河北名校联盟2016高三数学（理）期末试题及答案

河北省“五个一名校联盟”2016 届高三教学质量监测 数学试卷（理科） （满分：150 分，测试时间：120 分钟） 第Ⅰ卷（60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1.如图，已知 是实数集，集合 ，则阴影部分表示的集合是（ ） A．[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1] 2.函数 的图象按向量 平移得到 的图象，则 可以是（ ） A． B． C． D． 3.已知命题 ： ；命题 ： ，则下列命题为 真命题的是（ ） A. B. C. D. 4.现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求 这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张．不同取法的种数为（ ） A.232 B.252 C.472 D.484 5.向量 满足 ,则 与 的夹角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 6.如图程序框图输出的结果是 S＝720，则判断框内应填的是（ ） A． B． C． D． 7.在二项式 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 128， 则展开式的中间项的系数为（ ） A.-960 B.960 C.1120 D.1680 8. 已 知 等 差 数 列 { } 的 前 项 和 为 ， 且 ， 则 过 点 和 的直线的斜率是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 9.函数 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 10.已知点 的坐标 过点 的直线 与圆 相交于 、 两点，则 的最小值是（ ） A． B．4 C． D．2 11.某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是 （ ） A. B． C. D． 12. 若 , 则 最小值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.设复数 满足 （其中 为虚数单位），则 的模为_____. 14.在棱长为 1 的正方体 中， 分别是 的中点，点 在其 表面上运动，则总能使 与 垂直的点 所构成的轨迹的周长等于 ． 15.古希腊的数学家研究过各种多边形数.记第 个 边形数为 （ ，以下列出了 部分 边形数中第 个数的表达式： 三角形数 四边形数 五边形数 六边形数 …… 可以推测 的表达式，由此计算 的值为________． 16.设椭圆 的右顶点为 、右焦点为 为椭圆 上在第二象限 内的点，直线 交 于点 ，若直线 平分线段 ，则 的离心率是 ． 三、解答题： 17.（本小题满分 12 分）已知锐角 中内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ，且 ． （1）求角 的值； （2）设函数 ， 图象上相 邻两最高点间的距离为 ，求 的取值范围． 18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， 底面 ，其中 与 交于点 是 边上 的点，且 ，已知 （1）求平面 与平面 所成锐二面角的正切值； （2）若 是 上一点，且 平面 ， 求 的值． 19.（本小题满分 12 分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对 20 名男生和 20 名女 生进行问卷调查,结果如下: 睡眠时间(小时) [4,5） [5,6） [6,7） [7,8） [8,9] 女生人数 男生人数 （1）现把睡眠时间不足 5 小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足 6 小时的女生中 随机抽取 3 人，求此 3 人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率; （2）完成下面 2×2 列联表,并回答是否有 90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？ 睡眠时间少于 7 小时 睡眠时间不少于 7 小时 合计 男生 女生 合计 （ ，其中 ） 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的右焦点为 且 ,设短轴 的一个端点为 ,原点 到直线 的距离为 ，过原点和 轴不重合的直线与椭圆 相 交于 两点，且 . (1)求椭圆 的方程； (2) 是否存在过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 且使得 成立？若存在，试求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分 12 分）已知函数 ． （1）若 在定义域内恒成立，求 的取值范围； （2）当 取（1）中的最大值时，求函数 的最小值； （3）证明不等式 ． 请考生从第 22、23、24 题中任选一题作答，作答时请写清题号. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图⊙ 过平行四边形 的顶点 ,且与 相切,交 的 延长线于点 . (1)求证： ；(2) 是 的三等分点，且 ， 求 . 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 ，（ 为参数， ）．以 为 极点， 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．写出圆心的极坐标，并求当 为何值时，圆 上的点到直线 的最大距 离为 3．[来源:Z§xx§k.Com] 24.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 . （1）求函数 的最小值 ；（2）若正实数 满足 ，求证： . 河北省“五个一名校联盟”2016 届高三教学质量监测 理科数学答案 四、选择题：DDCCC BCACB DD 五、填空题:13. ； 14. ； 15.2490； 16. 三、解答题： 18.（本小题满分 12 分） 解析：（1）因为 ,由余弦定理知 所以 , 又因为 ,则由正弦定理得: ， 所以 ,又因为 所以 ...... 6 分 （2） ， 由已知 ,则 ...... 8 分 因为 , ,由于 ,所以 ，...... 10 分 所以 ，所以 的取值范围是 ..... 12 分 19.（本小题满分 12 分） 解析:（1）连接 并延长交 的延长线于 ，则 是平面 与平面 所成二 面角的棱，过 作 垂直 于 ，连接 ． ∵ 平面 ，∴ ， 又 ， ∴ 平面 ， 平面 ， ∵ ， ， 面 ， 面 ∴ ， ∴ 是平面 与平面 所成锐二面角的平面角…（3 分） ∵ ， ∴ ，又 ，∴ ∴ ， 所以平面 与平面 所成锐二面角的正切值为 …（6 分） （2）连接 并延长交 于 ，连接 ∵ 平面 ， 面 ，面 面 ∴ 在 中∵ ，又 …（9 分） 在梯形 中， ，∵ ∴ ，∴ …（12 分） 另解：向量法. 19.（本小题满分 12 分） 解析：（1） 设事件 A=“从睡眠不足 6 小时的女生中抽出 3 人，其中恰有一个为“严重睡眠 不足”.........1 分 . 所以 ......6 分 (2) 睡眠少于 7 小时 睡眠不少于 7 小时 合计 男生 12 8 20 女生 14 6 20 合计 26 14 40 ......8 分 ......10 分 所以没有 的把握认为“睡眠时间与性别有关” .......12 分 20.（本小题满分 12 分） 解 析：（1）由椭圆的对称性知： ,又原点 O 到直线 DF 的距离 为 ， 又 故椭圆方程为 …………4 分 （2）当直线 与 轴垂直时不满足条件……5 分，故可设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程得： ……7 分 因为 ，即 所以 即 ， 解得 ……10 分, 故 .所以存在满足条件的直线 ，且其方程为 ……12 分 21.（本小题满分 12 分） 解析：（1） 的定义域是 ， 当 时， ， 递减，当 时， ， 递增 ∴ 依题意得， ，故 的取值范围 …3 分 （2）当 时， ， 的定义域是 ， 令 由（1）知， 的最小值是 递增，又 时， ， 递减， 当 时， ， 递增，∴ 7 分 （3）由（2）得， 时， ， 令 ，则 …12 分 22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 解析：(Ⅰ)证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，所以∠A＝∠ATB，所以 AB＝BT. 又 AT 2＝AB*AD，所以 AT 2＝BT*AD．......5 分 (Ⅱ)取 BC 中点 M，连接 DM，TM．由(Ⅰ)知 TC＝TB，所以 TM⊥BC．因为 DE＝DF， M 为 EF 的中点，所以 DM⊥BC．所以 M，D，T 三点共线，DT 为⊙O 的直径．所以∠ABT ＝∠DBT＝90°. 所以∠A＝∠ATB＝45°°. ...... 10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解：由已知圆心 O 的直角坐标为 ，所以圆心 O 的极坐标为 ...2 分直线 的直角坐标方程为 ，圆心 O 到 的距离 ，圆 O 上的点到直线 的距离的最大值为 解得 ......10 分 24.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 解析：（1）∵ ， ． ......5 分 ， ∴ . ......10 分 不用注册，免费下载！