2016-2017 学年度上学期高中学段高三联合考试数学理科试卷
使用时间：2016.10.20 命题人：刘新风 校对人：来洪臣
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 RxxxyyA ,122
，
0,1 xRx
x
xyyB 且 ，则
ABCR )( （ ）
A． ]2,2( B． 2,2 C． ),2[ D． )2,2(
2.若复数 z满足
71 i i
z
（ i为虚数单位），则复数 z的虚部为 ( )
A．1 B． 1 C． i D． i
3. 指数函数 ,0()( aaxf x
且 )1a 在 R上是减函数，则函数
3)2()( xaxg 在 R 上的
单调性为 （ ）
A.单调递增 B.单调递减
C.在 ),0( 上递增，在 )0,( 上递减 D .在 ),0( 上递减，在 )0,( 上递增
4.已知命题 p: ( ,0),3 4x xx ;命题 q： (0, )x ， xx sin＞ 则下列命题中的真命
题是 ( )
A. p q B. ( )p q C. ( )p q D. p q
5．在下列区间中，函数 ( )= +4 3xf x e x 的零点所在的区间为（ ）
A.（
1-
4
，0） B.（0，
1
4
） C.（
1
4
，
1
2
） D.（
1
2
，
3
4
）
6.设 2018log,2016log,2014log 100910081007 cba ，则 （ ）
A． abc ＞＞ B． acb ＞＞ C． bca ＞＞ D． cba ＞＞
7.已知函数 xaxy cossin 的图像关于
3
x 对称，则函数 xxay cossin 的图像的
一条对称轴是( )
A．
6
5
x B．
3
2
x C．
3
x D．
6
x
8． 函数
1
ln | |x xy
e e
的部分图象大致为 （ ）
9．函数
12 22
)
2
1()( mmxxxf 的单调增区间与值域相同，则实数m 的取值为 ( )
A． 2 B． 2 C． 1 D．1
10.在整数集 Z 中，被 7 除所得余数为 r的所有整数组成的一个“类”，记作 ][r ，即
Zkrkr 7][ ，其中 6,...2,1,0r .给出如下五个结论：
① ]1[2016 ； ② ]4[3 ；③ ]6[]3[ ；
④ ]6[]5[]4[]3[]2[]1[]0[ Z ；
⑤“整数 ba, 属于同一“类””的充要条件是“ ]0[ba ”。
其中，正确结论的个数是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11.已知 )(xf 是定义在 R上的偶函数，对于 Rx ,都有 0)()2( xfxf ,当 [0,1]x
时，
2( ) 1f x x ，若
2[ ( )] ( ) 3 0a f x bf x 在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是
（ ）
A.7 B.8 C.10 D.12
12.奇函数 )(xf 定义域是 )1,0()0,1( ， 0)
3
1( f ，当 x＞0时，总有
)1ln()()1( 2' xxfx
x
＞2 )(xf 成立，则不等式 )(xf ＞0的解集为
A．
3
10
3
1-1 ＜＜或＜＜ xxx B．
1
3
1
3
1-1 ＜＜或＜＜ xxx
C．
1
3
10
3
1
＜＜或＜＜ xxx D．
3
100
3
1
＜＜或＜＜ xxx
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
13.函数 2logf x x 在点 1x 处切线的斜率为 .
14.由抛物线 12 xy ，直线 x＝0， x＝2及 x轴围成的图形面积为 .
15. 中，ABC 点D是边 BC上的一点， ，
3
DACB ，， 722 ADBD 则CD的
长为_____．
16.已知函数
ln , 0,
( )
ln( ) , 0.
x x x
f x
x x x
则关于 m 的不等式
1 1( ) ln 2
2
f
m
的解集
为 .
三、解答题：本大题包括 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分 10 分）
设m 、 a R ， 2 1 1f x x a x ， 2 2
4
mg x mx ax 。若"对于一切实数 x，
0f x ”是“对于一切实数 x， 0g x ”的充分条件，求实数m 的取值范围。
18．（本小题满分 12 分）
函数 )
2
,40,0)(sin()( AxAxf 过点 )
2
1,0( ，且当
6
x 时，函数 )(xf
取得最大值 1.
（1） 将函数 )(xf 的图象向右平移
6
个单位得到函数 )(xg ，求函数 )(xg 的表达式;
（2） 在（1）的条件下，函数 1cos2)()()( 2 xxgxfxh ，如果对于 Rx ，都有
)()()( 21 xhxhxh ，求 || 21 xx 的最小值.
