2016西城区高三文科数学期末试题及答案

北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2016.1 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项． 1．设集合 { | }A x x a  ，集合 { 1,1, 2}B   ，若 A B B ，则实数 a的取值范围是（ ） （A） (1, ) （B） ( ,1) （C） ( 1, )  （D） ( , 1)  2. 下列函数中，值域为[0, ) 的偶函数是（ ） （A） 2 1y x  （B） lgy x （C） | |y x （D） cosy x x 3．设M 是 ABC 所在平面内一点，且 BM MC   ，则 AM   （ ） （A） AB AC   （B） AB AC   （C） 1 ( ) 2 AB AC   （D） 1 ( ) 2 AB AC   4．设命题 p：“若 e 1x  ，则 0x  ”，命题 q：“若 a b ，则 1 1 a b  ”，则（ ） （A）“ p q ”为真命题 （B）“ p q ”为真命题 （C）“ p ”为真命题 （D）以上都不对 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ） （A）16 2 3 （B）16 2 5 （C） 20 2 3 （D）20 2 5 侧(左)视图正(主)视图 俯视图 2 2 1 1 6. “ 0mn  ”是“曲线 2 2 1x y m n   是焦点在 x轴上的双曲线”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 设 x，y 满足约束条件 1, 3, , x y y m y x       ≤ ≤ ≥ 若 3z x y  的最大值与最小值的差为 7，则实数m （ ） （A） 3 2 （B） 3 2  （C） 1 4 （D） 1 4  8. 某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过 4 千米的里程收费 12 元; 超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）； 当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元. 相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x（单位：千米）为行驶里程， y（单位：元）为所 收费用，用[x]表示不大于 x的最大整数，则图中○1 处应填（ ） （A） 12[ ] 4 2 y x   （B） 12[ ] 5 2 y x   （C） 12[ ] 4 2 y x   （D） 12[ ] 5 2 y x   第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 开始 4x 输出 y 结束 否是 输入 x y=12○1 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9. 已知复数 z满足 (1 i) 2 4iz    ，那么 z  ____. 10．若抛物线 2 2C y px： 的焦点在直线 3 0x y   上，则实数 p  ____；抛物线 C的准线方程为 ____. 11．某校某年级有 100 名学生，已知这些学生完成家庭作业的时 间均在区间[0.5, 3.5)内（单位：小时），现将这 100 人完成家 庭作业的时间分为 3 组：[0.5, 1.5)，[1.5, 2.5) ，[2.5, 3.5)加 以统计，得到如图所示的频率分布直方图. 在这 100 人中，采用分层抽样的方法抽取 10 名学生研究其视 力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的 时间小于 2.5 个小时的有_____人. 12．已知函数 ( )f x 的部分图象如图所示，若不等式 2 ( ) 4f x t    的解集为 ( 1,2) ，则实数 t的值为____. 13. 在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若 πsin cos( ) 2 A B  ， 3a  ， 2c  ，则 cosC  ____；  ABC的面积为____. 14. 某食品的保鲜时间 t（单位：小时）与储藏温度 x（恒温，单位：C ）满足函数关系 6 0, 2 64, , 0.kx x t x     ≤ 且该食品在 4 C 的保鲜时间是 16 小时. ○1 该食品在8 C 的保鲜时间是_____小时； ○2 已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，并将其遗 放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到 了此日 13 时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______. （填“是”或“否”） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． O x y 4 -2 3 O 时间(小时)0.5 1.5 2.5 3.5 0.1 0.4 a 频率 组距 15．（本小题满分 13 分） 已知数列{ }na 是等比数列，并且 1 2 3, 1,a a a 是公差为 3 的等差数列. （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设 2n nb a ，记 nS 为数列{ }nb 的前 n项和，证明： 16 3nS  . 16．（本小题满分 13 分） 已知函数 3( ) cos (sin 3 cos ) 2 f x x x x   ， xR . （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期； （Ⅱ）若 (0, π)x ，求函数 ( )f x 的单调增区间. 17．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形， 135BCD  ，侧面 PAB 底面 ABCD， 90BAP   , 6AB AC PA   , ,E F分别为 ,BC AD的中点，点M在线段PD上. （Ⅰ）求证： EF 平面 PAC； （Ⅱ）若M为PD的中点，求证： //ME 平面PAB； （Ⅲ）当 1 2 PM MD  时，求四棱锥M ECDF 的体积. 18．