镇江中学2011-2012年高二上数学期中试题及答案

江苏省镇江中学 2011-2012 学年度高二上学期 数学期中试卷 注意事项: 1．本试题由填空题和解答题两部分组成,满分 160 分，考试时间为 120 分钟. 2. 答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字 笔填写在答题卡上规定的地方. 3. 作题时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答 一律无效. 一 填空题 1. 若 Rk  ，则 3k 是方程 1 33 22     k y k x 表示双曲线的 条件。 2．已知 P：| 2x－3 |＞1；q： 1 x2+x－6 >0，则p 是q 的_____ ___条件． 3．已知双曲线的两条准线将两焦点间的线段三等分，则双曲线的离心率是______________． 4. 曲线 3y x 在 (1,1)P 处的切线方程为 ． 5．已知 P 是抛物线 y2＝4x 上的一点，A(2,2)是平面内的一定点，F 是抛物线的焦点，当 P 点坐标是______ _时，PA＋PF 最小． 6．双曲线 122  yx 左支上一点 ),( ba 到其渐近线 xy  的距离是 2 ，则 ba  的值为 . 7．已知双曲线 2 2 1 4 x y m   的一条渐近线的方程为 y x ，则此双曲线两条准线间距离为___． 8.设 P为曲线 2: 1C y x x   上一点,曲线C在点 P处的切线的斜率的范围是[ 1,3] ,则 点 P纵坐标的取值范围是________. 9．若函数 34 3 y x bx   有三个单调区间，则b的取值范围是 ． 10．已知命题 21:" [1,2], ln 0" 2 p x x x a     与命题 2:" , 2 8 6 0"q x R x ax a      都是真命题,则实数 a的取值范围是 . 11．函数 ] 3 2, 3 2[sin2   在区间xxy 上的最大值为 12.设 ,A F 分别是椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点 P ,使得线段 PA的垂直平分线恰好经过点 F ,则椭圆的离心率的取值范围是________. 13．已知抛物线 )1)0(22 mMppxy ，（上一点 到其焦点的距离为 5，双曲线 1 2 2  a yx 的左顶点为 A，若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直，则实数 a= 14．若椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心 到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是 . 二 填空题 15．已知 P：对任意 a∈[1,2],不等式 8|5| 2  am 恒成立； Q：函数 1)6()( 23  xmmxxxf 存在极大值和极小值。求使“P 且Q”为真命题的 m 的取 值范围。 16．如图,在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 090ACB  ， , ,E F G分别是 1 1, ,AA AC BB 的中 点，且 1CG CG . 学科网 (Ⅰ)求证： //CG BEF平面 ； 学科网 (Ⅱ)求证：CG 平面 1 1AC G . 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 17．已知椭圆 2 2 2 1x y m m m    的右焦点为 F,右准线为 l，且直线 y x 与 l相交于 A 点. 学科网 (Ⅰ)若⊙C经过 O、F、A三点,求⊙C 的方程； 学科网 (Ⅱ)当m变化时, 求证：⊙C经过除原点 O外的另一个定点 B； 学科网 (Ⅲ)若 5AF AB     时,求椭圆离心率 e的范围. 学科网 18．已知圆 :C 2 2( 2) 4x y   ，相互垂直的两条直线 1l 、 2l 都过点 ( ,0)A a . （Ⅰ）若 1l 、 2l 都和圆C相切，求直线 1l 、 2l 的方程； （Ⅱ）当 2a  时，若圆心为 (1, )M m 的圆和圆C外切且与直线 1l 、 2l 都相切，求圆M 的 方程； （Ⅲ）当 1a   时，求 1l 、 2l 被圆C所截得弦长之和的最大值. 已知椭圆焦点在 x 轴上且长轴长 1 2| | 6A A  ，焦距 1 2| | 4 2FF  ，过椭圆焦点 1F 作一直线， 交椭圆于两点 M, N，设 MN 的倾斜角为 ，当 取什么值时，|MN|等于椭圆的短轴长？ 19．双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的左、右焦点分别为 F1、F2，O 为原点，点 A 在双曲 线的右支上，点 B 在双曲线左准线上， .2 OBOAOAOF  ， ABOF 2 （1）求双曲线的离心率 e； （2）若此双曲线过 C（2， 3），求双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在 y 轴正半轴上），过 D1 的直线 l 交双曲线 M、N， lNDMD 求直线,22  的方程。 