15 内为“特优等级”， 且指数达到“特优等级”的概率为 0.2 ，则      5 1,3~ B ………5 分  的取值为 0,1,2,3， ………6 分   3 0 3 4 640 5 125P C       ，   2 1 3 1 4 481 5 5 125P C              ，   2 2 3 1 4 122 5 5 125P C              ，   3 3 3 1 13 5 125P C       . ……………10 分 ∴ 的分布列为： ……11 分 ∴ 64 48 12 1 30 1 2 3125 125 125 125 5E          . ………12 分 （或者 1 33 5 5E    ） 19. (Ⅰ)连结 1BC ，交 1B C 于O ，连结 AO ．因为侧面 1 1BB C C 为菱形，所以 1B C 1BC ， 且O 为 1B C 与 1BC 的中点．又 1AB B C ，所以 1B C  平面 ABO ，故 1B C AO 又 1B O CO ，故 1AC AB ……… 4 分 （Ⅱ）因为 1AC AB 且O 为 1B C 的中点，所以 COAO   0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 又因为 BCAB  ，所以 BOA BOC   . 故 OBOA  ，从而 OBOA, , 1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 xyzO  ． 因 为 0 1 60CBB  ，所以 1CBB 为等边三角形．又 BCAB  ，则 30,0, 3A       ，  1,0,0B ， 1 30, ,03B       ， 30, ,03C      1 3 30, ,3 3AB        ， 1 1 31,0, ,3A B AB          1 1 31, ,03B C BC           设  , ,n x y z 是平面的法向量，则      0 0 11 1 BAn ABn   ， 即 3 3 03 3 3 03 y z x z       所以可取  1, 3, 3n  设 m  是平面的法向量，则      0 0 11 11 CBm BAm ， 同理可取  1, 3, 3m   则 7 1cos    mn mnmn ，所以二面角 1 1 1A A B C  的余弦值为 1 7 . 12 分 20. 解：(Ⅰ) 33 106P  （4 分） (Ⅱ) 由题意得 0,1,2,3  ，于是 的分布列为  0 1 2 3 P 56 424 252 424 108 424 8 424 （只写出正确分布列表格的扣 4 分）  的数学期望为 123( ) 106E   （12 分） 21.（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣 1 分）………………2 分 （2）证明：俯视图和侧视图，得  90CAB ， 3DC , 2 ABCA ， 2EA ， 1BN ， EA 平面 ABC , NBDCEA //// .取 BC 的中点 F ，连接 FM 、 EM ， 则 EADCFM //// ，且   22 1  DCBNFM …4 分 ∴ FM 平行且等于 EA , ∴四边形 EAFM 是平行四边形， ∴ EMAF // ，又 AF  平面 ABC ， ∴ EM  平面 ABC .…………………………7 分 （3）解，以 A 为原点，以 AC 的方向为 x 轴的正方向， AB 的方 向为 y 轴正方向， AE 的方向为 z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有 A （0，0，0）， E （0，0，2）， B （0，2，0）， D （－2，0，3）， N （0，2，1），C （－2，0，0）. 设 ND  （－2，－2，2）， NE  （0，－2，1）， CB  （2，2，0），CN  （2，2，1）. 假设在 BC 边上存在点G 满足题意， (2 ,2 ,0), [0,1], (2,2,1) (2 ,2 ,0) (2 2 ,2 2 ,1). 0 4 4 1 0, , ,8 8 2 00 3 [0,1].4 CG CB GN CN CG GN NEGN NED GN ND                                                设 则 平面 即 解之得 ∴边 BC 上存在点 D ，满足 CBCG 4 3 时，GN ⊥平面 NED ………………12 分 22. (I）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故 .11)1(  yky 可化为 将 xayxykx 消去代入 ,311 222  ， 得 .012)31( 22 2  aykyk ① 由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点 3)31(,0)1)(31(44 2 2 2 22  akakk 整理得 ，即 . 31 3 2 2 2 k ka   … 5 分 （II）解：设 ).,(),,( 2211 yxByxA 由①，得 221 31 2 k kyy  因为 21 2,2 yyCBAC  得 ，代入上式，得 .31 2 22 k ky   ……………8 分 于是，△OAB 的面积 ||2 3||||2 1 221 yyyOCS  2 3 ||32 ||3 31 ||3 2    k k k k 其中，上式取等号的条件是 .3 3,13 2  kk 即 由 .3 3,31 2 222   yk ky 可得 将 3 3,3 3 3 3,3 3 22  ykyk 及 这两组值分别代入①，均可解出 .52 a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 .53 22  yx ………12 分