数 学 试 题 卷（文科）
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净
后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知椭圆 x y
m
2 2
5 1 的离心率 e= 10
5
，则 m 的值为 ( )
A.3 B.3 或 25
3
C. 15 D． 15 或 5
3 15
2. 命题“ 0||, 2 xxRx ”的否定是（ ）
A． 0||, 2 xxRx B. 0||, 2 xxRx
C. 0||, 2
000 xxRx D. 0||, 2
000 xxRx
3.如图 1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,
则该几何体的表面积是( )
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 (图 1)
4.设 x、y、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z 均为直线；②x、y 是
直线，z 是平面；③x、y 是平面，z 是直线；④x、y、z 均为平面。其中能使“ yxzyzx // 且 ”
为真命题的是( )
A.③④ B.①③ C.②③ D.①②
5.直线l 不经过坐标原点 O, 且与椭圆 12
2
2
yx 交于 A、B 两点，M 是线段 AB 的中点．那么,
直线 AB 与直线 OM 的斜率之积为 ( )
A. 1 B.1 C. 2
1 D.2
6.已知命题 :p 直线 2 xy 与双曲线 122 yx 有且仅有一个交点；命题 :q 若直线l 垂直于直
线 m ,且 ,// 平面m 则 l . 下列命题中为真命题的是( )
A.( ) ( )p q B.( )p q C.( ) ( )p q D. p q
7.下列有关命题的说法错误．．的是 ( )
A.对于命题 p ： x R ，使得 2 1 0x x . 则 p ： x R ，均有 2 1 0x x .
B.“ 1x ”是“ 0232 xx ”的充分不必要条件.
C.命题“若 12 x , 则 1x ”的否命题为：“若 12 x ,则 1x ”.
D.命题“若 5 yx ，则 32 yx 或 ”是假命题.
8.(原创)如下图 2, 在平行四边形 ABCD 中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD 沿 AC 折起,
使得 BD= 5 . 在三棱锥 D-ABC 的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( )
A.面 ABD⊥面 BCD B.面 ABD⊥面 ACD
C.面 ABC⊥面 ACD D.面 ABC⊥面 BCD
(图 2) (图 3)
9.(原创)如上图 3, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, 面 PAB⊥面 ABCD. 在
面 PAB 内的有一个动点 M, 记 M 到面 PAD 的距离为 d . 若 1|| 22 dMC , 则动点 M 在面 PAB
内的轨迹是( )
A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
10.设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 1
2e ,右焦点为 F（c, 0），方程 2 0ax bx c 的两个
实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1, x2)的位置( )
A.必在圆 2 2 2x y 内 B.必在圆 2 2 2x y 上
C.必在圆 2 2 2x y 外 D.以上三种情形都有可能
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案写在答题卡相应位置上.
11.过点 P(3,1)向圆 012222 yxyx 作一条切线, 切点为 A, 则切线段 PA 的长为 .
12.椭圆
100
2x +
36
2y =1 上一点 P 到它的右准线的距离是 10,那么 P 点到左焦点的距离是 .
13.一个几何体的三视图如图 4, 则这个几何体的体积为 .
14.半径为 5 的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是
球的截面圆, 半径分别为 3 和 4. 则该圆台体积的最大值为 .
15.(原创)设 A 为椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x ( 0 ba )上一点, 点 A 关于原点
的对称点为 B, F 为椭圆的右焦点, 且 AF⊥BF. 若∠ABF∈[12
, 4
], (图 4)
则该椭圆离心率的取值范围为 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.(本小题 13 分)已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的离心率为 3 ，实轴长为 2。
(1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 mxy 被双曲线 C 截得的弦长为 24 ，求 m 的值。
17.(本小题 13 分)已知命题 A：方程 115
22
t
x
t
y 表示焦点在 y 轴上的椭圆；
命题 B：实数 t 使得不等式 0)1(2 atat 成立。
（1）若命题 A 为真，求实数t 的取值范围；
（2）若命题 B 是命题 A 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。
18.(本小题 13 分)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， 90ACB ，点 E、F、G 分别是 AA1、
AC、BB1 的中点，且 CG⊥C1G .