20 已知椭圆焦点在 x 轴上且长轴长 1 2| | 6A A  ，焦距 1 2| | 4 2FF  ，过椭圆焦点 1F 作一直 线，交椭圆于两点 M, N，设 MN 的倾斜角为 ，当 取什么值时，|MN|等于椭圆的短 轴长？ 江苏省镇江中学 2011-2012 学年度高二上学期 数学期中试卷答案 1.充分不必要； 2．充分不必要条件； 3． 3e ． 4. 23  xy ． 5． )2,1( ； 6． 2 1  ； 7． 2 2 ； 8. 3[ ,3] 4 ； 9. 0b ． 10.   1, 4 2, 2        11． 3 3   ； 12. 1 ,1 2     ； 13. 1 4 ； 14． )1, 2 2[ 15.若 P 真，则 ]8,2[m ； 若 Q 真，则 0 即 36  mm 或 。 当 P 真且 Q 为真时， ]6,2[m 16.证:(Ⅰ)连接 AG交 BE于D ,连接 ,DF EG . ∵ ,E G分别是 1 1,AA BB 的中点，∴ AE∥ BG且 AE =BG ,∴四边形 AEGB是矩形. ∴D是 AG的中点…………………………………………………(3 分) 又∵ F 是 AC的中点,∴DF∥CG ………………………………………………………(5 分) 则由DF BEF面 ,CG BEF面 ,得CG∥ BEF面 …………………………………(7 分) (注:利用面面平行来证明的,类似给分) (Ⅱ) ∵在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1C C ⊥底面 1 1 1A BC ,∴ 1C C ⊥ 1 1AC . 又∵ 0 1 1 1 90AC B ACB    ,即 1 1C B ⊥ 1 1AC ,∴ 1 1AC ⊥面 1 1BC CB………(9 分) 而CG 面 1 1BC CB ,∴ 1 1AC ⊥CG……………………………(12 分) 又 1CG CG ,∴CG 平面 1 1AC G………………………………………(14 分) 17．解:（Ⅰ） 2 2 2 2 2, ,a m m b m c m     ,即 c m , ( ,0)F m ,准线 1x m  , (1 ,1 )A m m   …………………(2 分) 设⊙C 的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ,将 O、F、A 三点坐标代入得： 2 0 0 2 2 0 F m Dm m D E          , 解得 0 2 F D m E m         ………………………………………………………(4 分) ∴⊙C 的方程为 2 2 (2 ) 0x y mx m y     … （Ⅱ）设点 B坐标为 ( , )p q ,则 2 2 (2 ) 0p q mp m q     ,整理得： 2 2 2 ( ) 0p q q m p q     对任意实数m都成立………) ∴ 2 2 0 2 0 p q p q q       ,解得 0 0 p q    或 1 1 p q     , 故当m变化时，⊙C经过除原点 O外的另外一个定点 B ( 1,1) … （Ⅲ）由 B ( 1,1) 、 ( ,0)F m 、 (1 ,1 )A m m  得 ( 1, 1 )AF m     , ( 2 , )AB m m     ∴ 2 2 2 5AF AB m m       , 解得 3 1m   ……………………………………………(12 分) 又 2 0 0 m m m      ,∴0 1m  ……… 又椭圆的离心率 2 22 1 11 m me m mm m m      （0 1m  ） ∴椭圆的离心率的范围是 20 2 e  …… 18.解：（1）根据题意得 21 , ll 的斜率都存在，设 )(1:),(: 21 ax k ylaxkyl  则 …… （1 分） 则              2 1 2 2 1 2 2 2 k a k akk 222,1  ak 222:222: ;222:222:, 21 2121   xylxyl xylxylll 与或 与的方程分别是 ……………………（6 分） （2）设圆的半径为 r ,则       222 222 )2(21 22-1 rm rm ）（ ）（ 解得      7 2 m r 所以所求圆M 的方程为 4)7()1( 22  yx ……………………（11 分） （3）当 1a   时， 1l 、 2l 被圆C所截得弦的中点分别是 E、F，当 1a   时， 1l 、 2l 被圆C 所截得弦长分别是 21 dd、 ；圆心为 B,则 AEBF 为矩形， 所以 1222  ABBFBE ，即 1)) 2 (4()) 2 (4( 2221  dd ,282 2 2 1  dd ……………………（14 分） 所以 1422 2 2 2 121  dddd 即 1l 、 2l 被圆C所截得弦长之和的最大值 142 ……………………（16 分）