河北名校联盟2016高三数学（文）期末试题及答案

河北省“五个一名校联盟”2016 届高三教学质量监测 数学试卷（文科） 满分：150 分 测试时间：120 分钟 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题.每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.[来源:Z§xx§k.Com] 1.若集合 { || | 1, }A x x x R   ， 2{ | , }B y y x x R   ，则 A B  ( ) A.{ | 1 1}x x   B.{ | 0}x x  C.  | 0 1x x  D. 2.在复平面内与复数 2 1 iz i   所对应的点关于实轴对称的点为 A ，则 A 对应的复数为 ( ) A.1 i B.1 i C. 1 i  D. 1 i  3.设 x R ，则“1 2x  ”是“ 2 1x   ”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线经过点 (3, 4) ，则此双曲线的离心率为 ( ) A． 7 3 B． 5 4 C． 4 3 D． 5 3 5.已知变量 ,x y 满足约束条件 0 1 x y x y      ,则 2z x y  的最大值( ) A．1 B．3 C．4 D．8 6.如右图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( ) A.1 6 B.25 24 C.3 4 D.11 12 7.若直线 1 : 6 0l x ay   与 2 :( 2) 3 2 0l a x y a    平行，则 1l 与 2l 间的距离为( ) A． 2 B． 8 2 3 C． 3 D． 8 3 3 8.在面积为 S 的 ABC 内部任取一点 P ，则 PBC 面积大于 4 S 的概率为 ( ) A． 1 4 B． 3 4 C． 4 9 D． 9 16 9.若对任意正实数 x ，不等式 2 1 1 a x x  恒成立，则实数 a 的最小值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 2 2 10.已知数列{ }na 满 *31 2 ln lnln ln 3 2. . . . ( )2 5 8 3 1 2 na aa a n n Nn    ,则 10a  ( ) A． 26e B． 29e C． 32e D． 35e 11.某四面体的三视图如图，则该四面体四个面中最大的面积是( ) A. 2 B． 2 2 C. 3 D． 2 3 12.已知函数 2( ) , ( ) ln( 1),f x x ax g x b a x     存在实数 ( 1),a a  使 ( )y f x 的图像与 ( )y g x 的图像无公共点，则实数b 的取值范围为( ) A.  ,0 B. 3, ln 24      C. 3 ln 2,4     D. 31, ln 24     第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把正确答案填在答题卡上． 13.某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该 年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为_________. 14.已知等差数列 na 中， 2 7 6a a  ，则 4 63 ______.a a  15.已知球O 的表面积为 25 ，长方体的八个顶点都在球O 的球面上，则这个长方体的表 面积的最大值等于 ______. 16.给定方程： 1( ) sin 1 0,2 x x   下列命题中：①该方程没有小于 0 的实数解； ②该方程有无数个实数解；③该方程在  ,0 内有且只有一个实数根； ④若 0x 是方程的 实数根，则 0 1.x   正确命题的序号是 _______. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 2( ) 2cos(2 ) 3sin 2 .3f x x x   (1)求函数 ( )f x 的最小正周期和最大值； (2)设 ABC 的三内角分别是 , ,A B C ,若 1( )2 2 Cf   ,且 1, 3AC BC  ,求sin A 的值. 18.(本小题满分 12 分)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六 个班的 300 名学生中以班为单位（每班学生 50 人），每班按随机抽样抽取了 8 名学生的视 力数据．其中高三（1）班抽取的 8 名学生的视力数据与人数见下表： 视力 数据 4.0 4.1[来源:学|科 |网] 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 人数 2 2 2 1 1 (1)用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值； (2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中 任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对 值不小于 0.2 的概率． 