江西省2016届高三10月联考数学（文）试卷及答案（扫描版）

数学（文科）答案 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D C C B B A B C C D D （1）C【解析】   3 1sin 60 +cos( 60 ) sin 60 cos60 +2 2            ． （2）D【解析】由已知得 0 , ln 0, 1A x x     ，又 0 , 0B y   ． （3）C【解析】由题意得：  1 3 4log 4 3 0 0 4 3 1 13x x x         ，故选 C． （4）C【解析】易知特称命题的否定是全称命题，答案为 C． （5）B【解析】∵ 2(1) log 3 3 0f    ， 2 3(2) log 4 02f    ，∴函数 2 3( ) log ( 2) ( 0)f x x xx     的零点所在的大致区间是（1，2）． （6）B【解析】由 2 22 4 2k x k        ，可得 32 24 4k x k      ，故原函数的一个单调增区间为 3,4 4      ． （7）A【解析】根据题意可设 1( )f x x x   ，易知 ( )f x 在 ( ,-1) ， (1, ) 上单调递增，从而可知为充分不必要条件. （8）B【解析】由函数图像可知，函数的定义域为 | , 0x x a a  ，则可排除 C、D 两个选项，又当 , ( )x f x    ，则可排除 A，故选 B． （9）C【解析】 点C 在 y 轴正半轴上， 0Cx  ，又点 B 是线段 AC 的中点， 2A C Bx x x  ， 1 2Bx  ，  1 2OA OB   ． （10）C【解析】∵ 2 2 2 tan 1 tan( ) 1 1 1 x x xf x x x       ，∴ 2 tan( ) 1 1 xf x x     ，∴ ( ) ( ) 2f x f x   ，又 ∵ 2( ) 3f t  ，∴ 2 4( ) 2 ( ) 2 3 3f t f t      ． （11）D【解析】 sin( ) sin( ) 2sin 2A B A B B    ，即 2sin cos 4sin cosA B B B ，∴ cos 0B  ， 或sin 2sinA B ，当 cos 0B  ，则 2B  ，又 3C  ，则 6A  ，∴ sin 1 sin 2 a A b B   ；当sin 2sinA B ， sin 2sin a A b B   . （12）D【解析】函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，   22 2' 2 2 ,a x x af x x x x      因为函数 ( )f x 有两个极值点 1x ， 2x ，所以 1x ， 2x 是方程 22 2 0x x a   的两根，又 1 2x x ，且 1 2 1x x  ，所以 2 1 12 x  ， 又 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 , ( ) ( 1) (2 2 )lna x x f x x x x x       ， 令 2 2 1( ) ( 1) (2 2 )lnt( 1)2g t t t t t      ， 则 '( ) 2( 1) (2 4 )ln (2 2 ) 2(1 2 )ln 0g t t t t t t t         ， 所 以 ( )g t 在 区 间 1( ,1)2 是 增 函 数 ， 1 1 2ln 2( ) g( )2 4g t   ，所以  2 1 2ln 2 4f x  ，故选 D． 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. （13） 2y   ； （14）90 ； （15）[0 , 2] ； （16） 8062 . （13） 2y   【解析】∵ 2' 3 3y x  ，∴切线的斜率 0k  ，故切线方程是 2y   ． （14） 90 【解析】由| | | |a b a b      可得 a b  ，可知向量 a  与b  的夹角为90 ． （15）[0 , 2] 【解析】 | sin cos | 2 | sin( ) |4y x x x     ，∵ xR ，则 [0 , 2]y  ，即 [0 , 2]A  ， 由 | i | 2x   得 2 1 4x   ，解得 3 3x   ，即 ( 3, 3)B   ，则 A B  [0 , 2] ．[来源:学.科.