大连二十中2015-2016年高二数学（理）上学期期末试卷及答案

2015-2016 学年度上学期期末考试 高二数学（理科）试卷 考试时间：120 分钟 试题分数：150 分 命题人：李飞 卷Ⅰ 一、选择题：本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 对于常数 m 、 n ，“ 0mn  ”是“方程 2 2 1mx ny  的曲线是双曲线”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定．．是 A．所有不能被 2 整除的数都是偶数 B．所有能被 2 整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D．存在一个能被 2 整除的数不是偶数 3. 已知椭圆 11625 22  yx 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 7 ，则 P 到另一焦点距离为 A． 2 B．3 C．5 D． 7 4 . 在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是 “乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降 落在指定范围”可表示为 A．    p q   B．  p q  C．    p q   D． p q 5. 若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的离心率为 3 ，则其渐近线的斜率为 A． 2 B. 1 2  C. 2 D. 2 2  6. 曲线 sin 1 sin cos 2 xy x x   在点 ( ,0)4M  处的切线的斜率为 A. 2 2 B. 2 2  C. 1 2 D. 1 2  7． 已知椭圆 )0(1 22 2 2 2 2  ba b y a x 的焦点与双曲线 12 2 2 2  b x a y 的焦点恰好是一个正方 形的四个顶点，则抛物线 2bxay  的焦点坐标为 A. )0,4 3( B. )0,12 3( C. )12 3,0( D. )4 3,0( 8．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖 法屋顶面积分别为 1 2 3, ,P P P ， ① ② ③ 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则 A. 1 2 3P P P  B. 1 2 3P P P  C. 1 2 3P P P  D. 1 2 3P P P  9. 马云常说“便宜没好货”,他这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的 A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10. 设 0a ， cbxaxxf  2)( ，曲线 )(xfy  在点 P （ )(, 00 xfx ）处切线的倾斜角的 取值范围是 ]4,0[  ，则 P 到曲线 )(xfy  对称轴距离的取值范围为 A. ]1,0[ a B. ]2 1,0[ a C. ]2,0[ a b D. ]2 1,0[ a b  11. 已知点 O 在二面角 AB   的棱上，点 P 在 内，且 60POB   .若对于  内异于 O 的任意一点Q ，都有 60POQ   ，则二面角 AB   的大小是 A. 30 B. 45 C. 60 D.90 12. 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的两个焦点为 1F 、 2F ，点 A 在双曲线第一象限的图 象上，若△ 21FAF 的面积为1，且 2 1tan 21  FAF ， 2tan 12  FAF ，则双曲线方程为 A． 1312 5 22  yx B． 135 12 2 2  yx C． 15 123 2 2  yx D． 112 5 3 22  yx 卷Ⅱ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M 是 1DD 的中点，O 为底面正方形 ABCD 的中心， P 为 棱 1 1A B 上任意一点，则直线 OP 与直线 AM 所成的角为 ． 14. 函数 2( ) ln '(1) 5 4f x x f x x    ，则 (1)f ＝________． 15. 已 知 ba , 是 夹 角 为 60 的 两 单 位 向 量 ， 向 量 bcac   , ， 且 | | 1c  , cbaycbax   3,2 ，则  yx ,cos = . 16. 过抛物线 2 2 ( 0)x py p  的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线，与抛物线分别交于 A 、B 两 点（ A 在 y 轴左侧），则 AF FB  ． 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 过点 (1, 1) 作函数 3( )f x x x  的切线，求切线方程. 