北师大版高二数学选修2-1试卷及答案

选修 2－1 姓名：张平安 一 选 择 题 （本题共 12 个小题，每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 60 分） 1．x>2 是 2 4x  的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既充分又必要条件 D. 既不充分又不必要条件 2．命题“在 ABC 中，若 2 1sin A ，则 A=30º”的否命题是 （ ） A.在 ABC 中，若 2 1sin A ，则 A≠30º B. 在 ABC 中，若 1sin 2A  ，则 A=30º C.在 ABC 中，若 1sin 2A  ，则 A≠30º D.以上均不正确 3．已知命题 P：若a b ，则c>d ，命题 Q：若e f ，则a b 。若 P 为真 且 Q 的 否 命 题 为 真 ， 则 “ c d ” 是 “ e f 的 ” （ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不 充分也不必要条件 4、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若 1 1A B a  , bDA 11 ， cAA 1 ，则下列向量中与 MB1 相等的向量是 A、 cba  2 1 2 1 B、 cba  2 1 2 1 C、 cba  2 1 2 1 D、 cba  2 1 2 1 5、空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A（3，1，0），B（-1， 3，0），若点 C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，βR，α+β=1，则 点 C 的轨迹为 A、平面 B、直线 C 、 圆 D、线段 6、已知 a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =       5 3,1,5 1 给出下列等式： ① ∣ cba  ∣ = ∣ cba  ∣ ② cba  )( = )( cba  ③ 2)( cba  = 222 cba  ④ cba  )( = )( cba  其中正确的个数是 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 7.已知椭圆 125 2 2 2  y a x )5( a 的两个焦点为 1F 、 2F ，且 8|| 21 FF ，弦 AB 过点 1F ，则△ 2ABF 的周长为（ ） （A）10 （B）20 （C）2 41 （D） 414 8.椭圆 136100 22  yx 上的点 P 到它的左准线的距离是 10，那么点 P 到它 的右焦点的距离是（ ） （A）15 （B）12 （C）10 （D）8 9.椭圆 1925 22  yx 的焦点 1F 、 2F ，P 为椭圆上的一点，已知 21 PFPF  ，则 △ 21PFF 的面积为（ ）（A）9 （B）12 （C）10 （D）8 10.椭圆 1416 22  yx 上的点到直线 022  yx 的最大距离是（ ） （A）3（B） 11 （C） 22 （D） 10 11.过抛物线 2y ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若 线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q，则 1 1 p q  等于（ ） （A）2a （B） 1 2a （C）4a （D） 4 a 12. 如果椭圆 1936 22  yx 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方 程是（ ） （A） 02  yx （B） 042  yx （C） 01232  yx （D） 082  yx 二．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 13、“末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的 否定形式是 否命题是 14.与椭圆 2 2 14 3 x y  具有相同的离心率且过点（2，- 3 ）的椭圆的标准 方程 。 15.离心率 3 5e ，一条准线为 3x 的椭圆的标准方程是________． 16、16、在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 1BC AC ．有下 列条件： ① AB AC BC  ；② AB AC ；③ AB AC ．其中能成为 1 1BC AB 的充要条件的是（填上该条件的序号） ________． 三 解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分） 17、（本题满分 14 分）已知命题 :P “若 ,0ac 则二次方程 02  cbxax 没 有实根”. (1)写出命题 P 的否命题； (2)判断命题 P 的否命题的真假, 并证明你 的结论. 18． (本题 14 分) 在边长为 2 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 BC 的中点，F 是 DD1 的中点， （1）求点 A 到平面 A1DE 的距离； （2）求证：CF∥平面 A1DE, （3）求二面角 E－A1D－A 的平面角大小的余弦值。 19 、 ( 本 题 12 分 ) 在 三 棱 锥 P － ABC 中 ， 2 2 2PB PC BC  ，PA⊥平面 ABC。 （1）求证：AC⊥BC； （2）如果 AB=4，AC=3，当 PA 取何值时，使得异 面直线 PB 与 AC 所成的角为 600。 B 1 D 1 C 1 A 1 F E D C B A C B A P 20．（14 分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离为 5，求抛物线的方程和 m 的值。(16 分) 21. 