丰台区初三数学期末试卷及答案

丰台区 2017～2018 学年度第一学期期末练习 初三数学 2018. 01 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果 3 2a b ( 0ab  ），那么下列比例式中正确的是 A． 3 2 a b  B． 2 3 b a  C． 2 3 a b D． 3 2 a b 2．将抛物线 y = x2 向上平移 2 个单位后得到新的抛物线的表达式为 A． 2 2y x  B． 2 2y x  C．  22y x  D．  22y x  3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则 tanA 的值为 A． 3 5 B． 3 4 C． 4 5 D． 4 3 4．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体 和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割 的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A．① B．② C．③ D．④ 5．如图，点 A 为函数 ky x  （x > 0）图象上的一点，过点 A 作 x 轴 的平行线交 y 轴于点 B，连接 OA，如果△AOB 的面积为 2，那么 k 的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 考 生 须 知 1. 本试卷共 6 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。 2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔 作答。 5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 ② ① ③ ④ 6．如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是 A B C D 7．如图，A，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与 A，B 重合的任意一点. 如果∠AOB=140°， 那么∠ACB 的度数为 A．70° B．110° C．140° D．70°或 110° 8．已知抛物线 2y ax bx c   上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表： x … 1 0 1 2 3 … y … 3 0 1 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线 2y ax bx c   的开口向下； ②抛物线 2y ax bx c   的对称轴为直线 1x   ； ③方程 2 0ax bx c   的根为 0 和 2； ④当 y＞0 时，x 的取值范围是 x＜0 或 x＞2. 其中正确的是 A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．如果 sinα = 1 2 ，那么锐角α = . 10．半径为 2 的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 11．如图 1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图 1 抽象为图 2， 其中线段 AB 为蜡烛的火焰，线段 A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰 AB 的高 度为 2cm，倒立的像 A＇B＇的高度为 5cm，点 O 到 AB 的距离为 4cm，那么点 O 到 A＇B＇的距离为 cm. 12．如图，等边三角形 ABC 的外接圆⊙O 的半径 OA 的长为 2，则其内切圆半径的 长为 . 13．已知函数的图象经过点（2，1），且与 x 轴没有交点，写出一个满足题意的函数 的表达式 . 14．在平面直角坐标系中，过三点 A（0，0），B（2，2）， C（4，0）的圆的圆心坐标为 . 15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为 8m 的正方 形 ABCD，改建的绿地是矩形 AEFG，其中点 E 在 AB 上，点 G 在 AD 的延长线上，且 DG = 2BE. 如果 设 BE 的长为 x（单位：m），绿地 AEFG 的面积为 y（单位： m2），那么 y 与 x 的函数的表达式为 ；当 BE = m 时，绿地 AEFG 图 2 图 1 的面积最大. 16．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程. 请回答以下问题： （1）连接 OA，OB，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是 ； （2）直线 PA，PB 是⊙O 的切线，依据是 ． 三、解答题（本题共 68 分，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26，27 题，每小题 7 分，第 28 题 8 分） 17．计算： 2cos30 sin 45 tan 60    . 18．如图，△ABC 中，DE∥BC，如果 AD = 2，DB = 3， AE = 4，求 AC 的长. 19．已知二次函数 y = x2 - 4x + 3． （1）用配方法将 y = x2 - 4x + 3 化成 y = a(x - h)2 + k 的形式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中画出该函数的图象； （3）当 0≤x≤3 时，y 的取值范围是 . 20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯 锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，AE = 1 寸，CD = 10 寸，求直径 AB 的长． 