北师大版高中数学选修2-1期末考试试题及答案（理科）

高二期末考试数学试题 晁群彦 一．选择题（每小题 5 分，满分６0 分） １.设 nml ,, 均为直线,其中 nm, 在平面 ”“”“, nlmlla  且是则内  的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２.对于两个命题： ① , 1 sin 1x R x     ， ② 2 2,sin cos 1x R x x    ， 下列判断正确的是（ ）。 A. ① 假 ② 真 B. ① 真 ② 假 C. ① ② 都假 D. ① ② 都真 ３.与椭圆 14 2 2  yx 共焦点且过点 (2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 12 2 2  yx B. 14 2 2  yx C. 12 2 2  yx D. 133 22  yx ４.已知 1 2,F F 是椭圆的两个焦点，过 1F 且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与 A , B 两点， 则 2ABF 是正三角形，则椭圆的离心率是（ ） A 2 2 B 1 2 C 3 3 D 1 3 ５.过抛物线 2 8y x 的焦点作倾斜角为 045 直线 l ，直线l 与抛物线相交与 A ， B 两点， 则弦 AB 的长是（ ） A 8 B 16 C 32 D 64 ６.在同一坐标系中，方程 )0(01 22222  babyaxxbxa 与 的曲线大致是（ ） A． B． C． D． ７.已知椭圆 12 2 2 2  b y a x ( ba  >0) 的两个焦点 F1，F2，点 P 在椭圆上，则 1 2PF F 的面积 最 大值一定是（ ） A 2a B ab C 2 2a a b D 2 2b a b ８.已知向量 babakba  2),2,0,1(),0,1,1( 与且 互相垂直,则实数 k 的值是( ) A．1 B． 5 1 C． 5 3 D． 5 7 ９.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 是棱 1 1A B 的中点，则 1A B 与 1D E 所成角的余弦值为 （ ） A． 5 10 B． 10 10 C． 5 5 D． 10 5 １０.若椭圆 xynmnymx  1)0,0(122 与直线 交于 A，B 两点,过原点与线段 AB 中点 的连线的斜率为 2 2 ，则 m n 的值是( ) 2.2 3.2 2.29 2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 DCBA １ １ . 过 抛 物 线 yx 42  的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于    222111 ,,, yxPyxP 两 点 ， 若 621  yy ，则 21PP 的值为 （ ） A．5 B．6 C．8 D．10 １２.以 124 22 yx  =1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为 （ ） A. 11216 22  yx B. 11612 22  yx C. 1416 22  yx D. 二．填空题（每小题４分） １ ３ ． 已 知 A 、 B 、 C 三 点 不 共 线 ， 对 平 面 ABC 外 一 点 O ， 给 出 下 列 表 达 式 ： OCOByOAxOM 3 1 其中 x，y 是实数，若点 M 与 A、B、C 四点共面，则 x+y=___ １４．斜率为 1 的直线经过抛物线 y2＝4x 的焦点，且与抛物线相交于 A,B 两点，则 AB 等 于___ １５．若命题 P：“ x＞0， 022 2  xax ”是真命题 ，则实数 a 的取值范围是___． １６．已知 90AOB   ， C 为空间中一点，且 60AOC BOC     ，则直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值为___． A E y x D CB 三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。） １７．（本小题满分 1４） 设命题 P ： 2" , 2 "x R x x a    ，命题 Q ： 2" , 2 2 0"x R x ax a      ； 如果“ P 或Q ”为真，“ P 且Q ”为假，求 a 的取值范围。 １８．