2012年高二数学下学期期末模拟试题及答案

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是 21 , pp ,那么至 少有 1 人解对的概率是 （ D ） A. 21 pp  B. 21 pp  C. 211 pp  D. )1()1(1 21 pp  2．从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数 的和为偶数的概率是 ( B ) A. 5 1 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 4 3．有 2n 个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数， 则所取的两数之和为偶数的概率是（ C ） A、 1 2 B、 1 2n C、 1 2 1 n n   D、 1 2 1 n n   21 世纪教育网 4 圆 5cos 5 3sin    的圆心坐标是（ B ） A 4( 5, )3   B ( 5, )3  C (5, )3  D 5( 5, )3  5．有 10 名学生，其中 4 名男生，6 名女生，从中任选 2 名学生，恰 好是 2 名男生或 2 名女生的概率是 （ C ） A． 45 2 B． 15 2 C． 15 7 D． 3 1 21 世纪教育网 6．已知 P 箱中有红球 1 个，白球 9 个，Q 箱中有白球 7 个，（P、Q 箱 中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从 P 箱中取出 3 个球放入 Q 箱，将 Q 箱中的球充分搅匀后，再从 Q箱中随意取出 3 个球放入 P 箱， 则红球从 P 箱移到 Q 箱，再从 Q 箱返回 P 箱中的概率等 于 （ B ） A． 5 1 B． 100 9 C． 100 1 D． 5 3 7 一圆锥侧面展开图为半圆，平面 与圆锥的轴成 45 角，则平面 与 该圆锥侧面相交的交线为 A. 圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 椭圆 1. D 圆锥侧面展开图中心角180 360l r    ， 1 2 l r   ，母线与轴的 夹角为 30°，而平面 与圆锥的轴成 45°，45°>30°，所以截 线是椭圆. 8 圆 内 接 三 角 形 ABC 角 平 分 线 CE 延 长 后 交 外 接 圆 于 F ， 若 2,FB  1EF  ，则CE  （ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 A ACF BCF   , ACF ABF   , BCF ABF   又 BFE CFB   ， FBE ∽ FCB ，得 : :FB FC FE FB , : :FB FC FE FB , 4FC  ,从而 3CE  . 9 某人射击命中目标的概率为 0.6,每次射击互不影响,连续射击 3 次, 至 少 有 2 次 命 中 目 标 的 概 率 为 ( ) A. 125 84 B. 125 81 C. 125 36 D. 125 27 答案：B。解析： 125 81)5 3(5 2)5 3( 33 3 22 5  CC 。 10 将三颗骰子各掷一次，设事件 A=“三个点数都不相同”，B= “ 至 少 出 现 一 个 6 点 ” ， 则 概 率 )( BAP 等 于 （ ） A、 91 60 B、 2 1 C、 18 5 D、 216 91 答案：A。 解析： 1 5 1 5 5 1 91 1 5 4 60 ( ) 60( ) , ( ) 3 , ( | )6 6 6 6 6 6 216 6 6 6 216 ( ) 91 P ABP B P AB P A B P B                二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是 8，2，5，3，7， 1，参加抽奖的每位顾 客从 0～9 这 10 个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的 六个号码中至少有 5 个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是 ___ 5 42 ____． 12．某中学的一个研究性学习小组共有 10 名同学，其中男生 x 名（3 ≤x≤9），现从中选出 3 人参加一项调查活动，若至少有一名女生去参加的概率为 f(x),则 f(x)max= _ 119 120 _ 13 如图所示，AC 为⊙O 的直径，BD⊥AC 于 P，PC=2， PA=8， 则 CD 的 长 为 ， cos ∠ ACB= . 答案 2 5 5 5 14.如图所示，圆 O的直径 AB=6，C 为圆周上一点，BC=3. 过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD，AD 分别 与 直线 l、圆交于点 D、E，则∠DAC= ，线段 AE 的长 为 . 答案 30° 3 15 一次单元测试由 50 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中 恰有一个是正确的答案，每题选择正确得 3 分，不选或选错得 0 分，满分 150 分.学生甲选对任一题的概率为 0.8,则该生在这次测 试中成绩的期望值是_________,标准差是_____________. 答案 120 26 三解答题 16 如图所示，过圆 O 外一点 M 作它的一条切线，切点为 A，过 A 点作 直线 AP 垂直于直线 OM，垂足为 P.21 世纪教育网 （1）证明：OM·OP=OA2；21 世纪教育网 （2）N 为线段 AP 上一点，直线 NB 垂直于直线 ON，且交圆 O 于 B 点. 过 B 点的切线交直线 ON 于 K. 证明：∠OKM=90°. 证明 (1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA⊥AM. 又因为 AP⊥OM,在 Rt△OAM中,由射影定理知, OA2=OM·OP. （2）因为 BK 是圆 O 的切线，BN⊥OK， 同（1），有 OB2=ON·OK，又 OB=OA，所以 OP·OM=ON·OK，即 OP ON = OK OM . 又∠NOP=∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90°. 