钦州港开发区2015年秋高三数学（理）期末考试试题及答案

钦州港经济技术开发区中学 2015 年秋季学期期末考试 高三理科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.若集合 2 2{ | log ( 6)},M x y x x     2{ | 1, }N y y x x R    ，则集合 M N  （ ） A. ( 2, )  B. ( 2,3) C. [1,3) D. R 2．已知随机变量 X 服从正态分布 2(1, )N  ，若 ( 2 2) ( 3 4)P X a P X a     ，则 a  （ ） A. 6 B. 2 5  C. 1 5  D. 0 3. 执行图中所给的程序框图，则运行后输出的结果是（ ） A. 3 B. 3 C. 2 D. 2 4.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ） 5.从混有 5 张假钞的 20 张一百元纸币中任意抽取 2 张，将其中一张在验钞机上检验发现是 假币，则这两张都是假币的概率为（ ） A. 1 19 B. 17 18 C. 4 19 D. 2 17 6.若 0a b  ，则下列不等式中总成立的是（ ） A. 1 1a bb a    B. 1 1a ba b    C. 1 1 b b a a   D. 2 2 a b a a b b   7. 由直线 xy 2 及曲线 224 xy  围成的封闭图形的面积为 A．1 B．3 C．6 D．9 8. 某四面体的三视图如图所示，其主视图、左视图、俯视图 都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A． 3 4 B． 3 C．  2 3 D． [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 9. 若执行右面的程序框图，则输出的 k 值是 A．4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 从抛物线 xy 42  图象上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M ，且 5|| PM ，设抛物线的焦点为 F ，则 MPF 的面积 为 A．10 B．20 C．40 D．80 11. 实数 yx, 满足条件            * * 022 04 Ny Nx yx yx ，则 yxz  的最小值为 A． 2 B． 1 C．0 D．1 12. 已 知 函 数 )1(  xfy 的 图 象 关 于 点 )0,1( 对 称 ， 且 当 )0,(x 时， 0)()(  xfxxf 成立（其中 )(xf  是 )(xf 的导 函数），若 ),3(log)3(log),3(3 3.03.0  fbfa  )9 1(log)9 1(log 33 fc  ，则 cba ,, 的大小关系是 A． cba  B． bac  C． abc  D． bca  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知 2z x y  ， ,x y 满足 , 2, , y x x y x a       且 z 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是____. 14.抛物线 21 4y x 的焦点 F 到双曲线 2 2 14 x y  渐近线的距离为_______. 15.已知   6 2 7 0 1 2 71 2 ( 1) ( 1) ... ( 1)x x a a x a x a x          ，则 3a  _______. 16.设正实数 , ,x y z 满足 2 24 0x xy y z    ，当 z xy 取最小值时，则 4x y z  的最大值 为_______. 三. 解答题(本大题共 6小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 3 1n n  开始 n=3，k=0 n 为偶数 n=8 输出 k 结束 k=k+1 是 否 是 否 2 nn  17．（本小题满分 12 分） 已知 cba ,, 分别为 ABC 三个内角 CBA ,, 所对的边长，且 .5 3coscos cAbBa  （Ⅰ）求 B A tan tan 的值； （Ⅱ）若  60A ，求 222 sin cba Cab  的值. 18．（本小题满分 12 分） 为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再 冷” 冬衣募捐活动，共有 50 名志愿者参与. 志愿者的工作内容有两项：①到各班做宣传，倡议 同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况，只参 与其中的某一项工作. 相关统计数据如下表所示： 到班级宣传 整理、打包衣物 总计 20 人[来源:Z*xx*k.Com] 30 人 50 人 （Ⅰ）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取 5 人，再从这 5 人中选 2 人， 那么“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少? （Ⅱ）若参与班级宣传的志愿者中有 12 名男生，8 名女生，从中选出 2 名志愿者，用 X 表 示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量 X 的分布列及数学期望. 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAB  底面 ABCD ，且 90PAB ABC     ， //AD BC ， 2PA AB BC AD   ， E 是 PC 的中点． （Ⅰ）求证： DE  平面 PBC ； （Ⅱ）求二面角 A PD E  的余弦值． 20．（本小题满分 12 分） 平面直角坐标系 xOy 中，经过椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的一个焦点的直线 3 0x y   与C 相交于 ,M N 两点， P 为 MN 的中点，且 OP 斜率是 1 4  ． (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)直线l 分别与椭圆C 和圆 D ： 2 2 2 ( )x y r b r a    相切于点 A B、 ，求| |AB 的 最大值． 21.已知正项数列   n na b、 中， 1 11, 2a b  ， na ， nb ， 1na  成等比数列， nb ， 1na  ， 1nb  成等差数列，(1)证明 na 是等差数列，并求 na 的通项公式；（2）令 4 1 4 1 n n n ac a   ，前 n 项和为 nS ，求使 2016nS  的最大自然数 n 22. 