19. (本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为 直角梯形， / / , 90AD BC ADC   ,平面 PAD  底面 ABCD ， Q 为 AD 的中点， 12, 1,2PA PD BC AD    3,CD  M 是棱 PC 的中点. (1)求证： / /PA 平面 MQB ； (2)求三棱锥 P DQM 的体积. 20. (本小题满分 12 分)定圆 2 2:( 3) 16,M x y   动圆 N 过 点 ( 3, 0)F 且与圆 M 相切,记圆心 N 的轨迹为 .E (1)求轨迹 E 的方程； (2)设点 , ,A B C 在 E 上运动， A 与 B 关于原点对称，且 AC BC ,当 ABC 的面积最 小时，求直线 AB 的方程. 21.(本小题满分 12 分)函数 2( ) ln , ( ) ,f x x g x x x m    (1)若函数 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ，求函数 ( )F x 的极值； (2)若 2( ) ( ) ( 2) xf x g x x x e    在 (0,3)x 恒成立，求实数 m 的取值范围. 请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答，多答，则按所做的第一题计分，作答时 请写清题号. 22．(本小题满分 10 分)选修 4-1：几何证明选讲 如图，四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形，以 D 为圆心， DA 为半径的圆弧与以 BC 为 直径的半圆O 交于点 ,C F ,连接CF 并延长交 AB 于点 E ． (1)求证： E 是 AB 的中点； (2)求线段 BF 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,设曲线 C 参数方程为 3 cos sin x y      ( 为参 数)，直线l 的极坐标方程为 cos( ) 2 24     . (1)写出曲线 C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 设函数 ( ) 1 ( ).f x x x a a R     (1) 当 4a  时，求不等式 ( ) 5f x  的解集；(2)若 ( ) 4f x  对 x R 恒成立，求 a 的取值 范围. 河北省“五个一名校联盟”2016 届高三教学质量监测 文科数学（答案） 一、选择题：CBADB DBDCC DB 二、填空题： 13．25 14. 12 15. 50 16．②③④ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤． 217. (1) ( ) 2cos(2 ) 3sin 2 cos2 ,3f x x x x    解： 函数 ( )f x 的最小正周期T  ，函数 ( )f x 的最大值为 1. .........5 分 (2) 1( ) cos2 , ( ) cos ,2 2 Cf x x f C       可得 1cos ,2C  .........7 分 3(0, ), sin 2C C   ，由余弦定理可得： 2 2 2 12 cos 9 1 2 1 3 7, 7.2AB AC BC AC BC C AB               10 分 由正弦定理可得： 33sin 3 212sin .147 BC CA AB    .........12 分 18.解：（1）高三（1）班学生视力的平均值为 4.4 2 4.6 2 4.8 2 4.9 5.1 4.78         , 故用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值为 4.7． .........6 分 （2）从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有 15 种，而 满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的取法有： （4.3，4.5）、（4.3，4.6）、（4.3，4.7）、（4.3，4.8）、（4.4，4.6）、（4.4，4.7）、 （4.4，4.8）、（4.5，4.7）、（4.5，4.8），（4.6，4.8），共有 10 个，故抽取的两个班学生 视力的平均值之差的绝对值不小于 0.2 的概率为10 2.15 3  12 分 19.证明：（1）连接 AC ，交 BQ 于 N ，连接 MN ， / /BC AD 且 1 2BC AD ， 即 / /BC AQ ，BC AQ ∴四边形 BCQA 为平行四边形，且 N 为 AC 中点，又因为点 M 是棱 PC 的中点，∴ / /MN PA ，则 / /PA 平面 MQB . ....6 分 （2） P DQM M PDQV V  ，证明出CD ⊥平面 PAD , 所以 M 到平面 PAD 的距离为 1 2 CD . .......9 分 所以 1 1 1 1 1 1 .3 2 3 2 2 4P DQM M PDQ PDQV V S CD QD PQ CD          ......12 分 20.