钦州港开发区2015年秋高三数学（文）期末考试试题及答案

钦州港经济技术开发区中学 2015 年秋季学期期末考试 高三数学（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项 是符合题目要求的. 1. 已知全集 RU  ，集合 }32|{},42|{  xxBxxA ，则 )( BCA R 等于 A． )2,1( B． )4,3( C． )3,1( D． )4,3()2,1(  2.已知 ,21, 21 izimz  若 2 1 2 1  z z ，则实数 m 的值为 A．2 B． 2 C． 2 1 D． 2 1 3. 等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，且 4,6 13  aS ，则公差 d 等于 A．1 B． 3 5 C． 2 D．3 4.已知向量 )1,(),4,3( xba  ，且 ||)( abba  ，则实数 x 的值为 A． 3 B． 2 C．0 D． 3 或 0 5.已知 3 1)2sin(   ，则 )2cos(   等于 A． 9 7 B． 9 7 C． 9 2 D． 3 2 6.若向量 ba, 的夹角为 3 ，且 2|| a , 1|| b ,则向量 a 与 ba 2 的夹角为（ ）新*课*标*第*一*网 A． 6  B． 3  C． 3 2 D． 6 5 7. AB 是半径为 1 的圆的直径，在 AB 上任取一点 M ，过点 M 作垂直于 AB 的弦，则弦长 大于 3 的概率是( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 8. 设 x y R、   且 xy x y  ( ) 1，则（ ） A．x y  2 2 1( ) B．xy  2 1 C．x y  ( )2 1 2 D．xy  2 2 1( ) 9.已知三棱锥 ABCO  中，A、B、C 三点在以 O 为球心的球面上， 若 1 BCAB 0120ABC ，三棱锥 ABCO  的体积为 4 5 ，则球 O 的表面积为( ) A.  3 32 B. 16 C. 64 D. 544 10.下列说法中正确的个数是（ ） ○1 命题“若 0a  ，则 0ab  ”的否命题是：“若 0a  ，则 0ab  ”; ②命题 p :“ ( ,0),2 3x xx    ”，则 p :“ ），，  [0x xx 32  ”； ③对于实数 "0",,  abba 是 "11" ab  成立的充分不必要条件 ④如果命题“ p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题，那么命题 q 一定是真命题． A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知抛物线 )0(22  ppxy 的焦点为 F ，准线为l ，过点 F 的直线交抛物线于 BA, 两 点，过点 A 作准线l 的垂线，垂足为 E ，当 A 点的坐标为  1,3 y 时， AEF 为正三角形， 则此时 OAB 的面积为（ ）新*课标*第*一*网 A． 3 34 B． 3 C． 3 32 D． 3 35 12. 已知函数 sin( ) 1, 0,( ) 2 log ( 0, 1), 0a x xf x x a a x         且 的图像上关于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 50, 5       B． 5 ,15       C． 3 ,13       D． 30, 3       二、填空 题：(本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 13.已知 2z x y  ， ,x y 满足 , 2, , y x x y x a       且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是 _______. 14. 已知双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的右顶点、左焦点分别为 A 、 F ，点 ),0( bB  ， 若 |||| BFBABFBA  ，则双曲线的离心率值为 ． 15．已知双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的一条渐近线经过点 )6,3( ，则该渐近线与圆 16)2( 22  yx 相交所得的弦长为___________. 16．设 }{ na 是等比数列，公比 2q ， nS 为 }{ na 的前 n 项和.记 * 1 2 ,17 Nna SST n nn n   ， 设 0nT 为数列 }{ nT 的最大项，则 0n ___________. 17. （本小题 10 分）已知 )(xf =| x + l|+ | x ﹣2|， )(xg =| x + l|﹣| ax  |+ a （ Ra  ） （Ⅰ）解不等式 )(xf ≤5； （Ⅱ）若不等式 )(xf ≥ )(xg 恒成立，求 a 的取值范围． 18. （本小题 12 分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都 受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： (Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数；[来源:Z,xx,k.Com] (Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高； (Ⅲ)若规定: 90 分（包含 90 分）以上为优秀，现从分数在 80 分（包含 80 分）以上的试卷 中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率. 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAB  底面 ABCD ，且 90PAB ABC     ， //AD BC ， 2PA AB BC AD   ， E 是 PC 的中点． （Ⅰ）求证： //DE 平面 PAB ； （Ⅱ）求证：平面 PCD  平面 PBC ． 