2011 学年度第二学期十校联合体高二期末联考
数学试卷（理 科）
(完卷时间：100 分钟， 满分：120 分，本次考试不得使用计算器)
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1. 已知复数 z 满足 2z i i ，i 为虚数单位，则 z=（ ）
A. 1 2i B. 1 2i C.1 2i D.1 2i
2. 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a 有有理根，那么
, ,a b c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A．假设 , ,a b c 都是偶数 B．假设 , ,a b c 都不是偶数
C．假设 , ,a b c 至多有一个偶数 D．假设 , ,a b c 至多有两个偶数
3. 若离散型随机变量 X 的分布列如下：
X 0 1
P b 0.4
则 X 的方差 DX ( )
A．0.6 B．0.4 C．0.24 D．1
4. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶
数点的概率为 （ ）
A．1 B． 1
2
C． 1
3
D． 1
4
5. 下面使用类比推理恰当的．．．是 （ ）
A.“若 3 3a b ，则 a b ”类推出“若 0 0a b ，则 a b ”
B.“若 ( )a b c ac bc ”类推出“若 ( )a b c ac bc ”
C.“若 ( )a b c ac bc ”类推出“若 ( ) / / / ( 0)a b c a c b c c ”
D.“若 ( )n n nab a b ”类推出“若 ( )n n na b a b ”
6. 设 7 2 7
0 1 2 7(1 )x a a x a x a x L ，则 0 1 2 7, , , ,a a a aL 中最大的数是（ ）
A． 3a B． 4a C． 5a D． 3a 和 4a
7. 已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1000时,P(k)成立,且当n=1000+1时它也成
立,下列判断中,正确的是( )
A.P(k)对k=2012成立 B.P(k)对每一个自然数k成立
C.P(k)对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立
8. 函数 ( )y f x 的图象过原点且它的导函数 '( )y f x 的图象是如图
所示的一条直线，则 ( )y f x 图象不经过．．． （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9. 给出下列不等式：
① 0a b ，且
2
2 14
ba ，则 2 2ab a b ； ② ,a b R 且 0ab ，则
2 2
2a b
ab
；
③ 0a b ，m>0，则 a m a
b m b
； ④ 4 4( 0)x xx
．
其中正确不等式的序号为( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
10. 用红黄蓝三种颜色给如图所示的六连圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两 个
圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有( )
A. 18 个 B. 24 个 C. 30 个 D. 36 个
二、填空题（每小题 4 分，共 28 分）
11. 用数学归纳法证明1＋ 1
2
＋ 1
3
＋…＋ 1
2 1n
＜n(n＞1, *n N )，在验证n＝2成立
时，左式是____________________.
12. 若复数 3 ( R,1 2
a iz a ii
是虚数单位），且 z 是纯虚数，则| 2 |a i 等于 .
13. 有 5 支竹签，编号分别为 1，2，3，4，5，从中任取 3 支，以 X 表示取出竹签的最大号
码，则 EX 的值为 .
14.已知函数 3 21 1 1( ) ( ) ( 0)3 2f x x a x x aa
，则 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线的斜率
最大时的切线方程是 .
15.若 *n N ，n < 100，且二项式 3
2
1 n
x x
的展开式中存在常数项，则所有满足条件的 n 值
的和是 .
16.已知点列如下： 1 (1,1)P ， 2 (1,2)P ， 3 (2,1)P ， 4 (1,3)P ， 5 (2,2)P ， 6 (3,1)P ， 7 (1,4)P ，
8 (2,3)P ， 9 (3,2)P ， 10 (4,1)P ， 11 (1,5)P ， 12 (2,4)P ，……，则 60P 的坐标为 。
17. 对于连续函数 ( )f x 和 ( )g x ,函数 ( ) ( )f x g x 在闭区间［a,b］上的最大值为 ( )f x 与
( )g x 在闭区间［a,b］上的“绝对差”，记为 ( ( ), ( ))
a x b
f x g x
, 则 3 2
2 3
1 1( , 2 )3 2x
x x x
等于 .
三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
18.（本题满分 12 分）学校组织 4 名同学甲、乙、丙、丁去 3 个工厂 A、B、C 进行社会实践
活动,每个同学只能去一个工厂。
（1）问有多少种不同分配方案？
（2）若每个工厂都有同学去，问有多少种不同分配方案？
（3）若同学甲、乙不能去工厂 A，且每个工厂都有同学去，问有多少种不同分配方案？
【结果全部用数字作答】
19.（本题满分 12 分）已知函数 4 2( ) 2f x x ax a R ．
(1)当 0a 时，求函数 ( )f x 的单调区间；
(2)当 2a x a 时，函数 ( )f x 存在极小值，求 a 的取值范围；
20．（本题满分 13 分）今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的
软件，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量。例如家居用电的碳排放量（千克）=耗电
度数×0.785，汽车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785 等，某班同学利用寒假在两个
小区逐户进行了一次生活习惯是否符 合低碳观念的调查. 若生活习惯符合低碳观念的称为
“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如下：
A 小区 低碳族 非低碳族 B 小区 低碳族 非低碳族
比例 P 1
2
1
2
比例 P 4
5
1
5
（1）如果甲、乙来自 A 小区，丙、丁来自 B 小区，求这 4 人中恰好有两人是低碳族的概率；
（2）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列，如果两周后随
机地从 A 小区中任选 25 个人，记 表示 25 个人中的低碳族人数，求 E .
21．（本题满分 15 分）已知函数 lnf x ax x x 的图象在点 ex （ e 为自然对数的底
数）处的切线斜率为 3．
（1）求实数 a 的值；
（2）若 k Z ，且 ( )kx f x k 对任意 1x 恒成立，求 k 的最大值.
三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
18.解（1） 43 81 …………………………………………………………………3 分
（2） 2 3
4 3 36C A 【式子正确给 3 分满分 4 分】 …………………………………7 分[
（3）分两类：①两个同学去工厂 A 有 2 种情况。…………………………………9 分
②一个同学去工厂 A 有 1 2 2
2 3 2 12C C A ，所以共有14 种情况………………………12 分
19．解：(1)由题设知 3( ) 4 4f x x ax
令 ( ) 0f x ，得 24 ( ) 0x x a ，……………………………………………………2 分
当 0a 时，得 x＝0 时，
x＜0 时， ( ) 0f x ；x＞0 时， ( ) 0f x ，
∴函数 f(x)的单调递减区间是(－∞，0)；单调递增区间是(0，＋∞)．…………5 分
(2)∵ 2a x a ，∴a＞0． .......................6 分
当 a＞0时，令 ( ) 0f x ，得 x＝0 或 x＝ a ，
列表如下：
x (－∞，－ a ) (－ a ，0) (0， a ) ( a ，＋∞)
( )f x － ＋ － ＋
( )f x 递减 递增 递减[ 递增
得 x＝－ a 或 x＝ a 时，f(x)极小＝ f(± a )＝ 2a ……………………………9 分
取 x＝－ a ，由条件得 2a a a ，无解．
取 x＝ a ， 由条件得 2a a a ，解得 1 14 a ．
综合上述： 1 14 a ． ………………………………………………………12 分
21. （1）解：因为 lnf x ax x x ，所以 ln 1f x a x ．
因为函数 lnf x ax x x 的图像在点 ex 处的切线斜率为 3，
所以 e 3f ，即 ln e 1 3a ．所以 1a ．………………………………4 分
（2）解：由（1）知， lnf x x x x ， ( )kx f x k
所以
1
f xk x
对任意 1x 恒成立，即 ln
1
x x xk x
对任意 1x 恒成立．…7 分
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