19．(本小题满分 12分)
已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1，侧棱 AA1垂直于底面 ABC，AB=BC=AA1=4，D为 BC的中点，
2
ABC
（1）若 E为棱 CC1的中点，求证：DE⊥A1C；
（2）若 E为棱 CC1上异于端点的任意一点，设 CE与平面 ADE所成角为α，求满足 时,求
CE的长．
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
20. (本小题满分 12分)
在互联网时代，网校培训已经成为青少年学习的一种趋势，假设育才网校的套题每日的销售
量 h x （单位：千套）与销售价格 x（单位：元/套）满足的关系式 h x f x g x
（3 7x ），其中 f x 与 3x 成反比， g x 与 7x 的平方成正比，已知销售价格为
5元/套时，每日可售出套题 21 千套，销售价格为 3.5 元/套时，每日可售出套题 69 千套.
(1) 求 h x 的表达式；
(2) 假设该网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题 3 元（只考虑销售出的套数），
试确定销售价格 x的值，使育才网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留 1 位小数）
21. （本小题满分 12 分）
已知直线 1y x 与椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x 0a b 相交于 A、 B两点．
（1）若椭圆的离心率为
3
3
，焦距为 2，求椭圆的方程；
（2）若向量OA
与向量OB
互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 ]
2
2,
2
1[e 时，
求椭圆长轴长的最大值．
22. （本小题满分 12 分）
已知函数 f x e x ax (xR ) .
（1）当 1a 时，求函数 f x 的最小值；
（2）若 0x 时, ln 1 1f x x ,求实数 a的取值范围；
（3）求证：
2 e 3e
2
2016-2017 学年度上学期高中学段高三联合考试数学理科答案
使用时间：2016.10.20 命题人：刘新风 校对人：来洪臣
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分）
三、选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 RxxxyyA ,122
，
0,1 xRx
x
xyyB 且 ，则
ABCR )( （ D ）
A． ]2,2( B． 2,2 C． ),2[ D． )2,2(
3.若复数 z满足
71 i i
z
（ i为虚数单位），则复数 z的虚部为 (A )
A．1 B． 1 C． i D． i
3. 指数函数 ,0()( aaxf x
且 )1a 在 R上是减函数，则函数
3)2()( xaxg 在 R 上的
单调性为 （ B）
A.单调递增 B.单调递减
C.在 ),0( 上递增，在 )0,( 上递减 D .在 ),0( 上递减，在 )0,( 上递增
4.已知命题 p: ( ,0),3 4x xx ;命题 q： (0, )x ， xx sin＞ 则下列命题中的真命
题是 ( D )
A. p q B. ( )p q C. ( )p q D. p q
5．在下列区间中，函数 ( )= +4 3xf x e x 的零点所在的区间为（C ）
A.（
1-
4
，0） B.（0，
1
4
） C.（
1
4
，
1
2
） D.（
1
2
，
3
4
）
6.设 2018log,2016log,2014log 100910081007 cba ，则 （D ）
A． abc ＞＞ B． acb ＞＞ C． bca ＞＞ D． cba ＞＞
7.已知函数 xaxy cossin 的图像关于
3
x 对称，则函数 xxay cossin 的图像的
一条对称轴是( D )
A．
6
5
x B．
3
2
x C．
3
x D．
6
x
8． 函数
1
ln | |x xy
e e
的部分图象大致为 （ D ）
9．函数
12 22
)
2
1()( mmxxxf 的单调增区间与值域相同，则实数m 的取值为 ( B )
A． 2 B． 2 C． 1 D．1
10.在整数集 Z 中，被 7 除所得余数为 r的所有整数组成的一个“类”，记作 ][r ，即
Zkrkr 7][ ，其中 6,...2,1,0r .给出如下五个结论：
① ]1[2016 ；② ]4[3 ；③ ]6[]3[ ；
④ ]6[]5[]4[]3[]2[]1[]0[ Z ；
⑤“整数 ba, 属于同一“类””的充要条件是“ ]0[ba ”。
其中，正确结论的个数是 （ B ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11.已知 )(xf 是定义在 R上的偶函数，对于 Rx ,都有 0)()2( xfxf ,当 [0,1]x
时，
2( ) 1f x x ，若
2[ ( )] ( ) 3 0a f x bf x 在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是
（ C ）
A.7 B.8 C.10 D.12
12. 奇 函 数 )(xf 定 义 域 是 )1,0()0,1( ， 0)
3
1( f ， 当 x ＞ 0 时 ， 总 有
)1ln()()1( 2' xxfx
x
＞2 )(xf 成立，则不等式 )(xf ＞0的解集为 A
A．
3
10
3
1-1 ＜＜或＜＜ xxx B．
1
3
1
3
1-1 ＜＜或＜＜ xxx
C．
1
3
10
3
1
＜＜或＜＜ xxx D．
3
100
3
1
＜＜或＜＜ xxx
第Ⅱ卷 （非选择题 共 90 分）
四、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
13.函数 2logf x x 在点 1x 处切线的斜率为
2ln
1
.