17 已知曲线 1C 的参数方程为        sin10 cos102 y x （ 为参数），曲线 2C 的 极坐标方程为  sin6cos2  ． （1）将曲线 1C 的参数方程化为普通方程，将曲线 2C 的极坐标方程 化为直角坐标方程； （2）曲线 1C ， 2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交， 请说明理由． 解：（1）由        sin10 cos102 y x 得 10)2( 22  yx ∴曲线 1C 的普通方程为 10)2( 22  yx ∵  sin6cos2  ∴  sin6cos22  ∵  sin,cos,222  yxyx ∴ yxyx 6222  ，即 10)3()1( 22  yx ∴曲线 2C 的直角坐标方程为 10)3()1( 22  yx …………………………………（５分） （2）∵圆 1C 的圆心为 )0,2( ，圆 2C 的圆心为 )3,1( ∴ 10223)30()12(C 22 21 C ∴两圆相交 设相交弦长为 d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 21C C ∴ 222 )10()2 23()2( d ∴ 22d ∴公共弦长为 22 ……………………（10 分） 18 为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城 市的某校的高中生中随机地抽取了 300 名学生进行调查，得到如下列 联表：21 世纪教育网 喜欢数学 不喜欢数学 总计 男 37 85 122 女 3521 世纪教育网 143 178 总计 72 228 300 由表中数据计算 2 4.513K  ，判断高中生的性别与是否喜欢数学课程之 间是否有关系，并说明理由. 解：可以有 95%的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程之间 有关系”，作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程 为： 喜 欢数学 不喜欢数学 总计 男 a b a+b 女 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 分别用 a,b,c,d 表示喜欢数学的男生数、不喜欢数学的男生数、喜欢 数学的女生数、不喜欢数学 的女生数。如果性别与是否喜欢数学有关 系，则男生中喜欢数学的比例 a a b 与女生中喜欢数学的比例 c c d 应该 相差很多，即| | | |( )( ) a c ad bc a b c d a b c d      应很大，将上式等号右边的式 子 乘 以 常 数 因 子 ( )( )( ) ( )( ) a b c d a b c d a c b d        ， 然 后 平 方 计 算 得 ： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 .n a b c d    因此， 2K 越大，“性别与 是否喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。 另一方面，假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”，由于事 件 A  “ 2 3.841K  ”的概率为 ( ) 0.05.P A  因此事件 A 是一个小概率事 件。而由样本计算得 2 4.513K  ，这表明小概率事件 A 发生了，由此 我们可以断定“性别与是否喜欢数学之间有关系”成立，并且这种判 断出错的可能性为 5%，约有 95%的把握认为“性别与是否喜欢数学 课程之间有关系”。 19 一个袋中有大小相同的标有 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球，某 人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若 拿出球的标号是 3 的倍数，则得 1 分，否则得 1 分。 （1）求拿 4 次至少得 2 分的概率； （2）求拿 4 次所得分数 的分布列和数学期望。 解（1）设拿出球的号码是 3 的倍数的为事件 A，则 3 1)( AP ， 3 2)( AP ， 拿 4 次至少得 2 分包括 2 分和 4 分两种情况。 81 8)3 2()3 1( 33 41  CP ， 81 1)3 1( 4 2 P ， 9 1 21  PPP （2） 的可能取值为 4,2,0,2,4  ，则 81 16)3 2()4( 4 P ； 81 32)3 2)(3 1()2( 31 4  CP  ； 81 24)3 2()3 1()0( 222 4  CP  ； 81 8)2( P ； 81 1)4( P ； 分布列为 P -4 -2 0 2 4  81 16 81 32 81 24 81 8 81 1 4 3 81 1481 8281 24081 32)2(81 164 E 20 在某社区举办的《2008 奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙 三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答对．这道题的 概率是 3 4 ，甲、丙两人都回答错．．．．的概率是 1 12 ，乙、丙两人都回答．．． 对．的概率是 1 4 ． (Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题的概率． (Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率． 解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对 这道题”分别为事件 A 、B 、C ，则 4 3)( AP ，且有        4 1)()( 12 1)()( CPBP CPAP ， 即        4 1)()( 12 1)](1[)](1[ CPBP CPAP ∴ 3 2)(,8 3)(  CPBP （2）由（1） 4 1)(1)(  APAP , 3 1)(1)(  BPBP . 则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为： 3 3 1 3 5 2 1 3 2 15( ) ( ) ( ) 4 8 3 4 8 3 4 8 3 32P P A B C P A B C P A B C                  