海淀区2016届高三下学期期中练习数学（文）试卷及答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷（文科） 2016.4 本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．已知集合A＝ | 2 3x z x    ，B＝ | 2 1x x   ，则 A B ＝ A． 2, 1,0  B． 2, 1,0,1  C． | 2 1x x   D． | 2 1x x   2、已知向量 (1, ), ( ,9)a t b t   ，若 a b    ，则t ＝ A．1 B．2 C．3 D．4 3．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为 A．－1 B．1 C．－i D．i 4．若x，y 满足 2 0 4 0 0 x y x y y          ，则 1 2z x y  的最大值为 A． 5 2 B．3 C． 7 2 D．4 5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A． 3 3 B． 3 2 C． 2 3 3 D． 2 6 3 6、已知点P 0 0( , )x y 在抛物线W： 2 4y x 上，且点P到W的准 线的距离与点P到x轴的距离相等，则 0x 的值为 A、 1 2 B、1 C、 3 2 D、2 7．已知函数 sin( ), 0( ) cos( ), 0 x a xf x x b x      ，则“ 4   ”是“函数 ( )f x 是偶函数“的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是 A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作 C．丙可以不承担第三项工作 D．获得的效益值总和为78 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．函数 2 2xy   的定义域为＿＿＿ 10．已知数列 na 的前n项和为 nS ，且 2 4nS n n  ，则 2 1a a ＝_______． 11．已知l 为双曲线C： 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线，其倾斜角为 4  ，且C 的右焦点为（2,0），点C 的右顶点为＿＿＿＿，则C 的方程为_______． 12．在 1 3 3 1 ,2 .log 22 这三个数中，最小的数是_______． 13．已知函数 ( ) sin(2 )f x x   ，若 5( ) ( ) 212 12f f    ，则函数 ( )f x 的单调增区间为＿＿ 14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M＝  1 2, , , kX X X ，均满足 , , ,i j s tX X M X X M    ，使得直线 i j s tX X X X ，则k的所有可能 取值是＿＿＿ 三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 在△ABC 中，∠C＝ 2 3  ， 6a  ． （Ⅰ）若c＝14，求sinA的值； （Ⅱ）若△ABC的面积为3 3 ，求c的值． 16．（本小题满分13 分） 已知数列 na 是等比数列，其前n项和为 nS ，满足 2 1 0S a  ， 3 12a  。 （I）求数列 na 的通项公式； （II）是否存在正整数n，使得 nS ＞2016？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理 由。 17．（本小题满分14 分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M ，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．[来源:学*科*网] （Ⅰ）求证： 平面PBC⊥平面PAB ； （Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M N ∥平面ABCD； （Ⅲ）当AB＝3，PA＝4时，求点A到直线MN距离的最小值。 18．（本小题满分13 分） 一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某 班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测 试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。 （I）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩； （II）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为 2 1s ， 2 2s ，试比较 2 1s 与 2 2s 的大小（只 需直接写出结果）； （III）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良 的概率。（注：成绩大于等于75分为优良） 19．（本小题满分14 分） 已知椭圆C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点， 且｜AB｜＝2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点 P使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由。 [来源:学#科#网Z#X#X#K] 20．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝1 x x e  （Ⅰ）求曲线 y  f (x)在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值； （Ⅲ）若对任意 1 2, [ , )x x a  ，都有 1 2 2 1( ) ( ) ef x f x   成立，求实数 a 的最小值。 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数学（文科） 2016.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C A B A B 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分， 共 30 分） 说明：1.第 9 题,学生写成 1x  的不扣分 2.第 13 题写成开区间 5π π( π, π),12 12k k k    Z 的不扣分, 没有写 k Z 的,扣 1 分 3. 第 14 题有错写的，则不给分 只要写出 7 或 8 中之一的就给 1 分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给 1 分 写出 5，6 中之一的给 2 分，两个都写出，且没有错误的情况之下给 4 分 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.解：(Ⅰ) 方法一： 在 ABC 中，因为 sin sin a c A C  ， ……………………….2 分 即 6 14 sin 3 2 A  ……………………….3 分 所以 3 3sin 14A  . ……………………….5 分 9． [1, ) 10． 2 11. 2 2 ( 2,0), 12 2 x y  12． 1 2 [ 13． 5π π[ π, π],12 12k k k    Z 14．  5  6  7  8，，， 方法二：过点 B 作线段 AC 延长线的垂线，垂足为 D 因 为 2π 3BCA  ， 所 以 π 3BCD  ……………………….1 分 在 Rt BDC 中 ， 3 3 32BD BC  ……………………….3 分 在 Rt ABD 中， 3 3sin 14 BDA AB   ……………………….5 分 （Ⅱ）方法一： 因为 1 sin2ABCS a b C     . ……………………….7 分 所以 1 33 3 62 2 b    ，解得 2b  . ……………………….9 分 又因为 2 2 2 2 cosc a b a b C     . …………………….11 分 所以 2 14 36 2 2 6 ( )2c        , 所以 52 2 13c   . …………………….13 分 方法二：过点 A 作线段 BC 延长线的垂线，垂足为 D 因为 2π 3ACB  , 所以 π 3ACD  . 又 因 为 1 2ABCS BC AD    , ……………………….7 分 即 13 3 62 AD   , 所 以 3  ,  1AD CD  . ……………………….9 分 在 Rt ABD 中， 2 2 2AB BD AD  . ……………………….11 分 所以 52 2 13AB   . …………………….13 分 16.解： (Ⅰ) 设数列 na 的公比为 q ， 因为 2 1 0S a  ，所以 1 12 0a a q  . ……………………….1 分 因为 1 0,a  所以 2,q   ……………………….2 分 又因为 2 3 1 12a a q  ， ……………………….3 分 所以 1 3a  , ……………………….4 分 所以 13 ( 2)n na    （或写成 3 ( 2)2 n na     ） ……………………….7 分 说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前 n 项和公式正确写 出的，都给 2 分 (Ⅱ)因为 3 1 ( 2) 1 ( 2)1 ( 2) n n nS          . ……………………….10 分 令 2016nS  , 即1 ( 2) 2016n   ，整理得 ( 2) 2015n   . ……………………….11 分 当 n 为偶数时，原不等式无解； 当 n 为奇数时，原不等式等价于 2 2015n  ，解得 11n  ， 所以满足 2016nS  的正整数 n 的最小值为 11. ……………………….13 分 17 解：（Ⅰ）证明：在正方形 ABCD 中， AB BC . ……………………….1 分 因为 PA  平面 ABCD ， BC  平面 ABCD ，所以 PA BC . ……………………….2 分 又 AB PA A ， ,AB PA  平面 PAB ， ……………………….3 分 所以 BC  平面 PAB . ……………………….4 分 因为 BC  平面 PBC , 所以平面 PBC  平面 PAB . ……………………….5 分 （Ⅱ）证明： 由（Ⅰ）知, BC  平面 PAB ， PB  平面 PAB ，所以 BC PB . ……………………….6 分 在 PBC 中， BC PB ， MN PB ， 所以 / /MN BC ， ……………………….7 分 又 BC  平面 ABCD ， MN  平面 ABCD ， ……………………….9 分 所以 MN //平面 ABCD . …………………….10 分 （Ⅲ）解：因为 / /MN BC , 所以 MN  平面 PAB ， …………………….11 分 而 AM  平面 PAB ，所以 MN  AM ， …………………….12 分 所以 AM 的长就是点 A 到 MN 的距离， …………………….13 分 而点 M 在线段 PB 上 所以 A 到直线 MN 距离的最小值就是 A 到线段 PB 的距离， 在 Rt PAB 中， 3, 4,AB PA  所以 A 到直线 MN 的最小值为 12 5 . …………………….14 分 18.