网 Z.X.X.K] （16）②③【解析】由题意可知，函数 ( )y f x 为“平切函数”则要满足 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) '( ) ( )2 f x f x x xf x xx x    ，对于 xy e ， ' xy e 代入 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) '( )2 f x f x x xfx x   得， 1 21 2 2 1 2 x xx xe e ex x   ，整理得 1 2 2 1 2 2 1 2 x x x x e e x x      ，不妨设 1 2x x ，令 1 2 02 x xt   ，可得 2t te e t  ， 记 ( ) 2t tt e e t    ，则 '( ) 2 0t tt e e     ，故 ( ) (0) 0t   ，所以 2t te e t  无解，①不正 确；对于 24y x  ， 2 ' 4 xy x   ，直线 0y  与 24y x  有两个交点 ( 2,0) , (2 , 0) ，而当 0x  ， ' 0y  ，②正确；对于 2 ( 0)y x x  ， ' 2y x ，代入 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) '( )2 f x f x x xfx x   整理得 1 2 1 2x x x x   恒成立，③正确；对于 2y x  ， 2 2'y x   ，代入 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) '( )2 f x f x x xfx x   整理得 2 2 1 2 0x x  ，矛 盾，④不正确，所以应选②③． 三．解答题. （17）(本小题满分 10 分)[ 【解析】若命题 p 为真，即 01)1()1( 2  xaxa 对任意实数 x 恒成立 当 01  a 即 1a 时， 01  恒成立， 1a …… 2 分 当 01  a 时，      0)1(4)1( 01 2 aa a ， 13  a ……4 分 则命题 p 为真时， 13  a ． ……5 分 若命题 q 为真， 0x ， 01 x ，则有 2( 3) 2( 1)x ax x    对任意的 *x  N 恒成立 即 1( ) 2a x x     对任意的 *x  N 恒成立， 1 1( ) 2 2 2 2 2 0x xx x            当且仅当 1x  时取“=”， 0a  ……7 分 由题意 p 和 q 一真一假 若 p 为真 q 为假，则 3 1 0 a a      ，即 3 0a   ……8 分 若 p 为假 q 为真，则 3 1 0 a a a      或 ， 1a ……9 分 综上： 3 0a   ，或 1a  ． ……10[ （18）(本小题满分 12 分) 【解析】（Ⅰ）当 1a  时，由 2 3 +2 0x x  ，得 (1,2)A  ……2 分 又由9 3 6 0x x   ，得 (1, )B   ，故 (1,2)A B  ． ……5 分 （Ⅱ）由 2 23 2 0x ax a   ，得 ( 2 )( ) 0x a x a   ……6 分 当 0a  时， (2 , )A a a ，又 (1, )B   ，不能使 A B 成立 ……8 分 当 0a  时， A  ，显然 A B ……9 分 当 0a  时， ( ,2 )A a a ，又 (1, )B   ，要 A B 成立，则 1a  ……11 分 综上所述， a 的取值范围为 0a  ，或 1a  ． ……12 分 （19）(本小题满分 12 分) 【解析】（Ⅰ）   =2sin sin ( ) sin 2 2sin cos sin 24 2 4 4 4f x x x x x x x                                  sin(2 ) sin 2 cos 2 sin 2 2 sin(2 )2 4x x x x x        ……5 分 2 2T     ……6 分 （Ⅱ）由已知得 ( ) ( ) 2 sin 2( ) 2 sin(2 )4 4 4 4g x f x x x             ……8 分 0, 2x     ， 32 ,4 4 4x          ……9 分 ∴ 2sin(2 ) [ ,1]4 2x    ，则  g x 的值域为[ 1, 2] ……11 分 则函数  g x 在区间 0, 2      上的最大值为 2 ，最小值为 1 ，它们的和为 2 1 ．