马营中学2015-2016年高二上学期数学（理）期末试题及答案

1 2015—2016学年度高二级第一学期期末试题（卷） 数学(理科) 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的 学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应位置上。考生务必选择对应的题目作答，否则 不判分。 第 I 卷 一、选择题.（每小题 5 分，共 60 分） 1.设集合 }1,0,1{M ，  2 2 0N x x x   ，则 M∩N= （ ） A． 0,1 B． 0,1,2 C． 1,0,1 D． 1,0 2.已知 3 2 sin  ，则  )2cos(  （ ） A． 3 5  B． 3 5 C． 9 1  D． 9 1 3. 在等差数列 na 中， 3 5 7 10 133( ) 2( ) 24,a a a a a     则此数列前 13 项之和为（ ） .A 126 .B 26 .C 13 .D 12 4.若 )10(02log  aaa 且 ，则函数 )1(log)(  xxf a 的图像大致是（ ） 5．以下有关命题的说法错误的是 （ ） A．命题“若 0232  xx 则 x=1”的逆否命题为“若 023,1 2  xxx 则 ” B．“ 1x ”是“” 0232  xx 的充分不必要条件 C．若 qp  为假命题，则 p、q 均为假命题 2 D．对于命题 01,:,01: 22  xxRxpxxRxp 均有则使得 6. 设变量 x ， y 满足约束条件 2 2 2 2 y x x y x       ，则 2z x y  的最大值为（ ） A.8 B. 6 C. 4 D. 8 5 7．某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 2 1 ，则该几何体的俯视图可 以是 （ ） 8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A．3 B．11 C．38 D．123 9.过双曲线的一个焦点 2F 作垂直于实轴的弦 PQ ， 1F 是另一焦点，若∠ 2 1  QPF ，则双曲 线的离心率e 等于（ ） A． 12  B． 2 C． 12  D． 22  10. 已知点 bayxbap 3302),(  上运动，则在直线 的最小值是（ ） A． 4 22 B. 32 C.6 D.18 11. 设△ ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcosC+ccosB=asinA，则△ ABC 的 形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D． 不确定 12. 设奇函数 )(xf 在（0，+∞）上为增函数，且 0)1( f ，则不等式 0 )()(   x xfxf 解集 为（ ） A．（-1,0）∪（1，+∞） B．（-∞，-1）∪（0,1） C．（-∞，-1）∪（1，+∞） D．（-1,0）∪（0,1） 3 第 II 卷 二.填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.设 F 为抛物线 2: y =3xC 的焦点，过 F 且倾斜角为 °30 的直线交于 C 于 ,A B 两点，则 AB = . 14.函数      sin 2 2sin cosf x x x      的最大值为_________. 15. 设双曲线 2 2 1 9 16 x y   的右顶点为 A，右焦点为 F,过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的 直线与双曲线交于点 B，则△ AFB 的面积为______________. 16.已知 m、n 是不同的直线，α、β 是不重合的平面，给出下列命题： ①若 m∥α，则 m 平行于 α 内的无数条直线； ②若 α∥β，m⊂ α，n⊂ β，则 m∥n； ③若 m⊥α，n⊥β，m∥n，则 α∥β； ④若 α∥β，m⊂ α，则 m∥β； ⑤若 α⊥β，α∩β=m，n 经过 α 内的一点，n⊥m，则 n⊥β． 其中正确的命题编号是_______________. 三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤，本大题共 6 小题，共 70 分） 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 )32(log)( 2 4 xxxf  . （1）求函数 )(xf 的定义域及单调区间； （2 求函数 )(xf 的最大值及取得最大值的 x 值. 18. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b 、c， 3 C   ， 5b  ，△ ABC 的面积为10 3 。 （1）求a、c的值； （2）求sin( ) 6 A   的值 4 19.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD⊥底面 ABCD，若 F，E 分别为 PC,BD 的中点， 求证：（l）EF∥平面 PAD； （2）平面 PDC⊥平面 PAD 20.(本小题满分 12 分) 为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的 7 次数学测试成绩（满分 100 分）进行统 计，作出如下的茎叶图，其中 yx, 处的数字模糊不清. 已知甲同学成绩的中位数是 83，乙同学 成绩的平均分是 86 分. （1）求 x 和 y 的值； （2）现从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份， 求这两份试卷来自甲,乙两人的概率。 21. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为  3,0 ，离心率 3 2 e  （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设过椭圆左顶点 A的直线 l 交椭圆于另一点 B ，且 AB 中点横坐标为 8 5  ，求 l 的方程。 22.(本小题满分 12 分) 已知数列 na 中， 1 1a  ， 1 2 3n na a   ，数列 nb 中， 1 1b  ，且点  1,n nb b 在直线 1y x  上.(1) 求数列 na 的通项公式； （2）求数列 nb 的通项公式； （3）若 3n nc a  ，求数列 n nb c 的前n项和 nS . P A B C D F E 5 2015-2016 学年第一学期期末考试试题 高二数学(理科答案) 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B C D C B C C B D 二、填空题 13． 56 14． 1 15． 5 32 , 16.①③④ 三、解答题 17．解：（1） 032 2  xx 31  x ∴函数 f（x）的定义域为  3,1 ． （2）令 232 xxt  ，则函数 t 在（1，+∞）上单调递减，在（﹣∞，1）上单调递增． ∵y=log4t 在（0，+∞）单调递增． ∴函数 f（x）在（-1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减． 函数的单调增区间（-1，1），单调减区间是（1，3）． （3）将原函数分解为 y=log4u，u=2x+3﹣x 2 两个函数． 因为 u=2x+3﹣x 2 =﹣（x﹣1） 2 +4≤4， 所以 y=log4（2x+3﹣x 2 ）≤log44=1． 所以当 x=1 时，u 取得最大值 4， 又 y=log4u 为单调增函数，所以 y 的最大值为 y=log44=1，此时 x=1． 18. 1 sin 10 3 2 ABCS ab C  Q解：（ ） 5 sin 20 3, 8 3 a a      得 2 2 2 2 22 cos , 2 cosc a b ab C c a b ab C      2 2 1 8 5 2 5 8 7 2        3 8 sin 4 32, sin sin sin 7 7 a c a C A A C c       Q（ ） 6 2 2 2 2 2 25 7 8 1 cos 2 2 5 7 7 b c a A bc          4 3 3 1 1 13 sin( ) sin cos cos sin 6 6 6 7 2 7 2 14 A A A            19①.略 ② PADCD 平面 20.解：(1)∵甲同学成绩的中位数是 83， ∴ , ∵乙同学的平均分是 86分， ∴ ,∴ . (2)甲同学成绩在  100,90 之间的试卷有两份，分别记为 21, aa 乙同学成绩在  100,90 之间的试卷有三份，分别记为 321 ,, bbb “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：        31211121 ,,,,,,, bababaaa ，      322212 ,,,,, bababa      323121 ,,,,, bbbbbb 共有 10种情况，概率为 5 3 21.（1） 3c Q ， 3 2 e  3 3 2a    2a  -  2 2 2 1b a c   椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y  - （2） 2a Q ， ( 2,0)A  （方法一） 设 l 的方程为 ( 2)y k x  7 代入 2 2 1 4 x y  化简得 2 2 2 2(4 1) 16 16 4 0k x k x k     （3） 设另一交点 2 2( , )B x y ，则 2 2 2 16 2 4 1 k x k      又 22 8 2 5 x   Q 2 2 16 16 4 1 5 k k    ，  2 1k  ， 1k   当 1k   时，代人（3）得 216 4 5 12 16 0     V  l 的方程为 2y x  或 2y x  。 - （方法二） 设与椭圆的另一交点坐标为 2 2( , )B x y 则 22 8 2 5 x    ， 2 6 5 x   将 2 6 ( , ) 5 y 代人椭圆方程 2 2 2 6 ( ) 5 1 4 y    解得 2 4 5 y    6 4 ( , ) 5 5 B  或 6 4 ( , ) 5 5 B    l 的方程为 2y x  或 2y x  。 22.解：(1)由 1 2 3n na a   得  1 3 2 3n na a    所以 3na  是首项为 1 3 4a   ，公比为 2的等比数列. 所以 1 13 4 2 2n n na      ，故 12 3n na   （2）因为  1,n nb b 在直线 1y x  上， 8 所以 1 1n nb b   即 1 1n nb b   又 1 1b  故数列 nb 是首项为 1，公差为 1的等差数列， 所以 nb n （3） 3n nc a  = 12 3 3n   = 12n 故 12n n nb c n   所以 2 3 4 11 2 2 2 3 2 2n nS n        L g 故  3 4 1 22 1 2 2 2 1 2 2n n nS n n        L g g 相减得    2 3 4 1 2 2 2 4 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 1 n n n n n nS n n n                  L g g 所以   21 2 4n nS n   g