海淀区2016届高三下学期期中练习数学（理）试卷及答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷（理科） 2016.4 本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．函数 ( ) 2 1xf x   的定义域为 A．［0，＋  ） B．［1，＋  ） C．（－  ，0］ D．（－  ，1］ 2．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为 A．－1 B．1 C．－i D．i 3．若x，y 满足 2 0 4 0 0 x y x y y          ，则 1 2z x y  的最大值为 A． 5 2 B．3 C． 7 2 D．4 4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A． 3 3 B． 3 2 C． 2 3 3 D． 2 6 3 5．已知数列 na 的前n 项和为Sn，则“  na 为常数列”是 “ *, n nn N S na   ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在极坐标系中，圆C1 : 2cos  与圆C2: 2sin  相交于 A，B两点，则｜AB｜＝ A．1 B． 2 C． 3 D． 2 7．已知函数 sin( ), 0( ) cos( ), 0 x a xf x x b x      是偶函数，则下列结论可能成立的是 A． ,4 4a b    B． 2 ,3 6a b   C． ,3 6a b   D． 5 2,6 3a b   8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是 A．甲只能承担第四项工作 B．乙不能承担第二项工作 C．丙可以不承担第三项工作 D．丁可以承担第三项工作 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．已知向量 (1, ), ( ,9)a t b t   ，若 a b    ，则t ＝ _______． 10．在等比数列 na 中，a2＝2，且 1 3 1 1 5 4a a   ，则 1 3a a 的值为_______． 11．在三个数 1 2 3 1 ,2 .log 22  中，最小的数是_______． 12．已知双曲线C： 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线l 的倾斜角为 3  ，且C 的一个焦点到l 的距离 为 3 ，则C 的方程为_______． 13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种． 14．已知函数 ( )f x ，对于实数t ，若存在a＞0，b ＞0 ，满足： [ , ]x t a t b    ，使得 | ( ) ( ) |f x f t  2，则记a＋b的最大值为H（t ）． （ⅰ）当 ( )f x ＝2x时，H（0）＝ _______． （ⅱ）当 ( )f x 2x 且t [1,2] 时，函数H（t）的值域为_______． 三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13 分） 如图，在△ABC 中，点D在边 AB上，且 1 3 AD DB  ．记∠ACD＝ ，∠BCD＝  ． （Ⅰ）求证： sin 3sin AC BC   ； （Ⅱ）若 , , 196 2 AB     ，求BC 的长． 16．（本小题满分13 分） 2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速． 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示： （Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量； （Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 2 1s ， 2 2s ，根据样本数据， 试估计 2 1s 与 2 2s 的大小关系（只需写出结论）； （Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为 ，求 随机变量 的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14 分） 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M ，N 分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB． （Ⅰ）求证： BC⊥平面PAB ； （Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小为 3  时，求PN 的长． 18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝ln x＋ 1 x －1， 1( ) ln xg x x  （Ⅰ）求函数 f (x)的最小值； （Ⅱ）求函数g(x)的单调区间； （Ⅲ）求证：直线 y＝x不是曲线 y ＝g(x)的切线。 19．（本小题满分14 分） 已知椭圆C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 3 2 ，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点， 且｜AB｜＝2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在 y轴的右侧．直线PA，PB与直线x＝ 4 分别交于M ， N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ， F ，求点P 横 坐标的取值范围及｜EF｜的最大值． 20．（本小题满分13 分） 给定正整数n(n≥3)，集合  1,2, ,nU n  ．