（本小题满分 13 分） F C A D P M B E 甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得 0 分. 两人 4 局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙 7 9 x y （Ⅰ）已知在乙的 4 局比赛中随机选取 1 局时，此局得分小于 6 分的概率不为零，且在 4 局比 赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求 x y 的值； （Ⅱ）如果 6x  ， 10y  ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，并将其得分分别记为 a， b，求 ba≥ 的概率； （Ⅲ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x的所有可能 取值.（结论不要求证明） 19．（本小题满分 14 分） 已知椭圆C : )0(12 2 2 2  ba b y a x 的离心率为 3 2 ，点 3(1, ) 2 A 在椭圆 C上，O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设动直线 l与椭圆C有且仅有一个公共点，且 l与圆 2 2 5x y  的相交于不在坐标轴上的 两点 1P， 2P ，记直线 1OP， 2OP 的斜率分别为 1k ， 2k ，求证： 1 2k k 为定值. 20．（本小题满分 13 分） 已知函数 2 1( ) 2f x x x   ，直线 1l y kx ： . （Ⅰ）求函数 ( )f x 的极值； （Ⅱ）求证：对于任意 kR，直线 l都不是曲线 ( )y f x 的切线； （Ⅲ）试确定曲线 ( )y f x 与直线 l的交点个数，并说明理由. 北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2016.1 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分. 9． 1 3i  10．6 3x   11. 9 12．1 13． 7 9 2 2 14．4 是 注：第 10，13，14题第一问 2分，第二问 3分. 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：设等比数列{ }na 的公比为 q， 因为 1 2 3, 1,a a a 是公差为 3 的等差数列， 所以 2 1 3 2 1 3, ( 1) 3, a a a a        ……………… 2 分 即 1 1 2 1 1 4, 2, a q a a q a q        ……………… 3 分 解得 1 18, 2 a q  . ……………… 5 分 所以 1 1 4 1 18 ( ) 2 2 n n n na a q       ． ……………… 7 分 （Ⅱ）证明：因为 1 2 2 2 1 4 n n n n b a b a    ， 所以数列{ }nb 是以 1 2 4b a  为首项， 1 4 为公比的等比数列. ……………… 8 分 所以 14[1 ( ) ] 4 11 4 n nS    ……………… 11 分 16 1 16[1 ( ) ] 3 4 3 n   . ……………… 13 分 16．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解： 3( ) cos (sin 3 cos ) 2 f x x x x   23sin cos (2cos 1) 2 x x x   1 3sin 2 cos 2 2 2 x x  ……………… 4 分 πsin(2 ) 3 x  ， ……………… 6 分 所以函数 ( )f x 的最小正周期 2π =π 2 T  . ……………… 8 分 （Ⅱ）解：由 π π ππ 2 π+ 2 3 2 2 2xk k ≤ ≤ ， kZ， ……………… 9 分 得 5π ππ π+ 12 12 xk k ≤ ≤ ， 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 5π ππ π+ ] 12 12 [k k , ， kZ . ……………… 11 分 所以当 (0, π)x 时， ( )f x 的增区间为 π(0 ] 12 , ， 7π[ ,π) 12 . ……………… 13 分 （注：或者写成增区间为 π(0 ) 12 , ， 7π( ,π) 12 . ） 17．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明：在平行四边形 ABCD中，因为 AB AC ， 135BCD  ， 所以 AB AC . 由 ,E F分别为 ,BC AD的中点，得 //EF AB， 所以 EF AC . ………………1 分 因为侧面PAB 底面 ABCD，且 90BAP  ， 所以PA底面 ABCD . ………………2 分 又因为 EF 底面 ABCD， 所以 PA EF . ………………3 分 又因为 PA AC A ， PA平面PAC， AC 平面PAC， 所以 EF 平面PAC . ………………5 分 （Ⅱ）证明：因为M为PD的中点， F 分别为 AD的中点， 所以 //MF PA， 又因为MF 平面PAB，PA平面PAB， 所以 //MF 平面PAB . ………………7 分 同理，得 //EF 平面PAB . 又因为 =MF EF F ，MF 平面MEF，EF 平面MEF， 所以平面 //MEF 平面PAB . ………………9 分 又因为ME 平面MEF， 所以 //ME 平面PAB . ………………10 分 （Ⅲ）解：在 PAD 中，过M作 //MN PA交 AD于点 N （图略）， 由 1 2 PM MD  ，得 2 3 MN PA  ， 又因为 6PA  ， 所以 4MN  ， ……………… 12 分 因为PA底面 ABCD， 所以MN 底面 ABCD， 所以四棱锥M ECDF 的体积 1 1 6 6 4 24 3 3 2M ECDF ECDFV S MN         . …… 14 分 18．