解: （Ⅰ）设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为 1 2,x x . 则 1 64 76 77 78 73.754x     ……………………….2 分 2 56 79 76 70 88 87 766x        ……………………….4 分 （Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差. ……………………….7 分 （Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件 A ， ……………………….8 分 男生按成绩由低到高依次编号为 1 2 3 4, , ,a a a a ， 女生按成绩由低到高依次编号为 1 2 3 4 5 6, , , , ,b b b b b b ， 则从10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种取法 …………………….10 分 1 1( , )a b ， 1 2( , )a b ， 1 3( , )a b ， 1 4( , )a b ， 1 5( , )a b ， 1 6( , )a b ， 2 1( , )a b ， 2 2( , )a b ， 2 3( , )a b ， 2 4( , )a b ， 2 5( , )a b ， 2 6( , )a b ， 3 1( , )a b ， 3 2( , )a b ， 3 3( , )a b ， 3 4( , )a b ， 3 5( , )a b ， 3 6( , )a b ， 4 1( , )a b ， 4 2( , )a b ， 4 3( , )a b ， 4 4( , )a b ， 4 5( , )a b ， 4 6( , )a b ， 其中两名同学均为优良的取法有 12 种取法 …………………….12 分 2 3( , )a b ， 2 4( , )a b ， 2 5( , )a b ， 2 6( , )a b ， 3 3( , )a b ， 3 4( , )a b ， 3 5( , )a b ， 3 6( , )a b ， 4 2( , )a b ， 4 3( , )a b ， 4 4( , )a b ， 4 5( , )a b ， 4 6( , )a b 所以 12 1( ) 24 2P A   ， 即两名同学成绩均为优良的概率为 1 2 . …………………….13 分 19. 解： （Ⅰ）由已知 2AB  ，得知 2 2b  ， 1b  , ……………………….1 分 又因为离心率为 3 2 ，所以 3 2 c a  . ……………………….2 分 因为 2 2 2a b c  ，所以 2,a  , ……………………….4 分 所以椭圆C 的标准方程为 2 2 14 x y  . ……………………….5 分 （Ⅱ）解法一：假设存在. 设 0 0( , )     (4, )     (4, )P x y M m N n 由已知可得 (0,1)    (0, 1)A B  ， 所以 AP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   ， ……………………….6 分 BP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   ， 令 4x  ，分别可得 0 0 4( 1) 1ym x   ， 0 0 4( 1) 1yn x   ， ……………………….8 分 所以 0 82MN m n x     ， ……………………….9 分 线段 MN 的中点 0 0 4(4, )y x ， ……………………….10 分 若以 MN 为直径的圆经过点 (2,0) ， 则 2 2 20 0 0 4 4(4 2) ( 0) (1 )y x x      , ……………………….11 分 因为点 P 在椭圆上，所以 2 20 0 14 x y  ，代入化简得 0 81 0x   ， ……………………….13 分 所以 0 8x  ， 而  0 2 2x   ， ，矛盾， 所以这样的点 P 不存在. ……………………….14 分 解法二： 假设存在，记 (2 0)D ， . 设 0 0( , )     (4, )     (4, )P x y M m N n 由已知可得 (0,1)    (0, 1)A B  ， 所以 AP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   ， ……………………….6 分 BP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   ， 令 4x  ，分别可得 0 0 4( 1) 1ym x   ， 0 0 4( 1) 1yn x   ， ……………………….8 分 所以 0 0 4( 1)(4, 1),yM x   0 0 4( 1)(4 1)yN x  ， 因为 MN 为直径，所以 0DM DM   ……………………….9 分 所以 DM DN   0 0 0 0 4( 1) 4( 1)(2, 1) (2, 1) 0y y x x      所以 2 2 0 0 2 0 16 (4 )4 0y xDM DN x       ……………………….11 分 因为点 P 在椭圆上，所以 2 20 0 14 x y  ， ……………………….12 分 代入得到 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 