（1５分）如图①在直角梯形 ABCP 中，BC∥AP， AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G 分别 是线段 PC、PD，BC 的中点，现将ΔPDC 折起，使平 面 PDC⊥平面 ABCD（如图②） （Ⅰ）求证 AP∥平面 EFG； （Ⅱ）求二面角 G-EF-D 的大小； （Ⅲ）在线段 PB 上确定一点 Q，使 PC⊥平面 ADQ， 试给出证明． １９．(1５分) 如图，金砂公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地，现修成草坪，图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分，D 在 AB 上，E 在 AC 上. （Ⅰ）设 AD＝ x ，DE＝ y ，求 y 关于 x 的函数关系式； （Ⅱ）如果 DE 是灌溉水管，我们希望它最短，则 DE 的位置应在哪里？ 请予以证明. ２０（本小题满分 1５分） 设 21, FF 分别为椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的左、右两个焦点. （Ⅰ）若椭圆C 上的点 21,)2 3,1( FFA 到 两点的距离之和等于 4， 求椭圆 C 的方程和焦点坐标； （Ⅱ）设点 P 是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点， 的最大值求 ||),2 1,0( PQQ 。 ２１（本小题满分 1５分） 如图，设抛物线 C： yx 42  的焦点为 F， ),( 00 yxP 为抛物线上的任一点（其中 0x ≠0）， 过 P 点的切线交 y 轴于 Q 点． （Ⅰ）证明： FQFP  ； （Ⅱ）Q 点关于原点 O 的对称点为 M，过 M 点作平行于 PQ 的直线 交抛物线 C 于 A、B 两点，若 )1(  MBAM ，求  的值． B A O F x y Q PM 高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准 一．选择题：ABCCB DCBDB DD 二、填空题：１３. １３.8 １４. )4,( １５详解：由对称性点C 在平面 AOB 内的射影 D 必在 AOB 的平分 线上作 DE OA 于 E ，连结 CE 则由三垂线定理 CE OE ，设 1DE  1, 2OE OD   ， 又 60 , 2COE CE OE OE     , 所 以 2 2 2CD OC OD   ，因此直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值 2sin 2COD  ，本题亦可用向量法。１６. y ex 三．解答题： １７解：命题 P ： 2" , 2 "x R x x a    即 2 22 ( 1) 1x x x a     恒成立 1a   …………3 分 命题Q ： 2" , 2 2 0"x R x ax a      即方程 2 2 2 0x ax a    有实数根 ∴ 2(2 ) 4(2 ) 0a a     2a   或 1a  .…………6 分 ∵“ P 或Q ”为真，“ P 且Q ”为假，∴ P 与Q 一真一假 …………8 分 当 P 真Q 假时， 2 1a    ；当 P 假Q 真时， 1a  …………10 ∴ a 的取值范围是 ( 2, 1) [1, )   ………1４ １８(14 分)解法一：（Ⅰ）在图②中 ∵平面 PDC⊥平面 ABCD，AP⊥CD ∴ PD⊥CD，PD⊥DA ∴PD⊥平面 ABCD 如图. 以 D 为坐标原点，直线 DA、DC、DP 分别为 yx、 与 z 轴建立空间直角坐标系： …………………1 分 则  0,0,0D  0,0,2A  0,2,2B  0,2,0C  2,0,0P  1,1,0E  1,0,0F  0,2,1G  2,0,2 AP  0,1,0 EF  1,2,1 FG ………………3 分 3 2 设平面 GEF 的法向量 ),,( zyxn  ，由法向量的定义得：                     zx y zyx y FGn EFn 0 02 0 0)1,2,1()zy,x,( 0)0,1,0()zy,x,( 0 0 不妨设 z=1， 则 ………………………………4 分 0210212  nAP ………………………………5 分 nAP  ，点 P 平面 EFG ∴AP∥平面 EFG ………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 GEF 的法向量 ，因平面 EFD 与坐标平面 PDC 重合 则它的一个法向量为 i =（1，0，0）………………………………8 分 设二面角 DEFG  为 .