哈六中2015-2016学年高三数学（理）期末试题及答案

2015-2016 学年度上学期期末考试 高三理科数学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：每小题 5 分，共 12 小题 1.集合  24,03 1 xyxQx xxP      ,则 QP （ ） A. (1 2]， B. [1 2]， C. ),1()3,(  D. [1 2)， 2.已知复数 5 3 1 iz i   ，则下列说法正确的是（ ） A． z 的虚部为 4i B. z 的共轭复数为1 4i C． 5z  D. z 在复平面内对应的点在第二象限 3.下列命题中正确命题的个数是（ ） （1） cos 0  是 2 ( )2k k Z    的充分必要条件 （2） ( ) sin cosf x x x  则 ( )f x 最小正周期是 （3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变 （4）设随机变量 服从正态分布 (0,1)N ,若 ( 1)P p   ，则 1( 1 0) 2P p     A.4 B.3 C.2 D.1 4. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长 都是 2 ，该几何体的体积为 ( ) A． 4 3 B. 8 3 C. 4 D. 16 3 5.函数 1 2 log (sin 2 cos cos2 sin )4 4y x x   的单调递减区间为（ ） A. 5( , )8 8k k    k Z B. 3( , )8 8k k    k Z C. 3( , )8 8k k    k Z D. 3 5( , )8 8k k    k Z 6．执行如图程序框图其输出结果是 （ ） A． 29 B．31 C． 33 D． 35 7.变量 ,x y 满足条件 1 0 1 1 x y y x         ，则 2 2( 2)x y  的最小值为（ ） 正视图 俯视图 否 开始 1a  2 1a a  30?a  是 侧视图 A. 3 2 2 B. 5 C. 9 2 D. 5 8．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各 4 人，现在 从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取 法的种数为 ( ) A. 484 B. 472 C. 252 D. 232 9.设不等式组 0 3 0 1 x y      表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ） A. 3 3 2 18  B. 3 6   C. 3 3 12  D. 4  10.若抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ，其准线经过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点，点 M 为这两条 曲线的一个交点，且 MF p ，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 2 2  B. 2 2 C. 1 2 D. 1 2 2  11.在平行四边形 ABCD 中， 0AC CB   , 2 2 2 4 0BC AC    ,若将其沿 AC 折成直二面角 D AC B  ,则三棱 锥 D AC B  的外接球的表面积为（ ） A．16 B.8 C. 4 D. 2 12.已知函数 ( ) lnf x x x k   ，在区间 1[ , ]ee 上任取三个数 , ,a b c 均存在以 ( )f a ， ( )f b ， ( )f c 为边长的三角形， 则 k 的取值范围是（ ） A． ( 1 )  ， B. ( , 1)  C. ( , 3)e  D. ( 3 )e   ， 二、填空题：每小题 5 分，共 20 分 13.在 *1( 3) ( )n n N x   的展开式中，所有项的系数和为 32 ，则 1 x 的系数等于 14. AOB 为等腰直角三角形， 1OA  ,OC 为斜边 AB 的高，点 P 在射线OC 上，则 AP OP  的最小值为 15.椭圆 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左焦点为 F ， ( ,0), (0, ), (0, )A a B b C b  分别为其三个顶点. 直线 CF 与 AB 交 于点 D ，若椭圆的离心率 1 2e  ，则 tan BDC = 16. 在 ABC 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2, 2c b a  ，则 ABC 的面积最大值为 三、解答题：共 70 分 17.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足   NnSa nn 12 1 . (1)求数列 na 的通项公式; (2)若 nn ab 2log , 1 1   nn n bbc ,且数列  nc 的前 n 项和为 nT ,求 nT 的取值范围. 18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了 60 人，从女生中随机抽取了 50 人参加环保知识测试,统计数据如 下表所示： （Ⅰ）试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为 3 2 ， 现在环保测试中优秀的同学中选 3 人参加预选赛，若随机变量 X 表示这 3 人中通过预选赛的人数，求 X 的分 布列与数学期望. 