海淀区初三数学期末试卷及答案

初三第一学期期末学业水平调研 数 学 2018．1 学校 姓名 准考证号 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．． 1．抛物线  21 2y x   的对称轴是 A． 1x   B． 1x  C． 2x   D． 2x  2．在△ABC 中，∠C  90°．若 AB  3，BC  1，则 sin A 的值为 A． 1 3 B． 2 2 C． 2 2 3 D．3 3．如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DE∥BC．若 AB  4，AD  2，DE  1.5， 则 BC 的长为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 100°，得到△ADE．若点 D 在线段 BC 的延长线上，则 B 的大小为 A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图，△OAB∽△OCD，OA:OC  3:2，∠A  α，∠C  β，△OAB 与△OCD 的面积分别是 1S 和 2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是 1C 和 2C ，则下列等式一定成立的是 A． 3 2 OB CD  B． 3 2    C． 1 2 3 2 S S  D． 1 2 3 2 C C  6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（3，4）出发，绕点 O 顺时针 旋转一周，则点 A 不．经过 A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 7．如图，反比例函数 ky x  的图象经过点 A（4，1），当 1y  时，x 的取值 范围是 A． 0x  或 4x  B． 0 4x  C． 4x  D． 4x  8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B，小兰 从点 C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点 C，两人的运动 路线如图 1 所示，其中 AC  DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时 游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x（单位：秒）的对应关系如 图 2 所示．则下列说法正确的是 图 1 图 2 A．小红的运动路程比小兰的长 B．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇 C．当小红运动到点 D 的时候，小兰已经经过了点 D D．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径 C D A O B 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．方程 2 2 0x x  的根为 ． 10．已知∠A 为锐角，且 tan 3A  ，那么∠A 的大小是 °． 11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，则此反比例函数表 达式可以是 ．（写出一个即可） 12．如图，抛物线 2y ax bx c   的对称轴为 1x  ，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为 ． 13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为 ． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA，PC 分别与⊙O 相切于点 A，点 C，若∠P  60°， PA  3 ，则 AB 的长为 ． 15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆 长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设 小张距大巴车尾 x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线 3.2m，若小 张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 ． 16．下面是“作一个 30°角”的尺规作图过程． 已知：平面内一点 A． 求作：∠A，使得∠A  30°． 作法：如图， （1）作射线 AB； （2）在射线 AB 上取一点 O，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射 线 AB 相交于点 C； （3）以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点 D，作射线 AD． ∠DAB 即为所求的角． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算： 2sin 30 ° 2 cos 45 ° 8 ． 18．已知 1x  是关于 x 的方程 2 22 0x mx m   的一个根，求 (2 )1m m  的值． 19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB  3 2 ，AC  5， sin 3 5C  ，求 BC 的长． 20．码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记 平均卸货速度为 v（单位：吨/天），卸货天数为 t． （1）直接写出 v 关于 t 的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围） （2）如果船上的货物 5 天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？ 21．如图，在△ABC 中，∠B  90°，AB  4，BC  2，以 AC 为边作△ACE，∠ACE  90°，AC=CE，延长 BC 至 点 D，使 CD  5，连接 DE．求证：△ABC∽△CED． 22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图 1 中 BAC 为锐角，图 2 中 BAC 为直角，图 3 中 BAC 为钝角）． 在△ABC 的边 BC 上取 B ， C 两点，使 AB B AC C BAC     ，则 ABC△ ∽ B BA△ ∽ C AC△ ，  AB B B AB  ，  AC C C AC  ，进而可得 2 2AB AC  ；（用 BB CC BC ， ， 表示） 若 AB=4，AC=3，BC=6，则 B C   ． 