选修1-1数学测试题及答案

选修 1-1 夏占灵、唐宁 命题摘选 一、选择题 2. 2xy  在 1x 处的导数为 ( ) A. x2 B.2 x C. 2 D.1 5 下列求导运算正确的是 ( ) A．(x+ 2 11)1 xx  B．(log2x)= 2ln 1 x C．(3x )=3xlog3e D．(x2cosx)= －2xsinx 6. 3 2( ) 3 2f x ax x   ,若 ' ( 1) 4f   ,则 a 的值等于 ( ) A． 3 19 B． 3 16 C． 3 13 D． 3 10 8.若函数 2( )f x x bx c   的图象的顶点在第四象限，则函数 ' ( )f x 的图象是 10.曲线 3( ) 2f x x x= + - 在 0p 处的切线平行于直线 4 1y x= - ，则 0p 点的坐标为 A．(1,0) B．(2,8) C．(1,0) 和( 1, 4)  D．(2,8) 和( 1, 4)  二、填空题 15.若连续且不恒等于的零的函数 ( )f x 满足 ' 2( ) 3 ( )f x x x x R   ，试写出一个符 合题意的函数 ( ) ______.f x  三、解答题： 21.(12 分)已知函数 3 2( )f x x ax bx c    在 2 3x   与 1x  时都取得极值 (1)求 ,a b 的值与函数 ( )f x 的单调区间 (2)若对 [ 1,2]x  ，不等式 2( )f x c 恒成立，求c 的取值范围. 一．选择题： 2、设 nml ,, 均为直线,其中 nm, 在平面 ”“”“, nlmlla  且是则内  的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3、对于两个命题： ① , 1 sin 1x R x     ， ② 2 2,sin cos 1x R x x    ， 下列判断正确的是（ ）。 A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 C. ① ② 都假 D. ① ② 都真 4、与椭圆 14 2 2  yx 共焦点且过点 (2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 12 2 2  yx B. 14 2 2  yx C. 12 2 2  yx D. 133 22  yx 5、已知 1 2,F F 是椭圆的两个焦点，过 1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与 A , B 两点， 则 2ABF 是正三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 2 2 B 1 2 C 3 3 D 1 3 6、过抛物线 2 8y x 的焦点作倾斜角为 045 直线l ，直线l 与抛物线相交与 A ， B 两点， 则弦 AB 的长是（ ） A 8 B 16 C 32 D 64 7、在同一坐标系中，方程 )0(01 22222  babyaxxbxa 与 的曲线大致是（ ） A． B． C． D． 8、已知椭圆 12 2 2 2  b y a x ( ba  >0) 的两个焦点 F1，F2，点 P 在椭圆上，则 1 2PF F 的面积 最大值一定是（ ） A 2a B ab C 2 2a a b D 2 2b a b 9、已知函数   lnf x x x  ，下列判断正确的是（ ） A．在定义域上为增函数； B. 在定义域上为减函数； C. 在定义域上有最小值，没有最大值； D. 在定义域上有最大值，没有最小值； 10、设二次函数   2f x ax bx c   的导数为  f x ，  0 0f   ，若 x R  ，恒有   0f x  ，则     2 0 f f   的最小值是（ ） A． 0 B. 2 C. 2 D. 4 二．填空题：本大题共 4 小题，每空格 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卷横线上。 11、已知命题 p ： x R ， sinx x ，则 p 形式的命题是__ 2 A 12、.图中是抛物线形拱桥，水面在 A 处时，拱顶离水面 2 米， 水面宽 4 米，当水面下降 1 米后，水面宽是 13、. 已知点 (2,1)M , F 为抛物线 2 2y x 的焦点，点 P 在抛物线上， 且 PM PF 取得最小值，则 P 点的坐标是 14、已知函数 xey  ，过原点作曲线 xey  的切线，则切线的方程是 三．解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。 16．设命题 P ： 2" , 2 "x R x x a    ，命题 Q ： 2" , 2 2 0"x R x ax a      ； 如果“ P 或Q ”为真，“ P 且Q ”为假，求 a 的取值范围。 18（本小题满分 14 分） 设 21, FF 分别为椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的左、右两个焦点. （Ⅰ）若椭圆C 上的点 21,)2 3,1( FFA 到 两点的距离之和等于 4， 求椭圆 C 的方程和焦点坐标； （Ⅱ）设点 P 是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点， 的最大值求 ||),2 1,0( PQQ 。 