2016 届福建省闽清高级中学高二学年第一学期期中考试
数学（文科）试卷
教师版内容
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．已知 z 为复数，（1﹣i）2z=（1+i）3（i 为虚数单位），则 =( )
A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i
B
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：函数思想；数系的扩充和复数．
分析：设 z=a+bi，利用向量相等，列出方程组，求出 a、b 的值即可．
解答： 解：设 z=a+bi，a、b∈R，
∴（1﹣i）2（a+bi）=（1+i）3，
即﹣2i（a+bi）=2i（1+i），
∴﹣a﹣bi=1+i，
即 ，
解得 a=﹣1，b=﹣1，
∴z=﹣1﹣i，
∴ =﹣1+i．
故选：B．
点评：本题考查了复数的共轭复数以及复数相等的应用问题，也考查了复数的代数运算问题，是基础
题目．
2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 f（x），如果 f′（x0）=0，那么 x=x0 是函数 f（x）的极值
点，因为函数 f（x）=x3 在 x=0 处的导数值 f′（x0）=0，所以，x=0 是函数 f（x）=x3 的极值点．以上推理
中( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
考点：演绎推理的基本方法．
专题：计算题；推理和证明．
分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，
也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数 f（x），如果 f'（x0）=0，那么 x=x0
是函数 f（x）的极值点”，不难得到结论．
解答： 解：大前提是：“对于可导函数 f（x），如果 f'（x0）=0，那么 x=x0 是函数 f（x）的极值点”，不
是真命题，
因为对于可导函数 f（x），如果 f'（x0）=0，且满足当 x＞x0 时和当 x＜x0 时的导函数值异号时，那么 x=x0
是函数 f（x）的极值点，
∴大前提错误，
故选 A．
点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之
间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提
可能导致错误的结论．
3．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的 S 为( )
A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值 B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值
C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值 D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．
解答： 解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），
故选：C．
点评：本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，
本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题．
4．已知条件 p：x≤1，条件 q： ，则￢p 是 q 的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点：充要条件．
专题：计算题．
分析：由题意条件 p：x≤1，写出其﹣p 中 x 的范围，将条件 q： ，由分式不等式的解法解出 x 的范围，
然后判断﹣p 是 q 之间能否互推，从而进行判断；
解答 ： 解：∵条件 p：x≤1，
∴￢p：x＞1；
∵条件 q： ，
∴ ＜0，
解得 x＞1 或 x＜0，
∵x＞1
⇒
x＞1 或 x＜0，反之则不能；
∴﹣p
⇒
q，q 推不出﹣p，
∴﹣p 是 q 的充分而不必要条件，
故选 A．
点评：此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就
是求出﹣p 和 q，各自 x 的范围．
5．用反证法证明命题：“若 a，b
∈
N，ab 能被 3 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 3 整除”时，假设应为( )
A．a，b 都能被 3 整除B．a，b 都不能被 3 整除
C．a，b 不都能被 3 整除D．a 不能被 3 整除
考点：反证法与放缩法．
专题：综合题．
分析：“a，b 中至少有一个能被 3 整除”的反面是：“a，b 都不能被 3 整除”，故应假设 a，b 都不能被 3 整
除．
解答： 解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b 中至少有一个能被 3 整除”的反面是：
“a，b 都不能被 3 整除”，故应假设 a，b 都不能被 3 整除，
故选 B．
点评：本题考查用反证法证明命题，应假设命题的反面成立．
6．已知 a＜b＜|a|，则( )
A． ＞ B．ab＜1 C． ＞1 D．a2＞b2
考点：不等关系与不等式．
分析：利用赋值法，排除错误选项，从而确定正确答案．
解答： 解：∵a＜b＜|a|，∴a＜0，b 的正负不确定；
若 b=0，可排除 A，C；
若 b=﹣1，a=﹣2，则 ab=2＞1，故 C 错误；
无论 b＞0 还是 b＜0，b=0，D 均成立．
故选 D．
点评：利用赋值法排除错误选项，可以有效地简化解题过程．