23．如图，函数 ky x  （ 0x  ）与 y ax b  的图象交于点 A（-1，n）和点 B（-2，1）． （1）求 k，a，b 的值； 图 1 图 2 图 3 （2）直线 x m 与 ky x  （ 0x  ）的图象交于点 P，与 1y x   的图象交于点 Q，当 90PAQ   时，直 接写出 m 的取值范围． 24．如图，A，B，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE∥AB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的延长线 上取一点 F，使得 EF  DE． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）连接 AF 交 DE 于点 M，若 AD  4，DE  5，求 DM 的长． 25．如图，在△ABC 中， 90ABC   ， 40C  °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 50°至 AD ，连接 BD ．已知 AB  2cm，设 BD 为 x cm，B D为 y cm． 小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程， 请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） （1）通过取点、画图、测量，得到了 x与 y 的几组值，如下表： / cmx 0 0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3 / cmy 1.7 1.3 1.1 0.7 0.9 1.1 （2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）结合画出的函数图象，解决问题： 线段 BD 的长度的最小值约为__________ cm ； 若 BD  BD ，则 BD 的长度 x 的取值范围是_____________． 26．已知二次函数 2 4 3y ax ax a   ． （1）该二次函数图象的对称轴是 x  ； （2）若该二次函数的图象开口向下，当1 4x  时， y 的最大值是 2，求当1 4x  时， y 的最小值； （3）若对于该抛物线上的两点 1 1( ) P x y， ， 2 2( ) Q x y， ，当 1 +1t x t  ， 2 5x  时，均满足 1 2y y ，请结 合图象，直接写出 t 的最大值． 27．对于⊙C 与⊙C 上的一点 A，若平面内的点 P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点 Q（点 Q 可以与点 P 重合），且 1 2PA QA   ，则点 P 称为点 A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点 O 为坐标原点，⊙O 的半径为 1，点 A（-1，0）． （1）若点 P 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点 P 的坐标________； （2）若点 B 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且满足 1tan 2 BAO  ，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围； （3）直线 3y x b  与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在点 A 关于⊙O 的“生长点”， 直接写出 b 的取值范围是_____________________________． 28．在△ABC 中，∠A  90°，AB  AC． （1）如图 1，△ABC 的角平分线 BD，CE 交于点 Q，请判断“ 2QB QA ”是否正确：________（填“是” 或“否”）； （2）点 P 是△ABC 所在平面内的一点，连接 PA，PB，且 PB  2 PA． ①如图 2，点 P 在△ABC 内，∠ABP  30°，求∠PAB 的大小； ②如图 3，点 P 在△ABC 外，连接 PC，设∠APC  α，∠BPC  β，用等式表示α，β之间的数量关系， 并证明你的结论． 图 1 图 2 图 3 初三第一学期期末学业水平调研 数学参考答案及评分标准 2018．1 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C B D C A D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．0 或 2 10．60 11． 1y x  （答案不唯一） 12．（ 2 ，0） 13．6 14．2 15．10 16．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆 心角的一半； 或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°， 直角三角形两个锐角互余； 或：直径所对的圆周角为直角， 1sin 2A  ， A 为锐角， 30A  . 三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每小题 7 分） 17．解：原式 = 1 22 2 2 22 2     ………………3 分 = 1 2 2 2  = 1 2 ………………5 分 18．解：∵ 1x  是关于 x 的方程 2 22 0x mx m   的一个根， ∴ 21 2 0m m   . ∴ 22 1m m  . ………………3 分 ∴ 2(2 ) 21 1m mm m   . ………………5 分 19．解：作 AD⊥BC 于点 D， ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. ∵ AC=5， 3sin 5C  ， ∴ sin 3AD AC C   . ………………2 分 ∴ 在 Rt△ACD 中， 2 2 4CD AC AD   . ………………3 分 ∵ AB 3 2 ， ∴ 在 Rt△ABD 中， 2 2 3BD AB AD   . ………………4 分 ∴ 7BC BD CD   . ………………5 分 20．解： （1） 240 t . ………………3 分 （2）由题意，当 5t  时， 240 48v t   . ………………5 分 答：平均每天要卸载 48 吨. 21．