请你解答这个问题. 已知：⊙O 和⊙O 外一点 P． 求作：过点 P 的⊙O 的切线． 作法：如图， （1）连接 OP； （2）分别以点 O 和点 P 为圆心，大于 1 2OP 的长为 半径作弧，两弧相交于 M，N 两点； （3）作直线 MN，交 OP 于点 C； （4）以点 C 为圆心，CO 的长为半径作圆， 交⊙O 于 A，B 两点； （5）作直线 PA，PB． 直线 PA，PB 即为所求作⊙O 的切线． 21．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1y x  与双曲线 ky x  的一个交点为 P(m，2). （1）求 k 的值； （2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当 a > b 时，n 的取值范围. 22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实 地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点 A 处用高为 1.5m 的测角仪 AC 测得人民英雄 纪念碑 MN 顶部 M 的仰角为 35°，然后在测量点 B 处用同样的测角仪 BD 测得人民英雄纪念碑 MN 顶部 M 的仰角为 45°，最后测量出 A，B 两点间的距离为 15m，并且 N，B，A 三点在一条直线上，连接 CD 并延长交 MN 于点 E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑 MN 的高度. （参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7） 23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪 AB，喷水口 A 距地面 2m，喷出水流的运 动路线是抛物线. 如果水流的最高点 P 到喷水枪 AB 所在直线的距离为 1m，且 到地面的距离为 3.6m，求水流的落地点 C 到水枪底部 B 的距离. 24．如图， AB 是⊙O 的直径，点 C 是 »AB 的中点，连接 AC 并延长至点 D ，使 CD AC ，点 E 是 OB 上一点，且 2 3 OE EB  ，CE 的延长线交 DB 的延长线于点 F ， AF 交⊙O 于点 H ， 连接 BH . （1）求证： BD 是⊙O 的切线； （2）当 2OB  时，求 BH 的长. 25．如图，点 E 是矩形 ABCD 边 AB 上一动点（不与点 B 重合），过点 E 作 EF⊥DE 交 BC 于点 F，连接 DF．已 知 AB = 4cm，AD = 2cm，设 A，E 两点间的距离为 xcm，△DEF 面积为 ycm2． 小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）确定自变量 x 的取值范围是 ； （2）通过取点、画图、测量、分析，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y/cm2 4.0 3.7 3.9 3.8 3.3 2.0 … （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为 cm． 26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y x bx c    经过点（2，3），对称轴为直线 x =1. （1）求抛物线的表达式； （2）如果垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于两点 A（ 1x ， 1y ），B（ 2x ， 2y ），其中 01 x ， 02 x ，与 y 轴 交于点 C，求 BC  AC 的值； （3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在 x 轴上，原抛物线上一点 P 平移后对应点为点 Q，如果 OP=OQ，直接写出点 Q 的坐标. 27．如图，∠BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一个以点 C 为顶点的 45°角绕点 C 旋转，角的两边与 BA，DA 交于点 M，N，与 BA，DA 的延长线交于点 E，F，连接 AC. （1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA=∠ECA 时，如图 1，求证：AE=AF； （2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA 时，如图 2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段 AE，AF 之间的数量关系，并证明. 28．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C，给出如下定义：如果⊙C 的半径为 r，⊙C 外一点 P 到⊙C 的切线长小于或等于 2r，那么点 P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为 1 时， ①在点 P1（ 1 2 ， 3 2 ），P2（0，－2），P3（ 5 ，0）中，⊙O 的“离心点”是 ； ②点 P（m，n）在直线 3y x   上，且点 P 是⊙O 的“离心点”，求点 P 横坐标 m 的取值范 围； （2）⊙C 的圆心 C 在 y 轴上，半径为 2，直线 12 1  xy 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B. 如果线段 AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心 C 纵坐标的取值范围. 图 2图 1 丰台区 2017—2018 学年度第一学期期末练习 初三数学参考答案 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B D A D D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9. 