解：(1) ( 3,0)F 在圆 2 2:( 3) 16M x y   内，圆 N 内切于圆 .M 4NM NF FM   ,点 N 的轨迹 E 为椭圆，且 2 4, 3, 1a c b    轨迹 E 的方程为 2 2 1.4 x y  .........4 分 (2)①当 AB 为长轴（或短轴）时，此时 1 22ABCS OC AB     . ...5 分 ②当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 方程为 y kx ， 联立方程 2 2 14 x y y kx      得 2 2 2 2 2 4 4, ,1 4 1 4A A kx yk k    2 2 2 2 2 4(1 ) .1 4A A kOA x y k      将上式中的 k 替换为 1 k  ，得 2 2 2 4(1 ) .4 kOC k   2 2 2 2 2 2 2 4(1 ) 4(1 ) 4(1 )2 .1 4 4 (1 4 )( 4)ABC AOC k k kS S OA OC k k k k              9 分 2 2 2 2 2 (1 4 ) ( 4) 5(1 ) 8(1 4 )( 4) ,2 2 5ABC k k kk k S          ， 当且仅当 2 21 4 4k k   ，即 1k   时等号成立，此时 ABC 面积最小值是 8 5 . 82 ,5 ABC  面积最小值是 8 5 ，此时直线 AB 的方程为 y x 或 .y x  12 分 21.解：（I） 2( ) lnF x x x x m    ，定义域 (2 1)( 1)(0, ), ( ) ,x xF x x     由 ( ) 0F x  得 0 1x  , 由 ( ) 0F x  得 1x  , ( )F x 在 (0,1) 递增,在 (1, ) 递 减, ( ) (1) ,F x F m  极大 没有极小值. .........4 分 （II）由 2( ) ( ) ( 2) xf x g x x x e    在 (0,3)x 恒成立，整理得 ( 2) lnxm x e x x    在 (0,3)恒成立,设 ( ) ( 2) lnxh x x e x x    , 则 1( ) ( 1)( )xh x x e x     , ............6 分 1x  时, 1 0x   ,且 1 1, 1, 0, ( ) 0x xe e e h xx x        , .........7 分 0 1x  时, 1 0x   ,设 2 1 1( ) , ( ) 0,x xu x e u x ex x      ( )u x 在 (0,1) 递增,又 0 1 1( ) 2 0, (1) 1 0, ( ,1)2 2u e u e x        使得 0( ) 0.u x  0(0, )x x  时, ( ) 0u x  , 0( ,1)x x 时, ( ) 0u x  , 0(0, )x x  时, ( ) 0h x  , 0( ,1)x x 时, ( ) 0h x  . 函数 ( )h x 在 0(0, )x 递增, 0( ,1)x 递减, (1,3) 递增, .............9 分 又 0 0 0 0 0 0 0 0 1( ) ( 2) ln ( 2) 2 ,xh x x e x x x xx        0 0 0 0 0 0 2 2(0,1), 2, ( ) 1 2 1 2 1,x h x x xx x              3(3) ln3 3 0h e    ， (0,3)x  时， ( ) (3)h x h ， ..............11 分 (3)m h  ,即 m 的取值范围是 3 ln3 3, .e     ............12 分 22.解：(1) 由以 D 为圆心 DA 为半径作圆，而 ABCD 为正方形， EA 为圆 D 的切线， 依据切割线定理，得 2 , 2EA EF EC  分 另外圆O 以 BC 为直径， EB 是圆O 的切线， 同样依据切割线定理得 2 , 4EB EF EC  分 故 AE=EB，故 E 是 AB 中点 ..........5 分 (2)∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得 BF CB BE CE  ， ∵ABCD 是边长为 a 的正方形，所以 5 .5BF a .........10 分 23.解：（1）曲线 C 的方程为 2 2 13 x y  ，直线 l 的方程为 4 0x y   . 5 分 （2）在 3 cos: sin xC y      上任取一点 ( 3 cos ,sin ),  则点 P 到直线 l 的距离为 3 cos sin 4 2 d     = 2sin( ) 43 3 2, 2     ∴当 sin( ) 13     时， max 3 2d  ，此时这个点的坐标为 3 1( , ).2 2   10 分 24.解:(Ⅰ) 541  xx 等价于 1 2 5 5 x x     或 1 4 3 5 x    或 4 2 5 5 x x     ， 解得： 0x  或 5x  ．故不等式 ( ) 5f x  的解集为{ 0x x  或 5}x  ． 5 分 (Ⅱ)因为: ( ) 1 ( 1) ( ) 1f x x x a x x a a          , 所以 min( ) 1f x a  ,由题意得： 1 4a   ， 解得 3a 或 5a ． 10 分 (2) 不用注册，免费下载！ (3)