大连二十中2015-2016年高二数学（文）上学期期末试卷及答案

2015-2016 学年度上学期期末考试 高二数学（文科）试卷 考试时间：120 分钟 试题分数：150 分 命题人：李飞 卷Ⅰ 一、选择题：本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 对于常数 m 、 n ，“ 0mn  ”是“方程 2 2 1mx ny  的曲线是双曲线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定．．是 A．所有不能被 2 整除的数都是偶数 B．所有能被 2 整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D．存在一个能被 2 整除的数不是偶数 3. 已知椭圆 11625 22  yx 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7 ，则 P 到另一焦点距离为 A． 2 B．3 C．5 D． 7 4 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是 “乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降 落在指定范围”可表示为 A．    p q   B．  p q  C．    p q   D． p q 5. 若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的离心率为 3 ，则其渐近线的斜率为 A． 2 B. 1 2  C. 2 D. 2 2  6. 曲线 sin 1 sin cos 2 xy x x   在点 ( ,0)4M  处的切线的斜率为 A. 2 2 B. 2 2  C. 1 2 D. 1 2  7．已知椭圆 )0(1 22 2 2 2 2  ba b y a x 的焦点与双曲线 12 2 2 2  b x a y 的焦点恰好是一个正方形 的四个顶点，则抛物线 2bxay  的焦点坐标为 A. )0,4 3( B. )0,12 3( C. )12 3,0( D. )4 3,0( 8．设 1 2,z z 是复数, 则下列命题中的假命题是 A．若 1 2| | ||z z , 则 21 2 2z z B．若 1 2z z , 则 1 2z z C．若 |||| 21 zz  , 则 21 1 2· ·z zz z D．若 1 2| | 0zz   , 则 1 2z z 9. 已知命题“若函数 ( ) xf x e mx  在 (0, ) 上是增函数，则 1m  ”，则下列结论正确的 是 A．否命题“若函数 ( ) xf x e mx  在 (0, ) 上是减函数，则 1m  ”是真命题 B．逆否命题“若 1m  ，则函数 ( ) xf x e mx  在 (0, ) 上不是增函数”是真命题 C．逆否命题“若 1m  ，则函数 ( ) xf x e mx  在 (0, ) 上是减函数”是真命题 D．逆否命题“若 1m  ，则函数 ( ) xf x e mx  在 (0, ) 上是增函数”是假命题 10. 马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11. 设 0a ， cbxaxxf  2)( ，曲线 )(xfy  在点 P （ )(, 00 xfx ）处切线的倾斜角的 取值范围是 ]4,0[  ，则 P 到曲线 )(xfy  对称轴距离的取值范围为 A. ]1,0[ a B. ]2 1,0[ a b  C. ]2,0[ a b D. ]2 1,0[ a 12. 已知函数 3 2( )f x x ax bx c    有两个极值点 1 2,x x ，若 1 1 2( )f x x x  ，则关于 x 的 方程 23( ( )) 2 ( ) 0f x af x b   的不同实根个数为 A.2 B.3 C. 4 D. 5 卷Ⅱ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 设复数 3 2 iz  ，那么 z z 等于________． 14. 函数 3 2( ) 3 2f x x x   在区间 [ 1,1]x  上的最大值是________． 15. 已知函数 2( ) ln '(1) 5 4f x x f x x    ，则 (1)f ＝________． 16. 过抛物线 2 2 ( 0)x py p  的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线，与抛物线分别交于 A 、B 两 点（ A 在 y 轴左侧），则 AF FB  ． 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知 z 是复数， 2z i 和 2 z i 均为实数(i 为虚数单位). （Ⅰ）求复数 z ； （Ⅱ）求 1 z i 的模． 18.(本小题满分 12 分) 已知集合  | ( 1)( 2) 0A x ax ax    ，集合  | 2 4 .B x x    若 x B 是 x A 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 19．(本小题满分 12 分) 设椭圆的方程为 2 2 2 2 1( 0),x y a ba b     点O 为坐标原点，点 A ，B 分别为椭圆的右顶点和上 顶点,点 M 在线段 AB 上且满足| | 2 | |BM MA ，直线OM 的斜率为 5 10 . （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设点C 为椭圆的下顶点, N 为线段 AC 的中点，证明： MN AB . 