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：由题意，得 7 9 6 6 9 9 4 4 x y       ，即 14x y  . ……………… 2 分 因为在乙的 4 局比赛中，随机选取 1 局，则此局得分小于 6 分的概率不为零， 所以 ,x y中至少有一个小于 6， ……………… 4 分 又因为 10, 10x y≤ ≤ ，且 ,x yN， 所以 15x y ≤ ， 所以 15x y  . ……………… 5 分 （Ⅱ）解：设 “从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，且得分满足 ba≥ ”为事件M ， ……………… 6 分 记甲的 4 局比赛为 1A， 2A ， 3A ， 4A ，各局的得分分别是 6，6，9，9；乙的 4 局比赛 为 1B ， 2B ， 3B ， 4B ，各局的得分分别是 7，9，6，10. 则从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，所有可能的结果有 16 种， 它们是： 1 1( , )A B ， 1 2( , )A B ， 1 3( , )A B ， 1 4( , )A B ， 2 1( , )A B ， 2 2( , )A B ， 2 3( , )A B ， 2 4( , )A B ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 3 3( , )A B ， F C A D P M B E 3 4( , )A B ， 4 1( , )A B ， 4 2( , )A B ， 4 3( , )A B ， 4 4( , )A B . ……………… 7 分 而事件M 的结果有 8 种，它们是： 1 3( , )A B ， 2 3( , )A B ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 3 3( , )A B ， 4 1( , )A B ， 4 2( , )A B ， 4 3( , )A B ， ……………… 8 分 因此事件M 的概率 8 1( ) 16 2 P M   . ……………… 10 分 （Ⅲ）解： x的可能取值为6 ，7 ，8 . ……………… 13 分 19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：由题意，得 3 2 c a  ， 2 2 2a b c  ， ……………… 2 分 又因为点 3(1, ) 2 A 在椭圆C上， 所以 2 2 1 3 1 4a b   ， ……………… 3 分 解得 2a  ， 1b  ， 3c  ， 所以椭圆 C的方程为 1 4 2 2  yx . ……………… 5 分 （Ⅱ）证明：当直线 l的斜率不存在时，由题意知 l的方程为 2x   ， 易得直线 1OP， 2OP 的斜率之积 1 2 1 4 k k   . …………… 6 分 当直线 l的斜率存在时，设 l的方程为 mkxy  . …………… 7 分 由方程组 2 2 , 1, 4 y kx m x y       得 0448)14( 222  mkm ， ……………… 8 分 因为直线 l与椭圆 C有且只有一个公共点， 所以 2 2 2(8 ) 4(4 1)(4 4) 0km k m      ，即 2 24 1m k  . ……………… 9 分 由方程组 2 2 , 5, y kx m x y      得 2 2 2( 1) 2 5 0k x kmx m     ， ……………… 10 分 设 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ，则 1 2 2 2 1 kmx x k     ， 2 1 2 2 5 1 mx x k     ， ……………… 11 分 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x mk k x x x x x x          2 2 2 2 22 2 2 2 2 5 2 51 1 5 5 1 m kmk km m m kk k m m k             ， ……………… 13 分 将 2 24 1m k  代入上式， 得 2 1 2 2 1 1 4 4 4 kk k k        . 综上， 1 2k k 为定值 1 4  . ……………… 14 分 20．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：函数 ( )f x 定义域为{ | 0}x x  ， ……………… 1 分 求导，得 3 2( ) 2f x x    ， ……………… 2 分 令 ( ) 0f x  ，解得 1x  ． 当 x变化时， ( )f x 与 ( )f x 的变化情况如下表所示： x ( ,0) (0,1) 1 (1, ) ( )f x   0  ( )f x ↗ ↘ ↗ 所以函数 ( )y f x 的单调增区间为 ( ,0) ， (1, ) ，单调减区间为 (0,1)， ……………… 3 分 所以函数 ( )y f x 有极小值 (1) 3f  ，无极大值． ……………… 4 分 （Ⅱ）证明：假设存在某个 kR，使得直线 l与曲线 ( )y f x 相切， ……………… 5 分 设切点为 0 0 2 0 1( , 2 )A x x x  ，又因为 3 2( ) 2f x x    ， 所以切线满足斜率 3 0 22k x   ，且过点 A， 所以 0 02 3 0 0 1 22 (2 ) 1x x x x     ， ……………… 7 分 即 2 0 3 1 x   ，此方程显然无解， 所以假设不成立． 所以对于任意 kR，直线 l都不是曲线 ( )y f x 的切线. ……………… 8 分 （Ⅲ）解：“曲线 ( )y f x 与直线 l的交点个数”等价于“方程 2 12 1x kx x    的根的个数”. 由方程 2 12 1x kx x    ，得 3 1 1 2k x x    . ……………… 9 分 令 1t x  ，则 3 2k t t   ，其中 tR，且 0t  . 考察函数 3( ) 2h t t t   ，其中 tR， 因为 2( ) 3 1 0h t t    时， 所以函数 ( )h t 在R单调递增，且 ( )h t R . ……………… 11 分 而方程 3 2k t t   中， tR，且 0t  . 所以当 (0) 2k h  时，方程 3 2k t t   无根；当 2k  时，方程 3 2k t t   有且仅有一 根， 故当 2k  时，曲线 ( )y f x 与直线 l没有交点，而当 2k  时，曲线 ( )y f x 与直线 l有 且仅有一个交点. ……………… 13 分