14.由抛物线 12 xy ，直线 x＝0， x＝2及 x轴围成的图形面积为 2 .
15. 中，ABC 点D是边 BC上的一点， ，
3
DACB ，， 722 ADBD 则CD的
长为__7____．
16.已知函数
ln , 0,
( )
ln( ) , 0.
x x x
f x
x x x
则关于 m 的不等式
1 1( ) ln 2
2
f
m
的解集为
1 1( ,0) (0, )
2 2
.
三、解答题：本大题包括 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17.（本小题满分 10 分）
设m 、a R ， 2 1 1f x x a x ， 2 2
4
mg x mx ax 。若"对于对一切实数 x，
0f x ”是“对于一切实数 x， 0g x ”的充分条件，求实数m 的取值范围。
解：如果对于一切实数 x， 0f x
，那么
.04)1( 2 a …………2 分
解得
,31 a
即
a
的取值范围为
)3,1( …………3分
如果对于
一切实数 x， 0g x
，那么有
20, 2 ) 4 0
4
mm a m 且（
。
……5分
得 4
2
2 ma
，即
a
的取值范围为
)
2
,
2
( mm
。
…………6 分
因为
对于对一切实数 x， 0f x 是“对于一切实数 x， 0g x ”的充分条件，
所以 )3,1( )
2
,
2
( mm
且
0m
，
…………8分
则有
6,3
2
,1
2
mmm
解得
。即
m
的取值范围是
,6
。
…………10 分
19．（本小题满分 12 分）
函数 )
2
,40,0)(sin()( AxAxf 过点 )
2
1,0( ，且当
6
x 时，函数 )(xf
取得最大值 1.
（3） 将函数 )(xf 的图象向右平移
6
个单位得到函数 )(xg ，求函数 )(xg 的表达式;
（4） 在（1）的条件下，函数 1cos2)()()( 2 xxgxfxh ，如果对于 Rx ，都有
)()()( 21 xhxhxh ，求 || 21 xx 的最小值.
解（I）由题意 1A …………1分
将点 )
2
1,0( 代入解得
2
1sin ，
6
…………2 分
且 Zkk ,2
266
因为 40 所以 2 ，…………4分）
)
6
2sin()(
xxf .…………5 分 )
6
2sin()(
xxg …………7 分
61
614sin
（II） )
6
2sin(2)(
xxh ，…………9分
周期 T …………10 分 所以 || 21 xx 的最小值为
2
…………12 分
20．(本小题满分 12分)
已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1，侧棱 AA1垂直于底面 ABC，AB=BC=AA1=4，D为 BC的中点．
2
ABC
（1）若 E为棱 CC1的中点，求证：DE⊥A1C；
（3）若 E为棱 CC1上异于端点的任意一点，设 CE与平面 ADE所成角为α，求满足
时 CE的长．
解：（1）以 B 为原点，BC，BA，BB1所在直线分别为 x轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，……
2分
∵AB=BC=AA1=4，D为 BC的中点，E为棱 CC1的中点，
∴D（2，0，0），E（4，0，2），A1（0，4，4），C（4，0，0），
=（2，0，2）， =（4，-4，-4）， [来源:Z+xx+k.Com]
=0+8﹣8=0，
∴DE⊥A1C． ………5分
（2）设 E（4，0，t），0≤t≤4， =（0，0，t），A（0，4，0），
=（2，-4，0）， =（4，-4，t），
设平面 ADE的法向量 =（x，y，z），
则,
，取 x=2，得 =（2，1，﹣ ）， ………8 分
设 CE与平面 ADE所成角为α，满足 sinα= ，∴ = = ，
解得 t=3或 t=﹣3（舍），∴CE=3 ………12 分
23. (本小题满分 12分)
在互联网时代，网校培训已经成为青少年学习的一种趋势，假设北京育才网校的套题每日的
销售量 h x （单位：千套）与销售价格 x（单位：元/套）满足的关系式 h x f x g x
（3 7x ），其中 f x 与 3x 成反比， g x 与 7x 的平方成正比，已知销售价格为
5元/套时，每日可售出套题 21 千套，销售价格为 3.5 元/套时，每日可售出套题 69 千套.