7．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体得体积是
( )cm2．
A． B． C．2 D．4
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入锥体
体积公式，可得答案．
解答： 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
其底面面积 S=2×2=4，
高 h=2，
故几何体的体积 V= Sh= ，
故选：B．
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
8．具有线性相关关系得变量 x，y，满足一组数据如表所示，若 y 与 x 的回归直线方程为 =3x﹣ ，则 m
的值( )
x 0 1 2 3
y ﹣1 1 m 8
A．4 B． C．5 D．6
考点：线性回归方程．
专题：概率与统计．
分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方
程 =3x﹣ ，代入样本中心点求出该数据的值．
解答： 解：由表中数据得： = ， = ，
由于由最小二乘法求得回归方程 =3x﹣ ，
将 = ， = 代入回归直线方程，得 m=4．
故选：A
点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
9．在区间[﹣3，3
]
上任取一个数 a，则圆 C1：x2+y2+4x﹣5=0 与圆 C2：（x﹣a）2+y2=1 有公共点的概率为( )
A． B． C． D．
考点：几何概型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：利用圆 C1：x2+y2+4x﹣5=0 与圆 C2：（x﹣a）2+y2=1 有公共点，可得 0≤a≤2 或﹣6≤a≤﹣4，结合在区
间[﹣3，3
]
上任取一个数 a，即可求出概率．
解答： 解：圆 C1：x2+y2+4x﹣5=0 可化为（x+2）2+y2=9，圆心为（﹣2，0），半径为 3，圆 C2：（x﹣a）
2+y2=1，圆心为（a，0），半径为 1，
∵圆 C1：x2+y2+4x﹣5=0 与圆 C2：（x﹣a）2+y2=1 有公共点，
∴2≤|a+2|≤4，
∴0≤a≤2 或﹣6≤a≤﹣4，
∵在区间[﹣3，3
]
上任取一个数 a，
∴0≤a≤2，
∴所求概率为 = ．
故选：B．
点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及圆与圆有公共点的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考
查了计算能力，属于基础题．
10．使不等式 成立的正整数 a 的最大值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
考点：不等式比较大小．
专题：不等式的解法及应用．
分析：本题利用两边平方法比较大小，然后找到最大值．
解答： 解：∵
∴
∴a＜ =12+2（ ）＜13
故不等式 成立的正整数 a 的最大值是 12．
故选：C
点评：本题主要考查了比较大小的常用方法，两边平方法，属于基础题．
11．设△ABC 的三边长分别为 a、b、c，△ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则 ，类比这个结
论可知：四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球半径为 r，四面体 S﹣ABC 的体
积为 V，则 r=( )
A． B．
C． D．
考点：类比推理．
专题：探究型．
分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内
切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
解答： 解：设四面体的内切球的球心为 O，
则球心 O 到四个面的距离都是 R，
所以四面体的体积等于以 O 为顶点，
分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R=
故选 C．
点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对
象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物
的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
12．函数 f（x）的导函数为 f′（x）且 2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）对 x
∈
（0，+∞）恒成立，若 0＜a＜b，
则( )
A．b2f（a）＜a2f（b），b3f（a）＞a3f（b） B．b2f（a）＞a2f（b），b3f（a）＜a3f（b）
C．b2f（a）＞a2f（b），b3f（a）＞a3f（b） D．b2f（a）＜a2f（b），b3f（a）＜a3f（b）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：令 g（x）= ，通过求导得函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增，求出 g（a）＜g（b），令 h
（x）= ，通过求导得函数 h（x）在（0，+∞）单调递减，求出 h（a）＞h（b），从而得到答案．
解答： 解：令 g（x）= ，则 g′（x）= ，
∵2f（x）＜xf′（x），∴g′（x）＞0，
∴函数 g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（a）＜g（b），即 ，
∴b2f（a）＜a2f（b）；
令 h（x）= ，则 h′（x）= ，
∵xf′（x）＜3f（x），∴h′（x）＜0，
∴函数 h（x）在（0，+∞）单调递减，
∴h（a）＞h（b），即： ，