若存在集合A，B，C，同时满足下 列条件： ① U n ＝A∪B∪C，且A∩B ＝ B∩C ＝A∩C＝ ； ②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集 合C 中（集合C 中还可以包含其它数）； ③集合A ， B ，C 中各元素之和分别记为SA ， SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ； 则称集合 Un为可分集合． （Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ， B ，C ； （Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则Un不是可分集合； （Ⅲ）若Un为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数学（理科） 2016.4 阅卷须知: 1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C A C B C B 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分， 共 30 分） 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15．解：（Ⅰ） 在 ACD 中，由正弦定理,有 sin sin AC AD ADC  …………………2 分 在 BCD 中 ， 由 正 弦 定 理 , 有 sin sin BC BD BDC  …………………4 分 因为 πADC BDC    ,所以sin sinADC BDC   …………………6 分 因为 1 3 AD DB  , 所以 sin 3sin AC BC   …………………7 分 （Ⅱ）因为 π 6   ， π 2   , 9． 3 10． 5 11. 1 2 12． 2 2 13 yx   13． 4,6 14． 2, [ 6 2,2) [2 3,4]  由（Ⅰ）得 πsin 32 π 23sin 6 AC BC   …………………9 分 设 2 , 3 , 0AC k BC k k   ,由余弦定理, 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC ACB      …………………11 分 代入,得到 2 2 2π19 4 9 2 2 3 cos 3k k k k      , 解得 1k  ,所以 3BC  . …………………13 分 16 解: (I)由山下试验田 4 株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数 3.6 4.4 4.4 3.6 44x     …………………2 分 则山下试验田100 株青蒿的青蒿素产量 S 估算为 100 400S x  g …………………3 分 （Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差 2 1s 和 2 2s ，结果为 2 1s  2 2s . …………………6 分 （Ⅲ）依题意，随机变量 可以取7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4， ， ， ， ， ， …………………7 分 1( 7.2) 4P    , 1( 7.4) 8P    1( 8) 4P    , 1( 8.2) 8P    1( 8.6) 8P    , 1( 9.4) 8P    …………………9 分 随机变量 的分布列为 …………………11 分 随机变量 的期望 1 1 1 1 1 1( ) 7.2 7.4 +8 +8.2 +8.6 +9.4 =84 8 4 8 8 8E          . …………………13 分  7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4 p 1 4 1 8 1 4 1 8 1 8 1 8 17 解: （Ⅰ）证明：在正方形 ABCD 中， AB BC , …………………1 分 因为 PA  平面 ABCD ， BC  平面 ABCD ， 所以 PA BC . …………………2 分 因为 AB PA A ，且 AB ， PA  平面 PAB ， 所以 BC  平面 PAB …………………4 分 （Ⅱ）证明：因为 BC  平面 PAB ， PB  平面 PAB , [来源:Z.Com] 所以 BC PB …………………5 分 在 PBC 中， BC PB ， MN PB ， 所以 MN BC . …………………6 分 在正方形 ABCD 中， AD BC , 所以 MN AD ， …………………7 分 所以 MN AD， 可以确定一个平面，记为 所以 , , ,M N D A四个点在同一个平面 内 …………………8 分 （Ⅲ）因为 PA  平面 ABCD ， ,AB AD  平面 ABCD ， 所以 PA AB , PA AD . 又 AB AD ,如图，以 A 为原点， , ,AB AD AP 所在直线为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系 A xyz , …………………9 分 所以 (2,2,0), (0,2,0), (2,0,0), (0,0,2)C D B P . 设平面 DAN 的一个法向量为 ( , , )n x y z ， 平面 CAN 的一个法向量为 ( , , )m a b c , 设 PN PC  , [0,1]  ， 因为 (2,2, 2)PC   ，所以 (2 ,2 ,2 2 )AN     ， 又 (0,2,0)AD  ，所以 0 0 AN n AD n          ，即 2 2 (2 2 ) 0 2 0 x y z y         ，…………………10 分 取 1z  , 得到 1( ,0,1)n    , …………………11 分 因为 (0,0,2)AP  ， (2,2,0)AC  所以 0 0 AP m AC m          ，即 2 0 2 2 0 c a b     ， 取 1a  得, 到 (1, 1,0)m   , …………………12 分 因为二面C AN D  大小为 3  , 所以 π 1|cos , | cos 3 2m n     , 所以 2 1 1|cos , | 2| || | 12 ( ) 1 m nm n m n                  解得 1 2   , 所以 3PN  …………………14 分 18 解: （Ⅰ）函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) ， …………………1 分 2 2 1 1 1'( ) xf x x x x    …………………2 分 当 x 变化时， '( )f x ， ( )f x 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1, ) '( )f x  0  ( )f x  极小值  …………………4 分 函数 ( )f x 在 ( , )0 上的极小值为 1( ) ln1 1 01f a     ， 所以 ( )f x 的最小值为 0 …………………5 分 （Ⅱ）解：函数 ( )g x 的定义域为 (0,1) (1, ) ， …………………6 分 2 2 2 1 1ln ( 1) ln 1 ( )'( ) ln ln ln x x x f xx xg x x x x        …………………7 分 由（Ⅰ）得， ( ) 0f x  ，所以 '( ) 0g x  …………………8 分 所以 ( )g x 的单调增区间是 (0,1),(1, ) ，无单调减区间. …………………9 分 （Ⅲ）证明：假设直线 y x 是曲线 ( )g x 的切线. ………………10 分 设切点为 0 0( , )x y ，则 0'( ) 1g x  ，即 0 0 2 0 1ln 1 1ln x x x    …………………11 分 又 0 0 0 0 0 1,ln xy y xx   ，则 0 0 0 1 ln x xx   . …………………12 分 所以 0 0 0 0 1 1ln 1xx x x    , 得 0'( ) 0g x  ，与 0'( ) 1g x  矛盾 所以假设不成立，直线 y x 不是曲线 ( )g x 的切线 …………………13 分 19 解：（Ⅰ）由题意可得， 1b  ， …………………1 分 3 2 ce a   ， …………………2 分 得 2 2 1 3 4 a a   ， …………………3 分 解 2 4a  ， …………………4 分 椭圆C 的标准方程为 2 2 14 x y  . …………………5 分 （Ⅱ）设 0 0 0( , )(0 2)P x y x  ， (0,1)A ， (0, 1)B  ， 所以 0 0 1 PA yk x  ，直线 PA 的方程为 0 0 1 1yy xx   ， …………………6 分 同理：直线 PB 的方程为 0 0 1 1yy xx   ， 直线 PA 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yM x   ， …………………7 分 直线 PB 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yN x   ， 线段 MN 的中点 0 0 4(4, )y x ， …………………8 分 所以圆的方程为 2 2 20 0 0 4 4( 4) ( ) (1 )yx y x x      ， …………………9 分 令 0y  ，则 2 2 20 0 2 0 16( 4) (1 )4 y xx x     ， …………………10 分 因为 2 20 0 14 x y  ，所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    ， …………………11 分 所以 2 0 8( 4) 5 0x x     ， 因为这个圆与 x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，[来源:Z|xx|k.Com] 所以 0 85 0x   ，解得 0 8( ,2]5x  . …………………12 分 设交点坐标 1 2( ,0),( ,0)x x ，则 1 2 0 8| | 2 5x x x    （ 0 8 25 x  ） 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 方法二：（Ⅱ）设 0 0 0( , )(0 2)P x y x  ， (0,1)A ， (0, 1)B  ， 所以 0 0 1 PA yk x  ，直线 PA 的方程为 0 0 1 1yy xx   ， …………………6 分 同理：直线 PB 的方程为 0 0 1 1yy xx   ， 直线 PA 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yM x   ， …………………7 分 直线 PB 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yN x   ， 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交， 则 0 0 4( 1)[ 1]y x    0 0 4( 1)[ 1] 0y x    ， …………………9 分 即 2 0 0 0 2 0 0 0 16( 1) 4( 1) 4( 1) 1 0,y y y x x x       即 2 0 2 0 0 16( 1) 8 1 0.y x x     …………………10 分 因为 2 20 0 14 x y  ，所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    , …………………11 分 代入得到 0 85 0x   ，解得 0 8( ,2]5x  . …………………12 分 该圆的直径为 0 0 0 0 0 4( 1) 4( 1) 8| +1 ( 1)|=|2 |y y x x x     ， 圆心到 x 轴的距离为 0 0 0 0 0 0 4( 1) 4( 1) 41 | +1+( 1)|=| |2 y y y x x x    ， 该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 20 0 0 0 44 8 82 (1 ) ( ) 2 5 ,( 2)5 y xx x x       ； 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 方法三： （Ⅱ）设 0 0 0( , )(0 2)P x y x  ， (0,1)A ， (0, 1)B  ， 所以 0 0 1 PA yk x  ，直线 PA 的方程为 0 0 1 1yy xx   ， …………………6 分 同理：直线 PB 的方程为 0 0 1 1yy xx   ， 直线 PA 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yM x   ， …………………7 分 直线 PB 与直线 4x  的交点为 0 0 4( 1)(4, 1)yN x   ， 所以 0 0 0 0 0 4( 1) 4( 1) 8| |=| +1 ( 1)|=|2 |y yMN x x x     ， …………………8 分 圆心到 x 轴的距离为 0 0 0 0 0 0 4( 1) 4( 1) 41 | +1+( 1)|=| |2 y y y x x x    ， …………………9 分 若该圆与 x 轴相交，则 0 4|1 |x   0 0 4| |y x ， …………………10 分 即 2 20 0 0 44(1 ) ( ) 0y x x    ， 因为 2 20 