(1) 求 h x 的表达式；
(2) 假设此网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题 3 元（只考虑销售出的套数），试
确定销售价格 x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留 1 位小数）
解： (1) 因为 f x 与 3x 成反比， g x 与 7x 的平方成正比，
所以可设： 1
3
kf x
x
， 22 7g x k x ， 1 2. 0 0k k ， ，
则 21
2 7
3
kh x f x g x k x
x
则 …………………………2 分
因为销售价格为 5 元/套时，每日可售出套题 21 千套，销售价格为 2.5 元/套
时，每日可售出套题 69 千套
所以， 5 21, 3.5 69h h ，即
1
2
1 2
4 21
2
492 69
4
k k
k k
，解得：
1
2
10
4
k
k
， ……4 分
所以， 210 4 7
3
h x x
x
…………………5分
(2) 由（1）可知，套题每日的销售量 210 4 7
3
h x x
x
，
设每日销售套题所获得的利润为 F x
则 2 2103 4 7 10 4 7 3
3
F x x x x x
x
3 24 68 364 578x x x ………………8 分
从而 212 136 364 4 3 13 7 ,3 7F x x x x x x ′
133,
3
x
时， 0F x ′ ，所以函数 F x 在
133,
3
上单调递增
13,7
3
x
时， 0F x ′ ，所以函数 F x 在
13 ,7
3
上单调递减…………10 分
所以
13 4.3
3
x 时，函数 F x 取得最大值
答：当销售价格为 4.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.…12 分
24. （本小题满分 12 分）
已知直线 1y x 与椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x 0a b 相交于 A、 B两点．
（1）若椭圆的离心率为
3
3
，焦距为 2，求椭圆的方程；
（2）若向量OA
与向量OB
互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 ]
2
2,
2
1[e 时，
求椭圆长轴长的最大值．
解：（1）
3
3
e ，即
3
3
a
c
，又 22 c ，∴ 3a ，则 222 cab ，
∴椭圆的方程为 1
23
22
yx
……4 分
（2）设 ),(),,( 2211 yxByxA ， 0 OBOAOBOA ，即 02121 yyxx …5 分
由
2 2
2 2 1
1
x y
a b
y x
，消去 y 得： 0)1(2)( 222222 baxaxba
由 0)1)((4)2( 222222 bbaaa ，整理得： 122 ba （*）
又
22
2
21
2
ba
axx
，
22
22
21
)1(
ba
baxx
1)()1)(1( 21212121 xxxxxxyy
由 02121 yyxx ，得： 01)(2 2121 xxxx
012)1(2
22
2
22
22
ba
a
ba
ba
，整理得： 02 2222 baba ……9 分
2 2 2 2 2 2b a c a a e 代入上式得：
2
2
1
112
e
a
， )
1
11(
2
1
2
2
e
a
…10 分
，
条件适合 122 ba
由此得： 62
3
42,
2
6
6
42
aa ，故长轴长的最大值为 6． ……12 分
22.（本小题满分 12 分）已知函数 f x e x ax (xR ) .
（1）当 1a 时，求函数 f x 的最小值；
（2）若 0x 时, ln 1 1f x x ,求实数 a的取值范围；
（3）求证：
2 e 3e
2
.
解:（1）当 1a 时， f x e x x ,则 1 1xf x
e
. …………………1分
令 0f x ，得 0x .
当 0x 时, 0f x ; 当 0x 时, 0f x . …………………………2 分
∴函数 f x 在区间 , 0 上单调递减,在区间 0, 上单调递增.
∴当 0x 时,函数 f x 取得最小值,其值为 0 1f . ……………………3 分
（2）解:若 0x 时, ln 1 1f x x ,即 ln 1 1 0xe ax x .(*)
令 g x ln 1 1xe ax x ,
则 1
1
xg x e a
x
.
① 若 2a ,由(Ⅰ)知 1xe x ,即 1xe x ,故 1xe x .
∴ 1 1 11 2 1 2 0
1 1 1
xg x e a x a x a a
x x x
.
…………………………………………4 分
∴函数 g x 在区间 0, 上单调递增.
∴ 0 0g x g .
∴(*)式成立. …………………………………………5分
②若 2a ,令 1
1
xx e a
x
,
则
2
2 2
1 11 0
1 1
x
x x e
x e
x x
.
∴函数 x 在区间 0, 上单调递增.
由于 0 2 0a , 1 1 11 1 0
1 1 1
aa e a a a
a a a
.
…………………………………………6分
故 0 0,x a ,使得 0 0x . …………………………………………7
则当 00 x x 时, 0 0x x ,即 0g x .
∴函数 g x 在区间 00, x 上单调递减.
∴ 0 0 0g x g ,即(*)式不恒成立. ………………………………………8 分
综上所述,实数 a的取值范围是 2, . ………………………………………9 分
（3）证明:由(Ⅱ)知,当 2a 时, g x 2 ln 1 1xe x x 在 0, 上单调递增.
则 1 0
2
g g
,即
1
2 11 ln 1 1 0
2
e
.…………………………………10 分
∴
3ln 2
2
e . …………………………………………11 分
∴
23
2
ee ,即
2 3
2
ee . …………………………………………12 分
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