证明：∵ ∠B=90°，AB=4，BC=2， ∴ 2 2 2 5AC AB BC   . ∵ CE=AC， ∴ 2 5CE  . ∵ CD=5， ∴ AB AC CE CD  . ………………3 分 ∵ ∠B=90°，∠ACE=90°， ∴ ∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°. ∴ ∠BAC=∠DCE. ∴ △ABC∽△CED. ………………5 分 22．BC，BC，  BC BB CC  ………………3 分 11 6 ………………5 分 23．解： （1）∵ 函数 ky x  （ 0x  ）的图象经过点 B（-2， 1）， ∴ 12 k  ，得 2k   . ………………1 分 ∵ 函数 ky x  （ 0x  ）的图象还经过点 A（-1，n）， ∴ 2 21n   ，点 A 的坐标为（-1，2）. ………………2 分 ∵ 函数 y ax b  的图象经过点 A 和点 B， ∴ 2, 2 1. a b a b       解得 1, 3. a b    ………………4 分 （2） 2 0m   且 1m   . ………………6 分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC， ∴ ∠ABD=∠CBD. ∵ DE∥AB， ∴ ∠ABD=∠BDE. ∴ ∠CBD=∠BDE. ………………1 分 ∵ ED=EF， ∴ ∠EDF=∠EFD. ∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°， ∴ ∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°. ∴ OD⊥DF. ………………2 分 ∵OD 是半径， ∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3 分 （2）解： 连接 DC， ∵ BD 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAD=∠BCD=90°. ∵ ∠ABD=∠CBD，BD=BD， ∴ △ABD≌△CBD. ∴ CD=AD=4，AB=BC. ∵ DE=5， ∴ 2 2 3CE DE DC   ，EF=DE=5. ∵ ∠CBD=∠BDE， ∴ BE=DE=5. ∴ 10BF BE EF   ， 8BC BE EC   . ∴ AB=8. ………………5 分 ∵ DE∥AB， ∴ △ABF∽△MEF. ∴ AB BF ME EF  . ∴ ME=4. ∴ 1DM DE EM   . ………………6 分 25．（1）0.9. ………………1 分 （2）如右图所示. ………………3 分 （3）0.7， ………………4 分 0 0.9x  . ………………6 分 26．解： （1）2． ………………1 分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线 2x  ， ∴ 当 2x  时，y 取到在1 4x  上的最大值为 2. ∴ 4 8 3 2a a a   . ∴ 2a   ， 22 8 6y x x    . ………………3 分 ∵ 当1 2x  时，y 随 x 的增大而增大， ∴ 当 1x  时，y 取到在1 2x  上的最小值0 . ∵ 当 2 4x  时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 4x  时，y 取到在 2 4x  上的最小值 6 . ∴ 当1 4x  时，y 的最小值为 6 . ………………4 分 （3）4. ………………6 分 27．解： （1）（2，0）(答案不唯一). ………………1 分 （2）如图，在 x 轴上方作射线 AM，与⊙O 交于 M，且使得 1tan 2OAM  ，并在 AM 上取点 N，使 AM=MN，并由对称性，将 MN 关于 x 轴对称，得 M N ，则由题意，线段 MN 和 M N 上的点是满 足条件的点 B. 作 MH⊥x 轴于 H，连接 MC， ∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°. ∵ AC 是⊙O 的直径， ∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°. ∴ ∠OAM=∠HMC. ∴ 1tan tan 2HMC OAM    . ∴ 1 2 MH HC HA MH   . 设 MH y ，则 2AH y ， 1 2CH y ， ∴ 5 22AC AH CH y    ，解得 4 5y  ，即点 M 的纵坐标为 4 5 . 又由 2AN AM ，A 为（-1，0），可得点 N 的纵坐标为 8 5 ， 故在线段 MN 上，点 B 的纵坐标 t 满足： 4 8 5 5t  . ………………3 分 由对称性，在线段 M N 上，点 B 的纵坐标 t 满足： 8 4 5 5t    .………………4 分 ∴ 点 B 的纵坐标 t 的取值范围是 8 4 5 5t    或 4 8 5 5t  . （3） 4 3 1b     或1 4 3b   . ………………7 分 28．解： （1）否. ………………1 分 （2）① 作 PD⊥AB 于 D，则∠PDB=∠PDA=90°， ∵ ∠ABP=30°， ∴ 1 2PD BP . ………………2 分 ∵ 2PB PA ， ∴ 2 2PD PA . ∴ 2sin 2 PDPAB PA    . 由∠PAB 是锐角，得∠PAB=45°. ………………3 分 另 证 ： 作 点 P 关 于 直 线 AB 的 对 称 点 'P ， 连 接 ', ' , 'BP P A PP ， 则 ' , ' , ' , 'P BA PBA P AB PAB BP BP AP AP        . ∵∠ABP=30°， ∴ ' 60P BP   . ∴△ 'P BP 是等边三角形. ∴ 'P P BP . ∵ 2PB PA ， ∴ ' 2P P PA . ………………2 分 ∴ 2 2 2' 'P P PA P A  . ∴ ' 90PAP   . ∴ 45PAB   . ………………3 分 ② 45    ，证明如下： ………………4 分 作 AD⊥AP，并取 AD=AP，连接 DC，DP. ∴ ∠DAP=90°. ∵ ∠BAC=90°， ∴ ∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP, 即 ∠BAP=∠CAD. ∵ AB=AC，AD=AP， ∴ △BAP≌△CAD. ∴ ∠1=∠2，PB=CD. ………………5 分 ∵ ∠DAP=90°，AD=AP， ∴ 2PD PA ，∠ADP=∠APD=45°. ∵ 2PB PA ， ∴ PD=PB=CD. ∴ ∠DCP=∠DPC. ∵ ∠APC  α，∠BPC  β， ∴ 45DPC     ， 1 2       . ∴ 3 180 2 90 2DPC       . ∴ 1 3 90 45ADP             . ∴ 45    . ………………7 分