20. (本小题满分 12 分) 设函数 3 23( ) ( 1) 13 2 af x x x a x     （其中常数 a R ）. （Ⅰ）已知函数 ( )f x 在 1x  处取得极值，求 a 的值； （Ⅱ）已知不等式 2'( ) 1f x x x a    对任意 (0, )a  都成立，求实数 x 的取值范围． 21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ，且椭圆上点到椭圆 1C 左焦点距离的最 小值为 2 1 . （Ⅰ）求 1C 的方程； （Ⅱ）设直线l 同时与椭圆 1C 和抛物线 2 2 : 4C y x 相切，求直线 l 的方程. 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 2( ) ln ( 1) ( 1)f x x a x x     （其中常数 a R ）. （Ⅰ）讨论函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）当 (0,1)x 时， ( ) 0f x  ，求实数 a 的取值范围. 2015-2016 学年度上学期期末考试高二数学（文科）参考答案 一．选择题 CDBAC CDABB DB 二．填空题 1 2 1 3 2 2 三．解答题 17. 解：（Ⅰ）设 z a bi  ，所以 2 ( 2)z i a b i    为实数，可得 2b   ， 又因为 2 2 2 ( 4) 2 5 a i a a i i     为实数，所以 4a  ，即 4 2z i  .┅┅┅┅┅┅┅5 分 （Ⅱ） 4 2 1 31 1 z i ii i     ，所以模为 10 ┅┅┅┅┅┅┅10 分 18.解：（1） 0a  时， 2 1[ , ]A a a   ，若 x B 是 x A 的充分不必要条件，所以 2 12 ,4a a     ， 10 4a  ，检验 1 4a  符合题意；┅┅┅┅┅┅┅4 分 （2） 0a  时， A R ，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅8 分 （3） 0a  时， 1 2[ , ]A a a   ，若 x B 是 x A 的充分不必要条件，所以 1 22 ,4a a     ， 1 02 a   ，检验 1 2a   不符合题意. 综上 1 1( , ]2 4a  .┅┅┅┅┅┅┅12 分 19.解（Ⅰ）已知 A )0,(a ，B ),0( b ，由| | 2 | |BM MA ，可得 )3,3 2( baM ，┅┅┅┅┅┅┅3 分 所以 5 5 a b ，所以椭圆离心率 5 52 a c ；┅┅┅┅┅┅┅6 分 （Ⅱ）因为C ),0( b ，所以 N )2,2( ba  ， MN 斜率为 a b5 ，┅┅┅┅┅┅┅9 分 又 AB 斜率为 a b ，所以 a b5 （ a b ） 1 ，所以 MN AB .┅┅┅┅┅┅┅12 分 20.解：（Ⅰ） 13)(' 2  axaxxf ，因为 ( )f x 在 1x  处取得极值，所以 013)1('  aaf ，解得 1a ，┅┅┅┅┅┅┅3 分 此时 )2)(1(23)(' 2  xxxxxf ， 1x 时， 0)(' xf ， ( )f x 为增函数； 21  x 时， 0)(' xf ， ( )f x 为减函数； 所以 ( )f x 在 1x  处取得极大值，所以 1a 符合题意；┅┅┅┅┅┅┅6 分 （Ⅱ） 113)(' 22  axxaxaxxf ，所以 2 2 2 2   x xxa 对任意 (0, )a  都成 立，所以 022  xx ，所以 02  x .┅┅┅┅┅┅┅12 分 21. 解 ：（ Ⅰ ） 设 左 右 焦 点 分 别 为 )0,(),0,( 21 cFcF  ， 椭 圆 上 点 P 满 足 ,2||||2,2|||| 2121 cPFPFcaPFPF  所 以 ,|| 1 caPFca  P 在 左 顶 点 时 || 1PF 取到最小值 12  ca ，又 2 1 a c ，解得 1,1,2  bca ，所以 1C 的方程为 12 2 2  yx .( 或 者 利 用 设 ),( yxP 解 出 xa caPF || 1 得 出 || 1PF 取 到 最 小 值 12  ca ， 对 于 直 接 说 明 P 在 左 顶 点 时 || 1PF 取 到 最 小 值 的 ， 酌 情 扣 分 ) ； ┅┅┅┅┅┅┅4 分 （Ⅱ）由题显然直线l 存在斜率，所以设其方程为 mkxy  ，┅┅┅┅┅┅┅5 分 联立其与 12 2 2  yx ，得到 0224)21( 222  mkm ， 0 ，化简得 012 22  km ┅┅┅┅┅┅┅8 分 联立其与 2 2 : 4C y x ，得到 04 2  myyk ， 0 ，化简得 01 km ，┅┅┅┅┅┅┅10 分 解得 2,2 2  mk 或 2,2 2  mk 所以直线l 的方程为 22 2  xy 或 22 2  xy ┅┅┅┅┅┅┅12 分 22．（Ⅰ） 21 2 (2 1) 1'( ) 2 ( 1) 1 ax a xf x a xx x         ， 设 2( ) 2 (2 1) 1( 0)g x ax a x x      ，该函数恒过 (1,0) 点. 当 0a  时， ( )f x 在 (0,1) 增， (1, ) 减；┅┅┅┅┅┅┅2 分 当 1 2a   时， ( )f x 在 1(0, ),(1, )2a   增， 1( ,1)2a  减；┅┅┅┅┅┅┅4 分 当 10 2a   时， ( )f x 在 1(0,1),( , )2a   增， 1(1, )2a  减；┅┅┅┅┅┅┅6 分 当 1 2a   时， ( )f x 在 (0,1),(1, ) 增. ┅┅┅┅┅┅┅8 分 （Ⅱ）原函数恒过 (1,0) 点，由（Ⅰ）可得 1 2a   时符合题意. ┅┅┅┅┅┅┅10 分 当 1 2a   时， ( )f x 在 1(0, ),(1, )2a   增， 1( ,1)2a  减，所以 1( ) 02f a   ，不符合题意. ┅┅┅┅┅┅┅12 分