18.(本小题满分 12 分) 已知集合  | ( 1)( 2) 0A x ax ax    ，集合  | 2 4 .B x x    若 x B 是 x A 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 19．(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面为直角梯形, / /AD BC , 90BAD   , PA ⊥底面 ABCD ，且 2PA AD AB BC   , ,M N 分别为 ,PC PB 的中点. （Ⅰ）求证： PB DM ； （Ⅱ）求 CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦值． 20. (本小题满分 12 分) 已知 三棱 柱 ''' CBAABC  如图 所示 ，四边 形 ''BBCC 为菱形， oBCC 60' ， ABC 为等边 三角形，面 ABC 面 ''BBCC ， FE、 分别为棱 'CCAB、 的中点. （Ⅰ）求证： //EF 面 ''BCA ； （Ⅱ）求二面角 BAAC  ' 的大小． 21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ，且椭圆上点到左焦点距离的最小值为 2 1 . （Ⅰ）求 1C 的方程； （Ⅱ）设直线l 同时与椭圆 1C 和抛物线 2 2 : 4C y x 相切，求直线 l 的方程. 22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     过点 ( 2,1) ，直线 ( 1y k x  ）( 0)k  与椭圆 C 交于不 同的两点 M N、 , MN 中点为 P ，O 为坐标原点，直线 OP 斜率为 1 2k  . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）椭圆C 的右顶点为 A ，当 AMN 得面积为 10 3 时，求 k 的值. x y z 2015-2016 学年度上学期期末考试高二数学（理科）参考答案 一．选择题 CDBAC CDABB DB 二．填空题 2  1 5 2 16  3 2 2 三．解答题 17.解：设切点为 3( , )m m m ，则切线方程为 3 2(3 1)( )y m m m x m     ，┅┅┅┅┅┅2 分 将点 (1, 1) 带入，解得 0m  或 3 2 ， ┅┅┅┅┅┅┅ 8 分 所以切线方程为 y x  或 23 4 27 0x y   ┅┅┅┅┅┅┅10 分 18.解：（1） 0a  时， 2 1[ , ]A a a   ，若 x B 是 x A 的充分不必要条件，所以 2 12 ,4a a     ， 10 4a  ，检验 1 4a  符合题意；┅┅┅┅┅┅┅4 分 （2） 0a  时， A R ，符合题意；┅┅┅┅┅┅┅8 分 （3） 0a  时， 1 2[ , ]A a a   ，若 x B 是 x A 的充分不必要条件，所以 1 22 ,4a a     ， 1 02 a   ，检验 1 2a   不符合题意. 综上 1 1( , ]2 4a  .┅┅┅┅┅┅┅12 分 19. 解如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A xyz ，设 1BC  ， 则 1(0,0,0), (0,0,2), (2,0,0), (2,1,0), (1, ,1), (0,2,0)2A P B C M D . （I） 因为 3(2,0, 2) (1, ,1)2PB DM      0 ，所以 .PB DM （II） 因为 (2,0, 2) (0,2,0)PB AD     0 ，所以 PB AD ， 又因为 PB DM ，所以 PB  平面 .ADMN 因此 ,PB DC   的余角即是CD 与平面 ADMN 所成的角. 因为 cos , | | | | PB DCPB DC PB DC         10 5  ， z x y O F E A' C' B B' C A 所以CD 与平面 ADMN 所成的角的正弦为 5 10 20. （Ⅰ）证明（方法一）取 BA' 中点 D ，连接 DCED, ，因为 DE, 分别为 BAAB ', 中点， 所以 '//,'2 1 AAEDAAED  ，┅┅┅┅┅┅┅３分 所以 CFEDCFED //, ，所以四边形 EFCD 为平行四边形，所以 CDEF // ，又因为 BCACDBCAEF '' 面，面  ，所以 //EF 面 BCA' ；┅┅┅┅┅┅┅６分 （方法二）取 'AA 中点G ，连接 FGEG, ， 因 为 GE, 分 别 为 ', AAAB 中 点 ， 所 以 BAEG '// 又因为 GF, 分别为 ',' AACC 中点，所以 ''// CAFG ┅┅┅┅┅┅┅３分 且 GGFEGEFGGFEFGEG  ,, 面面 ， '''',''','''' ABACABCABABCACA  面面 所以面 //EFG 面 ''BCA ， 又 EF 面 EFG ，所以 //EF 面 BCA' ┅┅┅┅┅┅６分 （方法三）取 BC 中点O ，连接 ',OCAO ， 由题可得 BCAO  ，又因为面 ABC 面 ''BBCC ， 所以 AO 面 ''BBCC ，又因为菱形 ''BBCC 中 oBCC 60' ，所以 BCOC ' . 