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ，离心率 1 2e  ，其中 F 是椭圆的右焦点，焦距为 2， 直线l 与椭圆C 交于点 ,A B ，线段 AB 的中点的横坐标为 1 4 ，且 AF FB （其中 1  ）. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求实数  的值. 21．（本小题满分 12 分） 设函数 ( ) x x bef x a   在点 (0, (0))f 处的切线方程为 1 0x y   ．（自然对数的底数 2.718 )e   （Ⅰ）求 ,a b 值，并求 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当 0x  时， 2 4( )f x x  答案: 一．选择题 1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6.A7.C8.A9.C10.B11.A12.A 13 4 1 14. 2 15  15． 5 516 16．4 17.解：(Ⅰ) [﹣2，3]． （Ⅱ）若不等式 f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立． 而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a| =|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a， ∴（2﹣a）2≥a2，解得 a≤1，故 a 的范围（﹣∞，1]． 18.(1)分数在[50,60)的频率为 0.008×10＝0.08 由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为 2，所以全班人数为 2 0.08 ＝25 (2)分数在[80,90)之间的频数为 25－2－7－10－2＝4 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 4 25 ÷10＝0.016 (3) 5 3 19. （Ⅰ）证明：取 PB 中点 F ，连接 ,EF AF ， 由已知 // //EF BC AD ，且 2 2EF AD BC  ， 所以，四边形 DEFA是平行四边形， 于是 //DE AF ， AF  平面 PAB ， DE  平面 PAB ， 因此 //DE 平面 PAB ． ……………………………………………………6 分 （Ⅱ）侧面 PAB  底面 ABCD ， 且 90PAB ABC     所以 BC  平面 PAB ， AF  平面 PAB ，所以 AF BC ， 又因为 PA AB ， F 是 PB 中点，于是 AF PB ， PB BC B ， 所以 AF  平面 PBC ， 由（Ⅰ）知 //DE AF ，故 DE  平面 PBC ， 而 DE  平面 PCD ， 因此平面 PCD  平面 PBC ． ……………12 分 20. 解：（Ⅰ）由条件可知， 1, 2c a  ，故 2 2 2 3b a c   ， 椭圆的标准方程是 2 2 14 3 x y  . ………（4 分） （Ⅱ）由 AF FB  ，可知 A，B，F 三点共线，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y点 点 若直线 AB x 轴，则 1 2 1x x  ，不合题意. 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时，设方程为 ( 1)y k x  . 由 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y     ，消去 y 得 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     . ① 由①的判别式 4 2 2 264 4(4 3)(4 12) 144( 1) 0k k k k        . 因为 2 1 2 2 2 1 2 2 8 4 3 4 12 4 3 kx x k kx x k        ， ………（6 分） 所以 2 1 2 2 8 1 4 3 2 kx x k    ，所以 2 1 4k  . ………（8 分） 新*课标*第*一*网 将 2 1 4k  代入方程①，得 2 1 3 54 2 11 0, 4x x x    解得 . ………（10 分） 又因为 1 1 2 2(1 , ), ( 1, )AF x y FB x y      ， AF FB  ， 1 1 2 1   x x ，所以 .2 53  ………（1 2 分） 21. 解：（Ⅰ） ( ) x af x e   ， 由已知， (0) 1f    ， (0) 1f   ，故 2a   ， 2b   ， 2( ) xf x e   ，当 ( ,ln 2)x  时， 0( )f x  ，当 (ln 2, )x  时， 0( )f x  ， 故 ( )f x 在 ( ,ln 2) 单调递减，在 (ln 2, ) 单调递增；……（6 分） （Ⅱ）方法 1：不等式 2 4( )f x x  ，即 2 22 1x xx e    ， 设 2 2( ) 2 x x xg x e   ， 24( ) x xg x e   ， [0,2)x 时， ( ) 0g x  ， (2, )x  时， ( ) 0g x  ， 所以 ( )g x 在[0,2) 递增，在 (2, ) 递减， 当 0x  时， ( )g x 有最大值 16)2( 2  e g ， 因此当 0x  时， 2 4( )f x x  ． …………（12 分） 方法 2：设 2 2( ) ( ) ( 4) 2 2xg x f x x e x x       ， ( ) 2 2 ( )xg x e x f x     在 ( ,ln 2) 单调递减，在 (ln 2, ) 单调递增， 因为 (0) 1 0g    ， 06)2( 2  eg ， 0 ln 2 2  ， 所以 ( )g x 在[0, ) 只有一个零点 0x ，且 0 (0,2)x  ， 0 02 2xe x  ， 当 0[0, )x x 时， 0( )g x  ，当 0( , )x x  时， 0( )g x  ， ( )g x 在 0[0, )x 单调递减，在 0( , )x  单调递增， 当 0x  时， 0 2 2 0 0 0 0( ) ( ) 2 2 4 0xg x g x e x x x        ， 因此当 0x  时， 2 4( )f x x  ． …………（12 分）