附: 2K ＝ 2( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d      2( )P K k 0.500 0.400 0.100 0.010 0.001 k 0.455 0.708 2.706 6.635 10.828 19. ABC 为等腰直角三角形， 4 BCAC ， 90ACB ，D 、E 分别是边 AC 和 AB 的中点，现将 ADE 沿 DE 折起，使面 ADE  面 DEBC ，H 、F 分别是边 AD 和 BE 的中点，平面 BCH 与 AE 、AF 分别交于 I 、G 两点． （Ⅰ）求证： IH // BC ； （Ⅱ）求二面角 CGIA  的余弦值； 20.已知椭圆 14: 2 2  yxE 的左，右顶点分别为 BA, ，圆 优秀 非优秀 总计 男生 40 20 60 女生 20 30 50 总计 60 50 110 A HI C D B F G E 422  yx 上有一动点 P ,点 P 在 x 轴的上方，  0,1C ，直线 PA 交椭圆 E 于点 D ，连接 PBDC, . (1)若  90ADC ,求△ ADC 的面积 S ; (2)设直线 DCPB, 的斜率存在且分别为 21,kk ,若 21 kk  , 求  的取值范围. 21.设函数 21( ) ln .2f x x ax bx   (1)当 1 2a b  时，求函数 )(xf 的最大值； (2)令 21( ) ( ) 2 aF x f x ax bx x     ，（ 0 3x  ） 其图象上任意一点 0 0( , )P x y 处切线的斜率 k ≤ 2 1 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)当 0a  ， 1b   ，方程 22 ( )mf x x 有唯一实数解，求正数 m 的值． 选作题：考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图，已知 C 点在⊙ O 直径的延长线上， CA 切⊙ O 于 A 点， DC 是 ACB 的 平 分线，交 AE 于 F 点，交 AB 于 D 点． （Ⅰ）求 ADF 的度数；（Ⅱ）若 ACAB  ，求 BCAC : ． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为 sin cos sin 2 x y        ( 为参数)，若以该直角 坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为: 2sin( )4 2 t    （其中t 为常数）. （Ⅰ）若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （Ⅱ）当 2t   时，求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离． 24.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知实数 cba ,, 满足 0,0,0  cba ，且 1abc . （Ⅰ）证明： 8)1)(1)(1(  cba ； （Ⅱ）证明： cbacba 111  . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C A B B D B A C C D 13.-270 14. 8 1 15. 33 16. 22 17.(1)当 1n  时, 1 1 1 12a S  ,解得 1 2a  当 2n  时, 1 1 1 12n na S   ……① 1 12n na S  ……② ②-①得 1 1 2n n na a a  即 12n na a   数 列  na 是 以 2 为 首 项 ,2 为 公 比 的 等 比 数 列  2n na  (2) 2 2log log 2n n nb a n   1 1 1 1 1 ( 1) 1n n n c b b n n n n      1 1 1 1 1 1 11 ...2 2 3 3 4 1nT n n           = 11 1n   n N  1 10,1 2n       1,12nT      18. (I) 2 2 110(40 30 20 20) 60 50 60 50K       2 7.822K  2 7.822 6.635K   有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. (II) X 的 可 能 取 值 为 0,1,2,3 27 1)3 1()0( 3 XP 9 2)3 1)(3 2()1( 21 3  CXP 9 4)3 2)(3 1()2( 22 3  CXP 27 8)3 2()3( 3 XP X 0 1 2 3 P 27 1 9 2 9 4 27 8 ( ) 2E X  19. (Ⅰ)因为 D 、 E 分别是边 AC 和 AB 的中点，所以 BCED// ，因为 BC 平面 BCH ， ED 平面 BCH ， 所以 //ED 平面 BCH 因为 ED 平面 BCH ， ED 平面 AED ，平面 BCH  平 面 HIAED  所以 HIED// 又因为 BCED// ，所以 IH // BC . (Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得， )0,0,0(D ， )0,0,2(E ， )2,0,0(A ， )0,1,3(F ， )0,2,0(E ， )1,0,0(H ， )2,0,2(EA ， )0,1,1(EF ， )1,2,0( CH ， )0,0,1(2 1  DEHI ， 设平面 AGI 的一个法向量为 ),,( 1111 zyxn  ，则      0 0 1 1 nEB nEA ，      0 0 11 11 yx zx ，令 11 z ，解得 11 x ， 11 y ， 则 )1,1,1(1 n 设平面CHI 的一个法向量为 ),,( 2222 zyxn  ，则 A HI C D B F G E z y x      0 0 2 2 nHI nCH ，      0 02 2 21 x zy ，令 22 z ，解得 11 y ，则 )2,1,0(2 n 15 15 53 21,cos 21    nn ，所以二面角 CGIA  的余弦值为 15 15 20. （ 1 ） 依 题 意 ， )0,2(A . 设 ),( 11 yxD ， 则 14 2 1 2 1  yx . 由  90ADC 得 1 CDAD kk , 112 1 1 1 1  x y x y ,     12 41 12 1 2 1 2 1 11 2 1    xx x xx y , 解得 舍去）(2,3 2 11  xx 3 22 1  y , 233 22 2 1 S . (2)设  22 , yxD , 动点 P 在圆 422  yx 上,  1 PAPB kk . 又 21 kk  ,  1 2 1 2 2 2 2    x y x y  , 即    2 2 22 12 y xx  =    41 12 2 2 22 x xx   =     2 2 22 44 1 12 x xx   = 2 14 2 2   x x =        2 114 2x .又由题意可知  2,22 x ,且 12 x , 则问题可转化为求函数     1,2,22 114       xxxxf 且 的值域. 由导数可知函数  xf 在其定义域内为减函数, 函数  xf 的值域为    3,00,  从而  的取值范围为    3,00,  21 解: （1）依题意，知 )(xf 的定义域为（0，+∞）， 当 2 1 ba 时 ， xxxxf 2 1 4 1ln)( 2  ， x xxxxxf 2 )1)(2( 2 1 2 11)('  令 )(' xf =0 ， 解 得 1x ．（∵ 0x ），当 10  x 时， 0)(' xf ，此时 )(xf 单调递增；当 1x 时， 0)(' xf ，此时 )(xf 单调递 减。 所以 )(xf 的极大值为 4 3)1( f ，此即为最大值 (2） x axxF  ln)( ， ]3,0(x ，则有 2 0 0 0 )(' x axxFk  ≤ 2 1 ，在 ]3,0(0 x 上恒成立，所以 a ≥ max0 2 0 )2 1( xx  ， ]3,0(0 x 当 10 x 时， 0 2 02 1 xx  取得最大值 2 1 ，所以 a ≥ 2 1 (3)因为方程 2)(2 xxmf  有唯一实数解，所以 02ln22  mxxmx 有唯一实数解， 设 mxxmxxg 2ln2)( 2  ，则 x mmxxxg 222)(' 2  ．令 0)(' xg ， 02  mmxx ． 因为 0m ， 0x ，所以 02 42 1  mmmx （舍去）， 2 2 4 2 m m mx   ， 当 ),0( 2xx 时， 0)(' xg ， )(xg 在（0， 2x ）上单调递减， 当 ),( 2  xx 时， 0)(' xg ， )(xg 在（ 2x ，+∞）单调递增 当 2xx  时， )(' 2xg =0， )(xg 取最小值 )( 2xg ．因为 0)( xg 有唯一解，所以 0)( 2 xg 则      ,0)(' ,0)( 2 2 xg xg 既      .0 ,02ln2 2 2 2 22 2 2 mmxx mxxmx 所 以 0ln2 22  mmxxm ， 因 为 0m ， 所 以 01ln2 22  xx （*）设函数 1ln2)(  xxxh ，因为当 0x 时， )(xh 是增函数，所以 0)( xh 至多有一解． 因为 0)1( h ，所以方程（*）的解为 2 1x  ，即 2 4 12 m m m   ，解得 2 1m 22．（1）因为 AC 为⊙ O 的切线，所以 EACB  因为 DC 是 ACB 的平分线，所以 DCBACD  所以 ACDEACDCBB  ，即 AFDADF  ， 所以  90DAE 所以  45)180(2 1 DAEADF . （2）因为 EACB  ，所以 ACBACB  ，所以 ACE ∽ BCA ， 所以 AB AE BC AC  ，在 ABC 中，又因为 ACAB  ，所以  30ACBB ， ABERt 中， 3 330tantan  BAB AE BC AC 23. （Ⅰ）由已知  2,2,1: 2  xxyM ； tyxN : 联立方程有一个解，可得 2 1 2 1t     或 5 4t   （ Ⅱ ） 当 2t 时 ， 直 线 N: 2 yx ， 设 M 上 点 为 )1,( 2 00 xx ， 0 2x  ， 则 8 23 2 4 3)2 1( 2 1 2 00 2 0      xxx d ， 当 0 1 2x   时取等号，满足 0 2x  ，所以所求的最小距离为 8 23 24.(1) ccbbaa 21,21,21  ，相乘得证 （ 2 ） acbcabcba  111 bcabbcab 22 2  ， acbaacab 22 2  ， ccabacbc 22 2  相加得证