……12 分 （20）(本小题满分 12 分) 【解析】（Ⅰ）函数   2f x ax bx c   为偶函数，则 0b  ，   2f x ax c  ……2 分 ∴  ' 2f x ax ，由函数  xfy  的图像在   11 f， 处切线与直线 032  yx 平行，得  ' 1 2f  即 2 2a  ，∴ 1a  ……5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知   2f x x c  ，则   2 xeg x x c   ，∵ 0c  ， 则  xg 的定义域为 R ……6 分 又   2 2 2 2 2 2 ( 2 )' = ( 2 ) ( ) ( ) x xe x x c eg x x x c x c x c       ，∵ 2 2 0 ( ) xe x c   ……8分 则当 1c  时， 2 2 0x x c   恒成立，∴  ' 0g x  恒成立，即  xg 在 R 为增函数 ……9 分 当 1c  时，由 2 2 0x x c   ，得 1 1x c   ，或 1 1x c   ，此时  ' 0g x  由 2 2 0x x c   ，得1 1 1 1c x c      ，此时  ' 0g x  即  xg 在 ( ,1 1 )c   和 (1 1 , )c    为增函数，在 (1 1 ,1 1 )c c    为减函数 ……12 分 （21）(本小题满分 12 分) 【解析】（Ⅰ）由 1 0xe   ，得 0x  ，所以函数 )(xf 的定义域为 ( ,0) (0 , )   ……1 分 又 1( ) 2( 1) x x ef x e   ，∴ 1 1( ) 2( 1) 2(1 ) x x x x e ef x e e         ……4 分[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 故 ( ) ( )f x f x   ，则 )(xf 是奇函数． ……5 分 （Ⅱ） 1 1 1( ) 22( 1) 1 x x x ef x e e      ，∴ 2'( ) ( 1) x x ef x e    ∴当 (0, )x    时，有 '( ) 0f x  ，则 )(xf 是 (0, )  上的减函数 ……6 分 又 [2 , 3]x  ， 0a  ，∴ 1 0 , 0( 1)(5 ) ax x x      )(xf 是 (0, )  上的减函数，则由 ( 1) ( )( 1)(5 ) af x f x x     可得 1 ( 1)(5 ) ax x x     ，即 ( 1)( 1)(5 )x x x a    在 [2 , 3]x  上恒成立 ……9 分 设 ( ) ( 1)( 1)(5 )x x x x     ，则 2 25 28'( ) 3 10 1 3( )3 3x x x x         当 [2 , 3]x  时， '( ) 0x  ，∴ ( )x 在[2 , 3] 上是增函数 ……11 分[ ∴ min( ) (2) 9x   ，故 a 的取值范围是 (0,9) ． ……12 分 （22）(本小题满分 12 分) 【解析】（Ⅰ） ( ) ( 0)axf x x e a   ，则 '( ) 1 axf x ae  ，令 '( ) 0f x  ，得 1 1lnx a a  ……2 分 当 1 1lnx a a  时， '( ) 0f x  ；而当 1 1lnx a a  时， '( ) 0f x  ∴当 1 1lnx a a  时，函数 ( )f x 取到极大值 1 1 1 1( ln ) (ln 1)f a a a a   ，无极小值． ……5 分 （Ⅱ）要证 1 2ln ln ln 1x x a   ，即证 1 2 ln ln( )x aex  ，也就是证 1 2 x aex  ……6 分 若函数 ( )f x 存在两个零点，则 1 1 1 1( ln ) (ln 1) 0f a a a a    ，即 10 a e   ……7 分 而此时， 1 1( ) 0f ea a    ，由此可得 1 2 1 1 1lnx xa a a    ∴ 2 1 1 1 1lnx x a a a    ，即 1 2 1 1(1 ln )x x a a    ……9 分 又 1 1 1( ) 0axf x x e   ， 2 2 2( ) 0axf x x e   ∴ 1 1 2 1 2 2 1 1[ (1 ln )]( ) ln( )1 2 ax aax ax a x x aea a ax x e e e e e aex e        ……11 分 ∴ 1 2ln ln ln 1x x a   成立． ……12 分