北师大版高二数学选修2-1试题及答案

高二数学选修 2－1 质量检测试题（卷） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 6 页。考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题 卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 顶点在原点，且过点 ( 4,4) 的抛物线的标准方程是 A. 2 4y x  B. 2 4x y C. 2 4y x  或 2 4x y D. 2 4y x 或 2 4x y  2. 以下四组向量中，互相平行的有（ ）组. (1) (1,2,1)a  , (1, 2,3)b   ； (2) (8,4, 6)a   , (4,2, 3)b   ； （3） (0,1, 1)a   , (0, 3,3)b   ； （4） ( 3,2,0)a   , (4, 3,3)b   A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 若平面 的法向量为 1 (3,2,1)n  ，平面  的法向量为 2 (2,0, 1)n   ，则平 面 与  夹角的余弦是 A. 70 14 B. 70 10 C. 70 14  D. － 70 10 4.“ 5 ,12k k Z     ”是“ 1sin 2 2   ”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. “直线 l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面垂直”的（ ） 条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 6.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 是棱 1 1A B 的中点，则 1A B 与 1D E 所成角 的余弦值为 A． 5 10 B． 10 10 C． 5 5 D． 10 5 7. 已知两定点 1(5,0)F ， 2 ( 5,0)F  ，曲线上的点 P 到 1F 、 2F 的距离之差的绝 对值是 6，则该曲线的方程为 A. 2 2 19 16 x y  B. 2 2 116 9 x y  C. 2 2 125 36 x y  D. 2 2 125 36 y x  8. 已知直线 l 过点 P(1,0,－1)，平行于向量 (2,1,1)a  ，平面 过直线 l 与点 M(1,2,3)，则平面 的法向量不可能是 A. (1,－4,2) B. 1 1( , 1, )4 2  C. 1 1( ,1, )4 2   D. (0,－1,1) 9. 命题“若 a b ，则 a c b c   ”的逆否命题是 A. 若 a c b c   ，则 a b B. 若 a c b c   ，则 a b C. 若 a c b c   ，则 a b D. 若 a c b c   ，则 a b 10 . 已知椭圆 2 2 110 2 x y m m    ，若其长轴在 y 轴上.焦距为 4 ，则 m 等于 A. 4 . B.5. C. 7 . D.8 . 11．以下有四种说法，其中正确说法的个数为： （1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件； (2) “ a b ”是“ 2 2a b ”的充要条件； (3) “ 3x  ”是“ 2 2 3 0x x   ”的必要不充分条件； （4）“ A B B ”是“ A  ”的必要不充分条件. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 12。双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的左、右焦点分别是 1 2F F， ，过 1F 作 倾斜角为 30 的直线交双曲线右支于 M 点，若 2MF 垂直于 x 轴，则双曲线 的离心率为 A． 6 B． 5 C． 3 D． 2 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 把本大题答案填在第Ⅱ卷题中横线上。 13．请你任意写出一个全称命题 ；其否命题为 . 14．已知向量 ( 0 , 1,1)a   ， ( 4 , 1 , 0 )b  ，| | 29a b    且 0  ，则  = ____________. 15． 已知点 M（1，－1，2），直线 AB 过原点 O, 且平行于向量（0，2，1）， 则点 M 到直线 AB 的距离为__________. 16．已知点 P 到点 (3,0)F 的距离比它到直线 2x   的距离大 1，则点 P 满足 的方程为 . 17．命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 . 18. 已知椭圆 2 24 16x y  ，直线 AB 过点 P（2，－1），且与椭圆交于 A、B 两点，若直线 AB 的斜率是 1 2 ，则 AB 的值为 . 高二数学选修 2－1 质量检测试题（卷）2009.2 题号 二 三 总分 总分人 19 20 21 22 得分 复核人 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上. 13．全称命题是 ; 其否命 题是 . 14. _____. 15. . 16. 17.________________. 18. __________________. 三、解答题：本大题共4 小题，共60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19. （本小题满分 15 分）请你用逻辑联结词“且”、“或”、“非”构造三个命题， 并说出它们的真假，不必证明. 20. （本小题满分 15 分）已知椭圆的顶点与双曲线 2 2 14 12 y x  的焦点重合， 它们的离心率之和为13 5 ，若椭圆的焦点在 x 轴上，求椭圆的方程. N M A B D C O 21. （本小题满分 15 分）如图，在四棱锥O ABCD 中，底面 ABCD 是边长 为 1 的菱 形， 4ABC   , OA ABCD 底面 , 2OA  , M 为OA 的中点， N 为 BC 的中点，以 A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解 答以下问题： （Ⅰ）证明：直线 MN OCD平面‖ ； （Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离. 22. （本小题满分 15 分）已知椭圆的焦点在 x 轴上，短轴长为 4，离心率为 5 5 . (1)求椭圆的标准方程； （2）若直线 l 过该椭圆的左焦点，交椭圆于 M、N 两点，且 16 59MN  ，求直线 l 的方程. 