数列测试题及答案

数列 一、选择题 1、（2010 全国卷 2 理数）如果等差数列 na 中， 3 4 5 12a a a   ，那么 1 2 7...a a a    （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【解析】 1 7 3 4 5 4 4 1 2 7 4 7( )3 12, 4, 7 282 a aa a a a a a a a a            2、（2010 辽宁文数）设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，已知 3 43 2S a  ， 2 33 2S a  ， 则公比 q  （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 解析：选 B. 两式相减得， 3 4 33a a a  ， 4 4 3 3 4 , 4aa a q a     . 3、（2010 安徽文数）设数列{ }na 的前 n 项和 2 nS n ，则 8a 的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 答案：A 【解析】 8 8 7 64 49 15a S S     . 4、（2010 浙江文数）设 ns 为等比数列{ }na 的前 n 项和， 2 58 0a a  则 5 2 S S  (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11 5、(2009 年广东卷文)已知等比数列 }{ na 的公比为正数，且 3a · 9a =2 2 5a ， 2a =1，则 1a = A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为 q ,由已知得  22 8 4 1 1 12a q a q a q  ,即 2 2q  ,又因为等比数列 }{ na 的公比 为正数，所以 2q  ,故 2 1 1 2 22 aa q    ,选 B 6、（ 2009 广 东 卷 理 ）已知等比数列{ }na 满足 0, 1,2,na n  ，且 2 5 2 5 2 ( 3)n na a n   ， 则当 1n  时， 2 1 2 3 2 2 1log log log na a a     A. (2 1)n n  B. 2( 1)n  C. 2n D. 2( 1)n  【解析】由 2 5 2 5 2 ( 3)n na a n   得 n na 22 2 ， 0na ，则 n na 2 ，  3212 loglog aa 2 122 )12(31log nna n  ，选 C. 7、（2009 江西卷文）公差不为零的等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS .若 4a 是 3 7a a与 的等比中 项, 8 32S  ,则 10S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 答案：C 【 解 析 】 由 2 4 3 7a a a 得 2 1 1 1( 3 ) ( 2 )( 6 )a d a d a d    得 12 3 0a d  , 再 由 8 1 568 322S a d   得 12 7 8a d  则 12, 3d a   , 所 以 10 1 9010 602S a d   ,.故选 C 8、（2009 辽宁卷理）设等比数列{ na }的前 n 项和为 nS ，若 6 3 S S =3 ，则 6 9S S = （A） 2 （B） 7 3 （C） 8 3 （D）3 【解析】设公比为 q ,则 3 6 3 3 3 (1 )S q S S S  ＝1＋q3＝3  q3＝2 于是 6 3 6 9 3 1 1 2 4 7 1 1 2 3 S q q S q        . 【答案】B 9、（2009 安徽卷理）已知 na 为等差数列， 1a + 3a + 5a =105， 2 4 6a a a  =99，以 nS 表示  na 的前 n 项和，则使得 nS 达到最大值的 n 是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 [解析]：由 1a + 3a + 5a =105 得 33 105,a  即 3 35a  ，由 2 4 6a a a  =99 得 43 99a  即 4 33a  ，∴ 2d   ， 4 ( 4) ( 2) 41 2na a n n       ，由 1 0 0 n n a a     得 20n  ，选 B 10、2009 上海十四校联考）无穷等比数列 ,4 2,2 1,2 2,1 …各项的和等于 （ ） A． 22  B． 22  C． 12  D． 12  答案 B 11、（2009 江西卷理）数列{ }na 的通项 2 2 2(cos sin )3 3n n na n    ，其前 n 项和为 nS ，则 30S 为 A． 470 B． 490 C． 495 D．510 答案：A 【解析】由于 2 2{cos sin }3 3 n n  以 3 为周期,故 2 2 2 2 2 2 2 2 2 30 1 2 4 5 28 29( 3 ) ( 6 ) ( 30 )2 2 2S             2 210 10 2 1 1 (3 2) (3 1) 5 9 10 11[ (3 ) ] [9 ] 25 4702 2 2k k k k k k                故选 A 12、2009 湖北卷文）设 ,Rx  记不超过 x 的最大整数为[ x ],令{ x }= x -[ x ]，则 { 2 15  }， [ 2 15  ], 2 15  A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得 5 1 5 1 2 2          ， 5 1[ ] 12   .则等比数列性质易得三者构成等比 数列. 二、填空题 13、(2010 辽宁文数）（14）设 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和，若 3 63 24S S ， ，则 9a  。 解析：填 15. 3 1 6 1 3 23 32 6 56 242 S a d S a d         ,解得 1 1 2 a d     ， 9 1 8 15.a a d    14、（2010 福建理数）11．在等比数列 na 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列 的通项公式 na  ． 【答案】 n-14 【解析】由题意知 1 1 14 16 21a a a   ，解得 1 1a  ，所以通项 na  n-14 。 15、（2009 浙江理）设等比数列{ }na 的公比 1 2q  ，前 n 项和为 nS ，则 4 4 S a  ． 答案：15 【解析】对于 4 4 31 4 4 4 1 3 4 (1 ) 1, , 151 (1 ) a q s qs a a qq a q q        16 、（ 2009 北 京 理 ） 已 知 数 列 { }na 满 足 ： 4 3 4 1 21, 0, , N ,n n n na a a a n       则 2009a  ________； 2014a =_________. 