如图，分别过椭圆 E： )0(12 2 2 2  ba b y a x 左右焦点 1F 、 2F 的动直线 l1、l2 相交于 P 点，与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点，直线 OA、OB、OC、OD 的斜率 1k 、 2k 、 3k 、 4k 满足 4321 kkkk  ．已知当 l1 与 x 轴重合时， 32|| AB ， 3 34|| CD ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）是否存在定点 M、N，使得 |||| PNPM  为定值．若存 在，求出 M、N 点坐标，若不存在，说明理由． 答案：1C 2D 3B 4B 5D 6A7．D 8．C 9．A 10．A 11．C 12．B 13. 1 4 14. 2 55 15. 25 16. 3 2 17．解：（Ⅰ）由正弦定理 C c B b A a sinsinsin  ，得 ,sin5 3cossincossin CABBA  又 BABABAC sincoscossin)sin(sin  ， ,cossin5 8cossin5 2 ABBA  可得 .4cossin cossin tan tan  AB BA B A …………(6 分) （Ⅱ）若  60A ，则 3tan A ，得 ,4 3tan B ab cbaC 2cos 222  ， 2 35 1tantan tantan 2 1)tan(2 1tan2 1 cos2 sinsin 222     BA BABACC C cba Cab A O P D C B x y 1l 2l 1F 2F （第 22 题） … (12 分) 18. 解：（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 5 1 50 10  所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有 120 210   人， 参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有 130 310   人，……2 分 故“至少有 1 人是参与班级宣传的志愿者”的概率是 2 3 2 5 71 10 CP C    ………4 分 （Ⅱ）女生志愿者人数 0,1,2X  则 2 12 2 20 33( 0) 95 CP X C    1 1 12 8 2 20 48( 1) 95 C CP X C    2 8 2 20 14( 2) 95 CP X C    ……………9 分 ∴ X 的分布列为 ……………10 分 X 0 1 2 P 33 95 48 95 14 95 ∴ X 的数学期望为 33 48 14 76( ) 0 1 295 95 95 95E X        ……………12 分 19. （Ⅰ）证明：侧面 PAB  底面 ABCD ，且 90PAB ABC     ， //AD BC ， 所以 PA AB ， PA AD ， AD AB ，如图，以点 A 为坐标原点，分别以直线 AD ， AB ， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系. ………………………………2 分 设 2 2PA AB BC AD    ， E 是 PC 的中点，则有， (0,0,2)P ， (1,0,0)D ， (0,2,0)B ， (2,2,0)C ， (1,1,1)E ，于是 (0,1,1)DE  ， (0,2, 2)PB   ， (2,2, 2)PC   ， 因为 0DE PB   ， 0DE PC   ，所以 DE PB ， DE PC ，且 PB PC P ， 因此 DE  平面 PBC …………………………………………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面 PAD 的一个法向量为 (0,2,0)AB 1n  ，设平面 PCD 的法向量为 2 ( , , )x y zn ， (1,0, 2)PD   ， (2,2, 2)PC   ， 则 2 2 0, 0, PD PC      n n   所以 2 0, 2 2 2 0, x z x y z       不妨设 1z  ，则 2 (2, 1,1) n ， 于是 1 2 2 6cos , 66 2     n n ， …………………………………………………10 分 由题意可知所求二面角为钝角，因此二面角 A PD E  的余弦值为 6 6  ．……………12 分 20. 解：（1）设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，则 1 2 1 2 1 4 y y x x    ， 1 2 1 2 1y y x x   ， 2 2 1 1 2 2 1x y a b   ， 2 2 2 2 2 2 1x y a b   ，[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 由此可得 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 4 y y y yb a x x x x       ， 2 24a b ， 又由题意知，C 的右焦点是 ( 3,0) ，故 2 2 3a b  ， 因此 2 4a  ， 2 1b  ，所以椭圆C 的方程是 2 2 14 x y  ；…………（6 分） （2）设 ,A B 分别为直线l 与椭圆和圆的切点， 0 0( , )A x y ， 直线l 的方程为： y kx m  ，代入 2 2 14 x y  得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m     ， 判别式 0  ，得 2 21 4m k  ①， 0 2 4 4 1 4 km kx k m     ， 2 2 0 0 4 1k my kx m m m      直线l 与 2 2 2x y r  相切，所以 2 | | 1 mr k   ， 即 2 2 2(1 )m r k  ，再由①得 2 2 2 1 4 rk r   ， 2 2 2 3 4 rm r   ， 2 2 2 2 0 0| |AB x y r   2 2 2 16 1k rm   2 2 2 2 2 116 14 3 4 r r rr r     2 2 45 ( )rr    ， 因为 4424 2 2 2 2  r r r r ，当 2 (1,2)r   时取等号，所以 2 2 45 ( ) 1rr    ， 因此当 2 (1,2)r   时，| |AB 的最大值是 1．…………（12 分） 21．（1）证明略 2 *( )na n n N  （2）2015 22.（1） 2 2 13 2 x y  （2） (0,1),(0, 1)