0 14 x y  ，所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    , …………………11 分 所以 0 85 0x   ，解得 0 8( ,2]5x  …………………12 分 该圆在 x 轴上截得的弦长为 2 20 0 0 0 4 4 8 82 (1 ) ( ) 2 5 2 5 =22 y x x x       ； 所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 方法四： 记 (2 0)D ， , (4 0)H ， ，设 0 0( , ) (4, ) (4, )P x y M m N n 由已知可得 (0,1) (0, 1)A B  ， 所以 AP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   ， ……………………….6 分 BP 的直线方程为 0 0 1 1yy xx   ， 令 4x  ，分别可得 0 0 4( 1) 1ym x   ， 0 0 4( 1) 1yn x   ， ……………………….8 分 所以 0 0 4( 1)(4, 1),yM x   0 0 4( 1)(4 1)yN x  ， 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 ,E F ， 因为 EH MN ， 所以 2EH HN HM  ， ……………………….9 分 2 0 0 0 0 4( 1) 4( 1)( 1) ( 1)y yEH HN HM x x         2 2 0 0 0 2 0 16 16 8( )y x x x     ……………………….10 分 因为 2 20 0 14 x y  ，所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    , ……………………….11 分 代入得到 2EH  2 0 0 2 0 8 5 0x x x   所以 0 8( ,2]5x  ， ……………………….12 分 所以 0 8 82 2 5 2 5 22EF EH x       所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 方法五： 设直线 OP 与 4x  交于点T 因为 //MN y 轴，所以有 , ,AP AO OP BP BO OP PN TN PT PM TM PT     所以 AO BO TN TM  ，所以TN TM ，所以T 是 MN 的中点. ……………………….6 分 又设 0 0 0( , )(0 2)P x y x  , 所以直线OP 方程为 0 0 yy xx  , ……………………….7 分 令 4x  ,得 0 0 4yy x  , 所以 0 0 4(4 )yT x ， ……………………….8 分 而 0 4 1r TN x    ……………………….9 分 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交于 ,E F 则 0 0 0 4 4| | 1yd rx x     ……………………….10 分 所以 2 2 0 016 ( 4)y x  因为 2 20 0 14 x y  ，所以 2 0 2 0 1 1 4 y x    ,代入得到 ……………………….11 分 所以 2 0 05 8 0x x  ，所以 0 8 5x  或 0 0x  因为点 00 2x  ，所以 0 8 25 x  ……………………….12 分 而 2 2 2 20 0 0 4 42 2 ( 1) ( )yEF r d x x      0 8 82 5 2 5 22x      所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为 2. …………………14 分 20 解： （I）依照题意，可以取  5,7A  ，  4,8B  ，  1,2,3,6C  …………………3 分 （II）假设存在 n 是3的倍数且 nU 是可分集合. 设 3n k ，则依照题意{3,6, ,3 }k C  ， 故 CS  23 33 6 3 2 k kk    ， 而这 n 个数的和为 (1 ) 2 n n ，故 21 (1 ) 3 3 2 2C n n k kS     23 3 2 k k , 矛盾， 所以 n 是 3 的倍数时， nU 一定不是可分集合 …………………7 分 (Ⅲ) n  35. …………………8 分 因为所有元素和为 (1 ) 2 n n ，又 BS 中元素是偶数，所以 (1 ) 32 B n n S  = 6m ( m 为正整数) 所以 (1 ) 12n n m  ，因为 , 1n n  为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数 由（Ⅱ）知道， n 不是 3 的倍数，所以一定有 1n  是 3 的倍数. [来源:Z+xx+k.Com] 当 n 为奇数时， 1n  为偶数，而 (1 ) 12n n m  ， 所以一定有 1n  既是 3 的倍数，又是 4 的倍数，所以 1 12n k  , 所以 *12 1,n k k   N . …………………10 分 定义集合 {1,5,7,11,...}D  ，即集合 D 由集合 nU 中所有不是 3 的倍数的奇数组成， 定义集合 {2,4,8,10,...}E  ，即集合 E 由集合 nU 中所有不是 3 的倍数的偶数组成， 根据集合 , ,A B C 的性质知道，集合 ,A D B E  ， 此时集合 ,D E 中的元素之和都是 224k ，而 21 (1 ) 24 23 2A B C n nS S S k k     ， 此时 nU 中所有 3 的倍数的和为 2(3 12 3)(4 1) 24 62 k k k k     ， 2 224 (24 2 ) 2k k k k   , 2 2(24 2 ) (24 6 ) 4k k k k k    显然必须从集合 ,D E 中各取出一些元素，这些元素的和都是 2k ， 所以从集合 {1,5,7,11,...}D  中必须取偶数个元素放到集合C 中，所以 2 6k  , 所以 3k  ，此时 35n  而令集合 {7,11,13,17,19,23,25,29,31,35}A  ， 集合 {8,10,14,16,20,22,26,28,32,34}B  ， 集合 {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,1,5,2,4}C  ， 检验可知，此时 35U 是可分集合, 所以 n 的最小值为 35. …………………13 分 不用注册，免费下载！