∴b3f（a）＞a3f（b），
故选：A．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．解答的关键是先得到导
数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性．本题的难点在于构造出合适的函数，题后应总结一下，
为什么这样构造合理．
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．定义运算 x
⊗
y ，若|m﹣1|
⊗
m=|m﹣1|，则 m 的取值范围是
m≥ ．
考点：绝对值不等式．
专题：计算题；新定义．
分析：由题意知，|m﹣1|
⊗
m 的结果是取|m﹣1|和 m 中的较小者，故得到|m﹣1|和 m 的不等关系，最后解
此绝对值不等式即得 m 的取值范围．
解答： 解：由题意得：
|m﹣1|≤m，①
∴m≥0，
①式平方得：m2﹣2m+1≥m2，
即：m≥ ．
故答案为：m≥ ．
点评：本小题主要考查绝对值不等式、函数的概念、绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、
化归与转化思想．属于基础题．
14．正偶数列有一个有趣的现象：（1）2+4=6；（2）8+10+12=14+16；（3）18+20+22+24=26+28+30，按照
这样的规律，则 72 在第 6 个等式中．
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为 2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，即可得出结论．
解答： 解：①2+4=6；
②8+10+12=14+16；
③18+20+22+24=26+28+30，…
其规律为：各等式首项分别为 2×1，2（1+3），2（1+3+5），…，
所以第 n 个等式的首项为 2[1+3+…+（2n﹣1）
]
=2× =2n2，
当 n=6 时，等式的首项为 2×36=72，
所以 72 在第 6 个等式中，
故答案为：6．
点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基
础题．
15．已知 a，b 都是正实数，函数 y=2aex+b 的图象过点（0，1），则 的最小值是 ．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：把点（0，1）代入函数关系式即可得出 a，b 的关系，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：∵函数 y=2aex+b 的图象过点（0，1），∴1=2a+b，
∵a＞0，b＞0．
∴ = =3+ = ，当且仅当 ，b= 时取等
号．
故答案为 ．
点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．
16．已知{an}满足 a1=1，an+an+1=（ ）n（n
∈
N*），Sn=a1+a2•3+a3•32+…+an•3n﹣1，类比课本中推导等比数列
前 n 项和公式的方法，可求得 4Sn﹣3nan=n．
考点：类比推理．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：先对 Sn=a1+a2•3+a3•32+…+an•4n﹣1 两边同乘以 3，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出 4Sn﹣
3nan 的表达式．
解答： 解：由 Sn=a1+a2•3+a3•32+…+an•3n﹣1 ①
得 3•Sn=3•a1+a2•32+a3•33+…+an﹣1•3n﹣1+an•3n ②
①+②得：4Sn=a1+3（a1+a2）+32•（a 2+a3）+…+3n﹣1•（an﹣1+an）+an•3n
=a1+3× +32•（ ）2+…+3n﹣1•（ ）n﹣1+3n•an
=1+1+1+…+1+3n•an
=n+3n•an．
所以 4Sn﹣3n•an=n，
（2）若△AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程．
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）利用椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的离心率 e= ，且经过点 A（1，0），求出 a，b，即可求
椭圆 C 的标准方程；
（2）设直线 l 的方程为 x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据△AMN 是以 A 为直角顶点的等腰
直角三角形，求出 m，n，即可求直线 l 的方程．
解答： 解：（1）由题意，b=1，
∵ =1﹣e2= ，
∴a=2，
∴椭圆 C 的方程为 =1；
（2）设 l：x=my+n，代入椭圆方程可得（4m2+1）y2+8mny+4n2﹣4=0，
△=16（4m2﹣n2+1）
设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 y1+y2=﹣ ，y1y2= ，
∵AM⊥AN，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，
∴（m2+1）y1y2+m（n﹣1）（y1+y2）+（n﹣1）2=0，
∴（m2+1）• +m（n﹣1）（﹣ ）+（n﹣1）2=0
∴n=﹣ 或 1（舍去）．
MN 的中点（ ， ）
∵AM=AN，
∴ =﹣m，
∵n=﹣ ，
∴m=0 或 m2= ，
此时△＞0，
从而直线 l 的方程为 x=﹣ 或 x=± y﹣ ．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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