(1)求证：CG//面 BEF;
(2)求证：面 BEF⊥面 A1C1G .
[来源:学,科,网]
(图 5)[来源:
(图 6)
19. (本小题 12 分) 如图 6-(1)所示，在边长为 12 的正方形 11 AAAA 中，点 B、C 在线段 AA′
上，且 AB=3，BC=4.作 BB1∥AA1，分别交 A1A1′、AA1′于点 B1、P；作 CC1∥AA1，分别交
A1A1′、AA1′于点 C1、Q. 现将该正方形沿 BB1，CC1 折叠，使得 1AA 与 AA1 重合，构成如图
6-(2)所示的三棱柱 ABC-A1B1C1.
(1)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，求证：AP⊥BC;
(2)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，连接 AQ 与 A1P，求四面体 AA 1QP 的体积；
(3)在三棱柱 ABC- A1B1C1 中，求直线 PQ 与直线 AC 所成角的余弦值.x_k_b_1
20.(本小题 12 分)已知椭圆C 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率等于
2
2 ，它的一
个顶点 B 恰好是抛物线 yx 42 的焦点。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)直线l 与椭圆 C 交于 NM , 两点，那么椭圆 C 的右焦点 F 是否可以成为 BMN 的垂心．．？
若可以,求出直线l 的方程；若不可以,请说明理由.(注: 垂心是三角形三条高线的交点)
21.(原创)(本小题 12 分)如图 7, 已知圆 )1()1(: 222 rryxC ,设 A 为圆 C 与 x 轴负半轴的
交点，过点 A 作圆 C 的弦 AM，并使弦 AM 的中点恰好落在 y 轴上.
(1)当 r 在 ),1( 内变化时，求点 M 的轨迹 E 的方程；
(2)已知定点 P(-1,1)和 Q(1,0)，设直线 PM、QM 与轨迹 E 的另一个交点分别是 M1、M2 . 求
证：当 M 点在轨迹 E 上变动时，只要 M1、M2 都存在且 M1 M2，则直线 M1M2 恒过一个定
点，并求出这个定点。
(图 7)
数 学 答 案（文科）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C B C C A D A D A
11. 3 ; 12. 12 ; 13. 3 ; 14.
3
259 ; 15. [
2
2 ,
3
6 ]
16.解：(1)由题意，解得 1, 3a c ，∴ 2 2 2 2b c a ，∴所求双曲线C 的方程为
2
2 12
yx .
(2)
02212
222
2 mmxxyx
mxy
,由弦长公式得 1)2(44224 22 mmm .
17.解：(1)由条件知 31015 ttt ;
(2)B 是 A 的必要不充分条件, 31 t 是 0)1(2 atat 解集的真子集.
因方程 0)1(2 atat 两根为 a和1 , 故只需 3a .
1, M2 的坐标分别为 )2,(),2,(),2, 2
2
21
2
1
2 tttttt（ ,其中
2
10 tt 且 .
由 P,M,M1 共线得
12
2
1
1222
1222
1
1
t
ttt
t
tt
tt ; 由 Q,M,M2 共线得
ttt
t
tt
tt 1
1
0222
2222
2
2
.
所以
tt
ttt
221 2
2 , ）（*2
1
2
2
21 tt
ttt
. 可见 021 tt , 即直线 M1 M2 必有斜率.
由点斜式可求得直线 M1 M2 的方程为: 022) 2121 ttxytt（ , 将(*)中两式代入得:
042)24()1 22 txttyt（ , 再化简得 0)4()1(2)4(2 yxtxyt .
由方程组
4
1
04
01
04
y
x
y
x
xy
.所以直线 M1 M2 必过点(-1,-4)
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