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点，（1）若以 AB 线段为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值。（2）是否存在这样的实 数 a，使 A、B 两点关于直线 1 2y x 对称？说明理由。(10 分) 命题意图： 本套试题主要考察了高二数学（北师大版）选修 2－1 的常用逻辑 用语、圆锥曲线、空间向量等相关知识。本套试题难、中、易比率为 2： 3：5 来设置的。其中考察重点在于基本知识、基本技能、基本技巧。 个章知识点得分比率基本为 1：1：1。在于培养学生分析问题解决问题 的能力。 高二数学必修 5 试卷参考答案 一 选择题（本题共 12 个小题，每小题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C A A B D D B A D C D 二．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 13. 否定形式：末位数是 0 或 5 的整数，不能被 5 整除 否命题：末位数不是 0 或 5 的整数，不能被 5 整除 14. 2 2 18 6 x y  2 23 4 125 25 y x  15. 2 29 15 20 x y  16. ①、③ 三 解答题（本大题共 6 个小题，共 74 分） 17、（本题满分 14 分）解:(1)命题 P 的否命题为:“若 ,0ac 则二次方程 02  cbxax 有实根”. (2)命题 P 的否命题是真命题. 证明如下: ,04,0,0 2  acbacac  二次方程 02  cbxax 有实根. ∴该命题是真命题. 综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是 a＜0 或 0＜a≤1 由以上推理的可逆性，知当 a＜0 时方程有异号两根；当 0＜a≤1 时，方程有两负根. 故 a＜0 或 0＜a≤1 是方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根的充分条件. 18、（1）分别以 DA,DC,DD1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 A（2,0,0）, A1（2,0,2）,E(1,2,0), D(0,0,0), C(0,2,0), F(0,0,1), 则    1 2,0,2 , 1,2,0 ,DA DE   设平面 A1DE 的法向量是  , , ,n a b c 则 1 2 2 0 2 0 n DA a c n DE a b              ， 取  2,1,2 ,n   点 A 到平面 A1DE 的距离是 4 9 DA n d n       。 （2）  0, 2,1CF   , 2 2 0,CF n CF n           ,所以，CF∥平面 A1DE。 （3）  0,2,0DC  是面 AA1D 的法向量， 1cos 3 DC n DC n        19、（1）∵ 2 2 2PB PC BC  ∴PC⊥BC, 因为 PA⊥平 面 ABC，所以 PA⊥BC， ( ) 0 0 0,AC BC AP PC BC AP BC PC BC                   所以，AC⊥BC； （2）因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥AC， 0PA AC   , 设 PA ＝ x ， 又 异 面 直 线 PB 与 AC 所 成 的 角 为 600 ， 则 cos 3PB AC PB AC       。 而 ( )PB AC PA AB AC PA AC AB AC AB AC                    所以 AB AC   cos 3PB AC   ， AB AC   34 3 94    。 有 29 16 3cos 3x    ， 2 5x  。 当 PA＝2 5 时，异面直线 PB 与 AC 所成的角为 600。 20、法一：设抛物线方程为 y2= -2px （p>0）,则焦点 F（ 2 p ，0）， 由题设可 知 解之得，      62 4 m p 或      62 4 m p      25)2/3( 6 22 2 pm pm x y OF L M(-3,m) N C B A P 法二：设抛物线方程为 y2= -2px（p>0）,则焦点 F（ 2 p ，0）， 准线方程为 x= 2 p ，由抛物线定义得， |MN|=3+ 2 p =5, 所以 p=4 ,抛物线方程为 y2= - 8x, 又 M(-3,m)在抛物线上， 于是 62m 或 62m 21. 解：（1）联立方程 2 23x -y =1 1y ax     ，消去 y 得：（3-a2）x2-2ax-2=0. 设 A( 1 1,x y ),B( 2 2,x y ),那么： 1 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 (2 ) 8(3 ) 0 ax x a x x a a a              。 由于以 AB 线段为直径的圆经过原点，那么：OA OB  ，即 1 2 1 2 0x x y y  。 所以： 1 2 1 2( 1)( 1) 0x x ax ax    ，得到： 2 2 2 2 2 2( 1) 1 0, 63 3 aa a aa a         ，解得 a= 1 (2)假定存在这样的 a，使 A( 1 1,x y ),B( 2 2,x y )关于直线 1 2y x 对称。 那么： 2 2 1 1 2 2 2 2 3x -y =1 3x -y =1    ，两式相减得： 2 2 2 2 1 2 1 23(x -x )=y -y ，从而 1 2 1 2 1 2 1 2 y -y 3(x +x )= .......(*)x -x y +y 因为 A( 1 1,x y ),B( 2 2,x y )关于直线 1 2y x 对称，所以 1 2 1 2 1 2 1 2 y +y 1 x +x=2 2 2 y -y 2x -x       代入（*）式得到：-2=6，矛盾。 也就是说：不存在这样的 a，使 A( 1 1,x y ),B( 2 2,x y )关于直线 1 2y x 对称。