可以建立如图所示的空间直角坐标系 ┅┅┅┅┅┅┅7 分 不妨设 2BC ， 可得 )0,0,1(C ， )0,3,0('C )3,0,0(A ， )0,0,1(B ， )3,3,1(' A ， )0,3,2(' B ，所以 )0,2 3,2 1(),2 3,0,2 1( FE  所以 )3,3,0('),0,3,1('),2 3,2 3,1(  BABCEF ，┅┅┅┅┅┅┅9 分 设 面 BCA' 的 一 个 法 向 量 为 ),,( cban  ， 则      033 03 cb ba ， 不 妨 取 3a ， 则 )1,1,3(),,( cba ，所以 0 nEF  ， 又因为 EF 面 BCA' ，所以 //EF 面 BCA' . ┅┅┅┅┅┅┅12 分 （Ⅱ）（方法一） 过 F 点 作 'AA 的 垂 线 FM 交 'AA 于 M ，连接 BFBM , . 因为 '//',' AACCCCBF  ， 所以 'AABF  ，所以 'AA 面 MBF ， 所以 BMF 为二面角 BAAC  ' 的平 面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分 因 为 面 ABC 面 ''BBCC ， 所 以 A 点 在 面 ''BBCC 上 的 射 影 落 在 BC 上 ， 所 以 4 1cos'cos'cos  ACBBCCACC ， 所 以 AC MFACC  4 15'sin ， 不 妨 设 2BC ， 所 以 2 15MF ， 同 理 可 得 2 15BM .┅┅┅┅┅┅┅10 分 所 以 5 3 2 15 34 15 4 15 cos   BMF ， 所 以 二 面 角 BAAC  ' 的 大 小 为 5 3arccos ┅┅┅┅┅┅┅12 分 （方法二）接（Ⅰ）方法三可得 )0,3,1('),3,0,1(  AAAB ，设面 BAA' 的一个法向 E F A' C' B B' C A M 量为 ),,( 1111 zyxn  ，则      03 03 11 11 yx zx ，不妨取 31 x ，则 )1,1,3(),,( 111 zyx . ┅┅┅┅┅┅┅８分 又 )0,3,1('),3,0,1(  AAAC ，设面 CAA' 的一个法向量为 ),,( 2222 zyxn  ，则      03 03 22 22 yx zx ，不妨取 32 x ，则 )1,1,3(),,( 222 zyx .┅┅┅┅┅┅┅１０分 所以 5 3 ||||,cos 21 21 21   nn nnnn   ，因为二面角 BAAC  ' 为锐角，所以二面角 BAAC  ' 的大小为 5 3arccos ┅┅┅┅┅┅┅１2 分 21. 解 ：（ Ⅰ ） 设 左 右 焦 点 分 别 为 )0,(),0,( 21 cFcF  ， 椭 圆 上 点 P 满 足 ,2||||2,2|||| 2121 cPFPFcaPFPF  所 以 ,|| 1 caPFca  P 在 左 顶 点 时 || 1PF 取到最小值 12  ca ，又 2 1 a c ，解得 1,1,2  bca ，所以 1C 的方程为 12 2 2  yx .( 或 者 利 用 设 ),( yxP 解 出 xa caPF || 1 得 出 || 1PF 取 到 最 小 值 12  ca ， 对 于 直 接 说 明 P 在 左 顶 点 时 || 1PF 取 到 最 小 值 的 ， 酌 情 扣 分 ) ； ┅┅┅┅┅┅┅4 分 （Ⅱ）由题显然直线l 存在斜率，所以设其方程为 mkxy  ，┅┅┅┅┅┅┅5 分 联立其与 12 2 2  yx ，得到 0224)21( 222  mkm ， 0 ，化简得 012 22  km ┅┅┅┅┅┅┅8 分 联立其与 2 2 : 4C y x ，得到 04 2  myyk ， 0 ，化简得 01 km ，┅┅┅┅┅┅┅10 分 解得 2,2 2  mk 或 2,2 2  mk 所以直线l 的方程为 22 2  xy 或 22 2  xy ┅┅┅┅┅┅┅12 分 22. 解：（Ⅰ）由题可得直线过点（1,0），在椭圆内，所以与椭圆一定相交，交点设为 ),(),,( 2211 yxNyxM ， 则 21 21 xx yyk   ， OP 斜 率 为 21 21 xx yy   ， 所 以 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1    xx yy ， ┅┅┅┅┅┅┅3 分 又 12 2 1 2 2 1  b y a x ， 12 2 2 2 2 2  b y a x ，所以 02 2 2 2 1 2 2 2 2 1  b yy a xx ，所以 22 2ba  ，又 112 22  ba ，解得 2,4 22  ba ，所以椭圆 C 的方程为 124 22  yx ；┅┅┅┅┅┅┅6 分 （Ⅱ） ( 1y k x  ）与椭圆 C 联立得： 0424)21( 2222  kxkxk ，┅┅┅┅┅┅┅8 分 AMN 面积为 3 10 21 )32(8 2 ||||2 ||||2 1 2 2 2121    k kkyy ， 解得 1k .┅┅┅┅┅┅┅12 分