矩阵与变换练习题

矩阵与变换 编写：陈爱兵 审核：黄爱华 1.由曲线 2 22 2 1x y+ = 变换为曲线 2 21 8 12 x y+ = ，变换矩阵为____________； 2. 已 知 矩 阵 31 cos60 sin602 2 , 3 1 sin60 cos60 2 2 A B - - -= = -     ， 则 先 A 后 B 的 变 换 所 对 应 的 矩 阵 是 ______________； 3.若 81 1 1 0 1 0 1 x = ，则 1 2 log x =__________； 4.若点 2 2,2 2A ÷ç ÷ç ÷÷ç 在矩阵 cos sin sin cos -    对应的变换作用下得到的点为 (1,0) ，则 =________； 5.若矩阵 a bA c d= 有两个不等的特征值 ,m n ，则 2 2m n+ =___________； 6. 在 密 码 学 中 ， 常 用 二 阶 矩 阵 对 信 息 进 行 加 密 。 现 在 我 们 先 将 英 文 字 母 数 字 化 1, 2, , 26a b z ，发送方要传递的信息是：come on。双方约定的矩阵是 5 1 7 3 ， 则发送的密码应该是_______________； 7.已知在矩阵 M 的作用下点 (1,2)A 变成了点 (11,5)A¢ ，点 (3, 1)B - 变成了点 (5,1)B¢ ，点 ( ,0)C x 变成了 ( ,2)C y¢ ，求矩阵 M 并求 ,x y 的值。 高二数学选修 4-2 作业纸 10 8.若 cos sin ( R)sin cosx= Î     ，试求 2( ) 2 3f x x x= + - 的最值。 9.已知矩阵 [ ] [ ]( ) , 1 , 2 xA f x B x x C a= = - = ，若 A BC= ，求函数 ( )f x 在[ ]1,2 上最小值。 10.已知矩阵 A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90°。 ⑴求矩阵 A 及 A 的逆矩阵 B； ⑵已知矩阵 3 3 2 4M= ，求 M 的特征值和特征向量； ⑶若 8 1=  在矩阵 B 的作用下变换为  ，求 50M  (运算结果用指数式表示)。 11.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为 A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的面积，这里矩阵 0 1 0 1N=1 0 1 0M ，           。 12.发展与环境问题业已成为世人关注的焦点。为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有 人提出了以下工业增长模型：设 0x 是某地区某年的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染 指数为测量单位)， 0y 是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测算单位)，把这一年 作为起点(称做基年)，记作 0i  。如果以若干年(如 5 年)作为一周期，第 i 个周期内的污 染和工业发展水平记作 ix 和 iy ，那么模型可以写为 1 1 1 1 3 ,2 2 i i i i i i x x y i Ny x y          。现已知基年 0i  时 的水平 1 7      ，试估计第 10 个周期内该地区的污染程度和工业发展水平，并作出评价。