19（本小题满分 14 分） 已知函数 3( )f x ax cx d   ( 0)a  是 R 上的奇函数，当 1x  时， ( )f x 取得极值 2 。 （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间和极大值； （Ⅱ）证明：对任意 1 2, ( 1,1)x x   ，不等式 1 2( ) ( ) 4f x f x  恒成立。 20（本小题满分 14 分） 如图，设抛物线 C： yx 42  的焦点为 F， ),( 00 yxP 为抛物线上的任一点（其中 0x ≠0）， 过 P 点的切线交 y 轴于 Q 点． （Ⅰ）证明： FQFP  ； （Ⅱ）Q 点关于原点 O 的对称点为 M，过 M 点作平行于 PQ 的直线 交抛物线 C 于 A、B 两点，若 )1(  MBAM ，求  的值． 唐宁答案： 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1-10：DABCC BDDCA B A O F x y Q PM 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 11、 x R ， sinx x ；12、 62 ；13、 1( ,1)2 ；14、 y ex 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分.） 16、解：命题 P ： 2" , 2 "x R x x a    即 2 22 ( 1) 1x x x a     恒成立 1a   …………3 分 命题Q ： 2" , 2 2 0"x R x ax a      即方程 2 2 2 0x ax a    有实数根 ∴ 2(2 ) 4(2 ) 0a a     2a   或 1a  .…………6 分 ∵“ P 或Q ”为真，“ P 且Q ”为假，∴ P 与Q 一真一假 …………8 分 当 P 真Q 假时， 2 1a    ；当 P 假Q 真时， 1a  …………10 ∴ a 的取值范围是 ( 2, 1) [1, )   ………12 18 解：（Ⅰ）椭圆 C 的焦点在 x 轴上， 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2. …….2 分 又点 .1,31 )2 3( 2 1,)2 3,1( 22 2 2 2  cb b A 于是得因此在椭圆上 …….4 分 所以椭圆 C 的方程为 ).0,1(),0,1(,134 21 22 FFyx  焦点 …….6 分 （Ⅱ）设 134),,( 22  yxyxP 则 22 3 44 yx  …….8 分 2 2 2 2 2 21 4 1 1 17| | ( ) 42 3 4 3 4PQ x y y y y y y            …….10 分 5)2 3(3 1 2  y …….12 分 又 33  y 5||,2 3 max  PQy 时当 …….14 分 19（Ⅰ）解：由 ( )f x 是 R 上的奇函数， ∴ (0) 0f  即 0d  ，   23f x ax c   …….1 分 ∵  1 2f   是函数的极值 ∴ ' (1) 3 0 (1) 2 f a c f a c          解得 1 3 a c     …….3 分 ∴ 3( ) 3f x x x  ，   23 3f x x   令   0f x  解得 1x   ， …….4 分 当 ( , 1)x   时，   0f x  ； 当 ( 1,1)x  时，   0f x  ； 当 (1, )x  时，   0f x  。 …….6 分 故 ( )f x 在 ( , 1)  和 (1, ) 上为增函数，在 ( 1,1) 上为减函数。 …….8 分 所以 ( )f x 在 1x   处取得极大值 2 …….10 分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知， 在[ 1,1] 上 ( )f x 有最大值 ( 1) 2M f   ，最小值 (1) 2m f   …….12 分 所以，对任意 1 2, ( 1,1)x x   ， 1 2( ) ( ) 2 ( 2) 4f x f x M m       即不等式成立 …….14 分。 20 解：（Ⅰ）证明：由抛物线定义知 1|| 0  yPF ， …….2 分。 2| 0 0 xyk xxPQ   ， 可得 PQ 所在直线方程为 0 0 0( )2 xy y x x   ， ∵ 2 0 0 4 xy  ∴得 Q 点坐标为(0, 0y ) …….4 分。 ∴ 1|| 0  yQF ∴ |PF|=|QF| …….6 分。 （Ⅱ）设 A(x1, y1)，B(x2, y2)，又 M 点坐标为(0, y0) ∴AB 方程为 0 0 2 yxxy  …….8 分。 由      0 0 2 2 4 yxxy yx 得 042 00 2  yxxx ∴ ,2 021 xxx  2 0021 4 xyxx  ……① …….10 分。 由 MBAM  得： ),(),( 022101 yyxyyx   ， ∴ 21 xx  ……② …….12 分。 由①②知      2 0 2 2 02 2)1( xx xx   ，得 2 2 2 2 2 4)1( xx   ，由 x0≠0 可得 x2≠0， ∴  4)1( 2  ，又 1 ，解得： 223  ． …….14 分。