【答案】1，0 【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得 2009 4 503 3 1a a    ， 三、解答题 17、2009 全国卷Ⅱ文） 已知等差数列{ na }中， ,0,16 6473  aaaa 求{ na }前 n 项和 ns . . 解：设 na 的公差为 d ，则.   1 1 1 1 2 6 16 3 5 0 a d a d a d a d          即 2 2 1 1 1 8 12 16 4 a da d a d         解得 1 18, 8 2, 2 a a d d          或 因此        8 1 9 8 1 9n nS n n n n n S n n n n n           ，或 18、（2010 重庆文数） 已知 na 是首项为 19，公差为-2 的等差数列， nS 为 na 的前 n 项和. （Ⅰ）求通项 na 及 nS ； （Ⅱ）设 n nb a 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 nb 的通项公式及其前 n 项和 nT . 19、（2010 山东理数）（18）（本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 满足： 3 7a  ， 5 7 26a a  ， na 的前 n 项和为 nS ． （Ⅰ）求 na 及 nS ； （Ⅱ）令 bn= 2 1 1na  (nN*)，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d，因为 3 7a  ， 5 7 26a a  ，所以有 1 1 2 7 2 10 26 a d a d      ，解得 1 3, 2a d  ， 所以 3 2 1)=2n+1na n  （ ； nS = n(n-1)3n+ 22  = 2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2n+1na  ，所以 bn= 2 1 1na  = 2 1 =2n+1) 1（ 1 1 4 n(n+1)  = 1 1 1( - )4 n n+1  ， 所以 nT = 1 1 1 1 1 1(1- + + + - )4 2 2 3 n n+1    = 1 1(1- )=4 n+1  n 4(n+1) ， 即数列 nb 的前 n 项和 nT = n 4(n+1) 。 20、2009 全国卷Ⅱ理）设数列{ }na 的前 n 项和为 ,nS 已知 1 1,a  1 4 2n nS a   （I）设 1 2n n nb a a  ，证明数列{ }nb 是等比数列 （II）求数列{ }na 的通项公式。 解：（I）由 1 1,a  及 1 4 2n nS a   ，有 1 2 14 2,a a a   2 1 1 2 13 2 5, 2 3a a b a a       由 1 4 2n nS a   ，．．．① 则当 2n  时，有 14 2n nS a   ．．．．．② ②－①得 1 1 1 14 4 , 2 2( 2 )n n n n n n na a a a a a a         又 1 2n n nb a a  ， 12n nb b   { }nb 是首项 1 3b  ，公比为２的等比数列． （II）由（I）可得 1 1 2 3 2n n n nb a a      ， 1 1 3 2 2 4 n n n n a a    数列{ }2 n n a 是首项为 1 2 ，公差为 3 4 的等比数列．  1 3 3 1( 1)2 2 4 4 4 n n a n n     ， 2(3 1) 2n na n    21、（2009 江西卷文）（本小题满分 12 分） 数列{ }na 的通项 2 2 2(cos sin )3 3n n na n    ，其前 n 项和为 nS . (1) 求 nS ; (2) 3 ,4 n n n Sb n   求数列｛ nb ｝的前 n 项和 nT . 解: (1) 由于 2 2 2cos sin cos3 3 3 n n n    ,故 3 1 2 3 4 5 6 3 2 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 4 5 (3 2) (3 1)( 3 ) ( 6 ) ( (3 ) ))2 2 2 k k k kS a a a a a a a a a k k k                            13 31 18 5 (9 4) 2 2 2 2 k k k      , 3 1 3 3 (4 9 ) ,2k k k k kS S a    2 3 2 3 1 3 1 (4 9 ) (3 1) 1 3 2 1 ,2 2 2 3 6k k k k k k kS S a k              故 1 , 3 23 6 ( 1)(1 3 ) , 3 16 (3 4) , 36 n n n k n nS n k n n n k              ( *k N ) (2) 3 9 4 ,4 2 4 n n n n S nb n    2 1 13 22 9 4[ ],2 4 4 4n n nT     1 1 22 9 44 [13 ],2 4 4n n nT      两式相减得 1 2 3 2 1 9 9 1 9 9 9 4 1 9 4 1 94 43 [13 ] [13 ] 8 ,12 4 4 4 2 4 2 21 4 n n n n n n n n n nT                  故 2 3 2 1 8 1 3 .3 3 2 2n n n nT     22、（2009 执信中学）设函数      Ncbcbx axxf , 2 .若方程   xxf  的根为 0 和 2 , 且   2 12 f . (1)求函数  xf 的解析式； (2)已知各项均不为零的数列 na 满足: 1)1(4  n n afS ( nS 为该数列前 n 项和),求该数列的通项 na . 【解析】 ⑴设                  21 0 , 102 102 ,01, 2 2 cb a b a b c acxxbxcbx ax 得 cx xxf c  )1()( 2 2 , 32 1 1 2)2(   ccf , 又 cbcNcb   ,2,, ，     112 2  xx xxf ⑵由已知得 ,2,2 2 111 2   nnnnnn aaSaaS 两式相减得    0111   nnnn aaaa , 1 nn aa 或 11  nn aa . 当 1n ， 12 1 2 111  aaaa ，若 1 nn aa ，则 12 a ，这与 1na 矛盾. naaa nnn   ,11 . ⑶由   2 1 2 1 2 1121 22 2 1 2 11          nnn n nnn aaa aaafa , 01  na 或 21 na . 若 01 na ，则 31 na ；若 21 na ，则     012 2 1   n nn nn a aaaa   na 在 2n 时单调递减.  3 8 242 4 22 2 1 2 1 2  a aa ， 33 8 2  aan 在 2n 时成立.