则 …………9 分 由图形观察二面角 DEFG  为锐角，故二面角 G-EF-D 的大小为 45°。………10 分 （Ⅲ）假设在线段 PB 上存在一点 Q，使 PC⊥平面 ADQ， ∵P、Q、D 三点共线，则设 DBtDPtDQ  )1( ，又  0,2,2DB ，  2,0,0DP ∴ )22,2,2( tttDQ  ，又  2,0,0DA …………11 分 若 PC⊥平面 ADQ，又 )2,2,0( PC 则 2 10)22(2220)22,2,2()0,2,-2( 0)0,0,2()0,2,-2( 0 0            ttttttDQPC DAPC …………1５分 ∴ ）DBDPDQ  (2 1 ， ………………………………13 分 故在线段 PB 上存在一点 Q，使 PC⊥平面 ADQ，且点 Q 为线段 PB 的中点。……1５分 解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理 ∴平面 EFG∥平面 PAB，又 PA 面 PAB，∴AP∥平面 EFG ……………………4 分 （2）∵平面 PDC⊥平面 ABCD，AD⊥DC ∴AD⊥平面 PCD，而 BC∥AD，∴BC⊥面 EFD 过 C 作 CR⊥EF 交 EF 延长线于 R 点连 GR，根据三垂线定理知 ∠GRC 即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°， 故二面角 G-EF-D 的大小为 45°。 …………………8 分 （3）Q 点为 PB 的中点，取 PC 中点 M，则 QM∥BC，∴QM⊥PC 在等腰 Rt△PDC 中，DM⊥PC，∴PC⊥面 ADMQ ……………………1５分 １９(14 分)解: （1）在△ADE 中， y 2＝ x 2＋AE2－2 x ·AE·cos60°  y 2＝ x 2＋AE2－ x ·AE,① …………………2 分 1 2 1 2 3 2 a )1,0,1(n )1,0,1(n 2 2 2 1cos      n in  又 S△ADE＝ S△ABC＝ · 2＝ x ·AE·sin60° x ·AE＝2.② ……4 分 ②代入①得 y 2＝ x 2＋ －2（ y ＞0）, ∴ y ＝ ………6 分 又 x ≤2，若 1x  ， ，矛盾，所以 x ≥1 ∴ y ＝ （1≤ x ≤2）. ………………………7 分 （2）如果 DE 是水管 y ＝ ≥ 2 2 2 2   , ………………10 分 当且仅当 x 2＝ 2 4 x ，即 x ＝ 2 时“＝”成立， …………………………1５分 故 DE∥ BC，且 DE＝ 2 . ………………………………1５分 ２０解：（Ⅰ）椭圆 C 的焦点在 x 轴上， 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2. …….2 分 又点 .1,31 )2 3( 2 1,)2 3,1( 22 2 2 2  cb b A 于是得因此在椭圆上 …….4 分 所以椭圆 C 的方程为 ).0,1(),0,1(,134 21 22 FFyx  焦点 …….6 分 （Ⅱ）设 134),,( 22  yxyxP 则 22 3 44 yx  …….8 分 2 2 2 2 2 21 4 1 1 17| | ( ) 42 3 4 3 4PQ x y y y y y y            …….10 分 5)2 3(3 1 2  y …….12 分 又 33  y 5||,2 3 max  PQy 时当 …….1５分 ２１解：（Ⅰ）证明：由抛物线定义知 1|| 0  yPF ， 2| 0 0 xyk xxPQ   ， 可得 PQ 所在直线方程为 0 0 0( )2 xy y x x   ， ∵ 2 0 0 4 xy  ∴得 Q 点坐标为(0, 0y ) 22( )x 2 2 4 2x x   2 2AE x   2 2 4 2x x   2 2 4 2x x   ∴ 1|| 0  yQF ∴ |PF|=|QF| （Ⅱ）设 A(x1, y1)，B(x2, y2)，又 M 点坐标为(0, y0) ∴AB 方程为 0 0 2 yxxy  …….8 分。 由      0 0 2 2 4 yxxy yx 得 042 00 2  yxxx ∴ ,2 021 xxx  2 0021 4 xyxx  ……① …….10 分。 由 MBAM  得： ),(),( 022101 yyxyyx   ， ∴ 21 xx  ……② …….12 分。 由①②知      2 0 2 2 02 2)1( xx xx   ，得 2 2 2 2 2 4)1( xx   ，由 x0≠0 可得 x2≠0， ∴  4)1( 2  ，又 1 ，解得： 223  ． …….1５分。