数学选修 2－1 质量检测参考答案及评分标准 2009.2 一、选择题：本答题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 1. C. （p75 练习题 1 改） 2. B（p38 练习题 3 改） 3. A（p45 练习 题 2 改） 4. B.（复习题一 A 组 4 题改） 5. C．（08 上海卷理 13） 6. B（08 四川 延考文 12） 7. A（p80，练习题 1（2）改） 8. D（复习题二 A 组 13 题改） 9. C（p5,练 习题 2 改） 10 . D（复习题三 A 组 2 题改） 11． A（复习题一 A 组 1 题改） 12。C．（08 陕西高考） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 13．答案不唯一，正确写出全称命题得 3 分，正确写出其否命题得 2 分. 14． 3 （08 海南宁夏卷理 13）. 15． 8（选修 2－1，p50 练习题改） 16． 2 12y x （选修 2－1 p76， A 组 5 题改） 17．没有一个偶数是素 数 18. （p96， 复习题三 A 组 8 题改） 三、解答题：本大题共4 小题，共60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19. 答案不唯一，每正确写出一个命题得 3 分，正确说出命题的真假每个 得 2 分. 20. （选修 2－1，p96，复习题二，B 组 2 题改） 解：设所求椭圆方程为 2 2 2 2 1x y a b   ，其离心率为 e ，焦距为 2 c ，双曲线 2 2 14 12 y x  的焦距为 2 1c ，离心率为 1e ，（2 分），则有： 2 1 4 12 16c    ， 1c ＝4 （4 分） ∴ 1 1 22 ce   （6 分） ∴ 13 325 5e    ，即 3 5 c a  ① （8 分） 又 1b c ＝4 ② （10 分） 2 2 2a b c  ③ （12 分） 由①、 ②、③可得 2 25a  ∴ 所求椭圆方程为 2 2 125 16 x y  （15 分） 21. （本小题满分 15 分）（08 安徽卷理 18） 解： 作 AP CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 , ,x y z 轴建立坐标 系 2 2 2 2 2(0,0,0), (1,0,0), (0, ,0), ( , ,0), (0,0,2), (0,0,1), (1 , ,0)2 2 2 4 4A B P D O M N  ,（3 分） (1) 2 2 2 2 2(1 , , 1), (0, , 2), ( , , 2)4 4 2 2 2MN OP OD          （5 分） 设平面 OCD 的法向量为 ( , , )n x y z ,则 0, 0n OP n OD     即 2 2 02 2 2 2 02 2 y z x y z        取 2z  ,解得 (0,4, 2)n  （7 分） 2 2(1 , , 1) (0,4, 2) 04 4MN n      ∵ MN OCD 平面‖ （9 分） (2)设 AB 与 MD 所成的角为 , 2 2(1,0,0), ( , , 1)2 2AB MD    ∵ 1cos ,2 3 AB MD AB MD          ∴ ∴ , AB 与 MD 所成角的大小为 3  （13 分） (3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为OB  在向量 (0,4, 2)n  上的投 影的绝对值, 由 (1,0, 2)OB   , 得 2 3 OB n d n       .所以点 B 到平面 OCD 的距离 为 2 3 （15 分） 22. （p87，例 3 改） 解：（1）设椭圆的标准方程为 2 2 2 2 1x y a b   ， （2 分） 由已知有： 52 4, 5 cb e a    (4 分)， 2 2 2a b c  ，（6 分） 解得： 2 25, 2, 1, 1a b c c    ∴ 所求椭圆标准方程为 2 2 15 4 x y  ①（8 分） （2）设 l 的斜率为 k ，M、N 的坐标分别为 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， ∵椭圆的左焦点为 ( 1,0) ，∴l 的方程为 ( 1)y k x  ②（10 分） ①、②联立可得 2 2 2( 1) 15 4 x k x   （11 分） ∴ 2 2 2 2(4 5 ) 10 5 20 0k x k x k     ∴ 2 2 1 2 1 22 2 10 5 20,4 5 4 5 k kx x x xk k      （13 分） 又 ∵ 2 2 1 2 1 2 16( ) ( ) 59MN x x y y     即 2 2 1 2 16( ) (1 ) 59x x k   ∴ 2 2 1 2 1 2 1280( ) 4 (1 ) 81x x x x k      ∴ 2 2 2 2 2 2 10 4(5 20) 1280( ) (1 )4 5 4 5 81 k k kk k         ∴ 4 2 2 2 2 21280100 4(5 20)(4 5 ) (1 ) (4 5 )81k k k k k        ∴ 2 2 2 21280320(1 ) (4 5 )81k k   ∴ 2 221 (4 5 )9k k   ∴ 2 1, 1k k   ∴l 的方程为 1y x  或 1y x   （15 分） 命题人： 吴晓英 检测人：张新会