4 8 84 0x x x x xDM DN x x          ……………………….13 分 所以 0 8x  ，这与 0 [ 2,2]x   矛盾 ……………………….14 分 所以不存在 法三 ： 假设存在，记 (2 0)D ， , (4 0)H ， 设 0 0( , )     (4, )     (4, )P x y M m N n 由已知可得 (0,1)    (0, 1)A B  ， 所以 AP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   ， ……………………….6 分 BP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   ， 令 4x  ，分别可得 0 0 4( 1) 1ym x   ， 0 0 4( 1) 1yn x   ， ……………………….8 分 所以 0 0 4( 1)(4, 1),yM x   0 0 4( 1)(4 1)yN x  ， 因为 DH MN , 所以 2DH HN HM  ……………………….9 分 所以 4  0 0 0 0 4( 1) 4( 1)| 1| | 1|y y x x     所以 2 2 0 0 0 2 0 16 16 84=| |y x x x    ……………………….11 分 因为点 P 在椭圆上，所以 2 20 0 14 x y  ， ……………………….12 分 代入得到 0 0 8 54 | |x x  , 解得 0 8x  或 0 8 9x  ……………………….13 分 当 0 8x  时，这与 0 [ 2,2]x   矛盾 当 0 8 9x  时，点 ,M N 在 x 轴同侧，矛盾 所以不存在 ……………………….14 分 20.解：（Ⅰ）因为 2'( ) ex xf x  ， ……………………….1 分 所以 '(0) 2f   . ……………………….2 分 因为 (0) 1f  ，所以曲线 ( )f x 在 (0, (0))f 处的切线方程为 2 1 0x y   .……………………..4 分 （Ⅱ）令 1( ) 0ex xf x   ，解得 1x  ， 所以 ( )f x 的零点为 1x  . ……………………….5 分 由 2'( ) 0ex xf x   解得 2x  ， 则 '( )f x 及 ( )f x 的情况如下： x ( ,2) 2 (2, ) '( )f x  0  ( )f x  极小值 2 1 e   ……………………….7 分 所以函数 ( )f x 在 2x  时,取得极小值 2 1 e  ……………………….8 分 （Ⅲ）法一： 当 1x  时， 1( ) 0ex xf x   . 当 1x  时， 1( ) 0ex xf x   . ……………………….9 分 若 1a  ，由（Ⅱ）可知 ( )f x 的最小值为 (2)f ， ( )f x 的最大值为 ( )f a ，…………………….10 分 所以“对任意 1 2, [ , )x x a  ，有 1 2 2 1( ) ( ) ef x f x   恒成立”等价于 2 1(2) ( ) ef f a   即 2 2 1 1 1 e a a e e     ， ……………………….11 分 解得 1a  . ……………………….12 分 所以 a 的最小值为 1. ……………………….13 分 法二： 当 1x  时， 1( ) 0ex xf x   . 当 1x  时， 1( ) 0ex xf x   . ……………………….9 分 且由（Ⅱ）可知， ( )f x 的最小值为 2 1(2) ef   ， ……………………….10 分 若 1a  ，令 1 22, [ ,1)x x a  ，则 1 2, [ , )x x a  而 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) 0 ( ) (2) ef x f x f x f x f     ，不符合要求， 所以 1a  . ……………………….11 分 当 1a  时， 1 2, [1, )x x   , 1 2( ) 0, ( ) 0f x f x  所以 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) 0 (2) ef x f x f x f      ，即 1a  满足要求， ……………………….12 分 综上， a 的最小值为 1. ……………………….13 分 法三： 当 1x  时， 1( ) 0ex xf x   . 当 1x  时， 1( ) 0ex xf x   . ……………………….9 分 且由（Ⅱ）可知， ( )f x 的最小值为 2 1(2) ef   ， ……………………….10 分 若 2 [ , )a  ，即 2a  时， 令 1 2,x  则任取 2 [ , )x a  ,[ 有 1 2 2 22 2 1 1( ) ( ) (2) ( ) ( )e ef x f x f f x f x        所以 2( ) 0f x  对 2 [ , )x a  成立， 所以必有 2 1x  成立，所以[ , ) [1, )a      ，即 1a  . ……………………….11 分[来源:Z.Com] 而当 1a  时， 1 2, [1, )x x   , 1 2( ) 0, ( ) 0f x f x  所以 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) 0 (2) ef x f x f x f      ，即 1a  满足要求， ……………………….12 分 而当 2a  时，求出的 a 的值，显然大于 1， 综上， a 的最小值为 1. ……………………….13 分 不用注册，免费下载！