30°； 10. 2 π3 ； 11. 10； 12. 1； 13. 2y x  或 2 4 5y x x   等，答案不唯一； 14.（2，0）； 15. 22 8 64(0 8)y x x x      （可不化为一般式），2； 16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三、解答题（本题共 68 分，第 17-24 题每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26,27 题每小题 7 分，第 28 题 8 分） 17. 解： 2cos30 sin 45 tan 60     = 3 22 32 2    ，……3 分 = 23 32   ……4 分 = 2 2 . ……5 分 18. 解：∵DE∥BC， ∴ AD AE DB EC  .……2 分 即 2 4 3 EC  ． ∴EC＝6．……4 分 ∴AC＝AE + EC＝10． ……5 分 其他证法相应给分. 19.解：（1） 2 4 4 4+3y x x     22 1x   . ……2 分 （2）如图： ….3 分 （3） 1 3y   ….5 分 20.解：连接 OC， ∵AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，且 CD=10，∴∠BEC＝90°， 1 52CE CD  .……2 分 设 OC=r，则 OA=r，∴OE= 1r  . 在 Rt OCE 中， ∵ 2 2 2OE CE OC  ， ∴ 2 21 25r r   .∴ =13r . …4 分 ∴AB = 2r= 26（寸）. 答：直径 AB 的长 26 寸． …5 分 21. 解：（1） 一次函数 1y x  的图象经 过点 ( ,2)P m ， 1m  ． ……… 1 分  点 P 的坐标为(1，2). ……… 2 分 ∵反比例函数 ky x  的图象经过点 P(1，2)，  2k  ………3 分 （2） 0n  或 2n  …………5 分 22.解：由题意得，四边形 ACDB，ACEN 为矩 形， ∴EN=AC=1.5. AB=CD=15. 在 Rt MED 中， ∠MED＝90°，∠MDE＝45°， ∴∠EMD＝∠MDE＝45°. ∴ME＝DE. …2 分 设 ME＝DE＝x，则 EC＝x+15. 在 Rt MEC 中，∠MEC＝90°， ∠MCE＝35°， ∵ tanME EC MCE   ， ∴  0.7 15x x  .∴ 35x  . ∴ 35ME  . …4 分 ∴ 36.5MN ME EN   . ∴人民英雄纪念碑 MN.的高度约为 36.5 米. …5 分 23.解：建立平面直角坐标系，如图. 于是抛物线的表达式可以设为  2y a x h k   根据题意，得出 A，P 两点的坐标分别为 A （0，2），P（1，3.6）. ……2 分 ∵点 P 为抛物线顶点， ∴ 1 3.6h k ， . ∵点 A 在抛物线上， ∴ 3.6 2a   ， 1.6a   . …3 分 ∴它的表达式为  21.6 1 3.6y x    . ……4 分 当点 C 的纵坐标 y=0 时，有  21.6 1 3.6=0x   . 1 0.5x   （舍去）， 2 2.5x  . ∴BC=2.5. ∴水流的落地点 C 到水枪底部 B 的距离为 2.5m. ……5 分 24.（1）证明：连接 OC， ∵AB 为⊙O 的直径，点 C 是 »AB 的中点，∴∠AOC＝90°. ……1 分 ∵OA OB , CD AC ，∴OC 是 ABD 的中位线. ∴OC∥BD. ∴∠ABD＝∠AOC＝90°. ……2 分 ∴ AB BD .∴ BD 是⊙O 的切线. ……3 分 其他方法相应给分. （2）解：由（1）知 OC∥BD，∴ △ OCE∽△BFE. ∴ OC OE BF EB  . ∵OB = 2，∴OC= OB = 2，AB = 4，∵ 2 3 OE EB  ，∴ 2 2 3BF  ，∴BF=3. ……4 分 在 Rt ABF 中，∠ABF＝90°， 2 2 5AF AB BF   . ∵ 1 1 2 2ABFS AB BF AF BH    ，∴ AB BF AF BH   .即 4 3 5BH  . ∴BH =12 5 . .……5 分 其他方法相应给分. 25.（1） 0 4x  ；.……1 分 （2）3.8，4.0； ……3 分 （3）如图 ……4 分 （4）0 或 2. ……6 分 26. 解：（1） 1,2 4 2 3. b b c       ……1 分 解得 2, 3. b c    . ……2 分 ∴ 322  xxy . ……3 分 （2）如图，设 l 与对称轴交于点 M，由抛物线的对称性可得，BM= AM. …… 3 分 ∴BC-AC= BM+MC-AC= AM+MC-AC= AC+CM+MC-AC=2 CM=2. ……5 分 其他方法相应给分. （3）点 Q 的坐标为（1 2, 2  ）或（1 2, 2  ）．……7 分 27.解：（1）证明：∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，∴ △ ABC≌△ADC. …1 分 ∴∠BAC=∠DAC=45°，可证∠FAC=∠EAC=135°. ……2 分 又∵∠FCA=∠ECA， ∴△ACF≌△ACE. ∴AE=AF. ……3 分 其他方法相应给分. （2）过点 C 作 CG⊥AB 于点 G，求得 AC= 2 .……4 分 ∵∠FAC=∠EAC=135°，∴∠ACF+∠F=45°. 又∵∠ACF+∠ACE=45°，∴∠F=∠ACE. ∴ △ ACF∽△AEC. ……5 分 ∴ AC AF AE AC  ，即 AFAEAC 2 . ……6 分 ∴ 2 AFAE . ……7 分 28.解：（1）① 2P ， 3P ； ……2 分 ②设 P（m,－m＋3），则   53 22  mm . …3 分 解得 11 m ， 22 m . ……4 分 故 1≤m≤2. ……6 分 （2）圆心 C 纵坐标 Cy 的取值范围为： 521 ≤ Cy ＜ 51 或3＜ Cy ≤ 4 . ……8 分