北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末试卷
高三数学（文科） 2016.1
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．设集合 { | }A x x a ，集合 { 1,1, 2}B ，若 A B B ，则实数 a的取值范围是（ ）
（A） (1, ) （B） ( ,1) （C） ( 1, ) （D） ( , 1)
2. 下列函数中，值域为[0, ) 的偶函数是（ ）
（A） 2 1y x （B） lgy x （C） | |y x （D） cosy x x
3．设M 是 ABC 所在平面内一点，且 BM MC
，则 AM
（ ）
（A） AB AC
（B） AB AC
（C）
1 ( )
2
AB AC
（D）
1 ( )
2
AB AC
4．设命题 p：“若 e 1x ，则 0x ”，命题 q：“若 a b ，则
1 1
a b
”，则（ ）
（A）“ p q ”为真命题 （B）“ p q ”为真命题
（C）“ p ”为真命题 （D）以上都不对
5. 一个几何体的三视图如图所示，那么
这个几何体的表面积是（ ）
（A）16 2 3
（B）16 2 5
（C） 20 2 3
（D）20 2 5
侧(左)视图正(主)视图
俯视图
2
2
1 1
6. “ 0mn ”是“曲线
2 2
1x y
m n
是焦点在 x轴上的双曲线”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
7. 设 x，y 满足约束条件
1,
3,
,
x y
y m
y x
≤
≤
≥
若 3z x y 的最大值与最小值的差为 7，则实数m （ ）
（A）
3
2
（B）
3
2
（C）
1
4
（D）
1
4
8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：
不超过 4 千米的里程收费 12 元;
超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于
0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）；
当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元.
相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x（单位：千米）为行驶里程， y（单位：元）为所
收费用，用[x]表示不大于 x的最大整数，则图中○1
处应填（ ）
（A）
12[ ] 4
2
y x
（B）
12[ ] 5
2
y x
（C）
12[ ] 4
2
y x
（D）
12[ ] 5
2
y x
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
开始
4x
输出 y
结束
否是
输入 x
y=12○1
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9. 已知复数 z满足 (1 i) 2 4iz ，那么 z ____.
10．若抛物线 2 2C y px： 的焦点在直线 3 0x y 上，则实数 p ____；抛物线 C的准线方程为
____.
11．某校某年级有 100 名学生，已知这些学生完成家庭作业的时
间均在区间[0.5, 3.5)内（单位：小时），现将这 100 人完成家
庭作业的时间分为 3 组：[0.5, 1.5)，[1.5, 2.5) ，[2.5, 3.5)加
以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
在这 100 人中，采用分层抽样的方法抽取 10 名学生研究其视
力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的
时间小于 2.5 个小时的有_____人.
12．已知函数 ( )f x 的部分图象如图所示，若不等式 2 ( ) 4f x t
的解集为 ( 1,2) ，则实数 t的值为____.
13. 在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若
πsin cos( )
2
A B ， 3a ， 2c ，则 cosC ____；
ABC的面积为____.
14. 某食品的保鲜时间 t（单位：小时）与储藏温度 x（恒温，单位：C ）满足函数关系 6
0,
2
64,
, 0.kx
x
t
x
≤
且该食品在 4 C 的保鲜时间是 16 小时.
○1 该食品在8 C 的保鲜时间是_____小时；
○2 已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，并将其遗
放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到
了此日 13 时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.
（填“是”或“否”）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
O x
y
4
-2
3
O 时间(小时)0.5 1.5 2.5 3.5
0.1
0.4
a
频率
组距
15．（本小题满分 13 分）
已知数列{ }na 是等比数列，并且 1 2 3, 1,a a a 是公差为 3 的等差数列.
（Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）设 2n nb a ，记 nS 为数列{ }nb 的前 n项和，证明：
16
3nS .
16．（本小题满分 13 分）
已知函数
3( ) cos (sin 3 cos )
2
f x x x x ， xR .
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若 (0, π)x ，求函数 ( )f x 的单调增区间.
17．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是平行四边形， 135BCD ，侧面 PAB 底面 ABCD，
90BAP , 6AB AC PA , ,E F分别为 ,BC AD的中点，点M在线段PD上.
（Ⅰ）求证： EF 平面 PAC；
（Ⅱ）若M为PD的中点，求证： //ME 平面PAB；
（Ⅲ）当
1
2
PM
MD
时，求四棱锥M ECDF 的体积.
18．（本小题满分 13 分）
F
C
A D
P
M
B E
甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得
0 分. 两人 4 局的得分情况如下：
甲 6 6 9 9
乙 7 9 x y
（Ⅰ）已知在乙的 4 局比赛中随机选取 1 局时，此局得分小于 6 分的概率不为零，且在 4 局比
赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求 x y 的值；
（Ⅱ）如果 6x ， 10y ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，并将其得分分别记为 a，
b，求 ba≥ 的概率；
（Ⅲ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x的所有可能
取值.（结论不要求证明）
19．（本小题满分 14 分）
已知椭圆C : )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
的离心率为
3
2
，点
3(1, )
2
A 在椭圆 C上，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设动直线 l与椭圆C有且仅有一个公共点，且 l与圆 2 2 5x y 的相交于不在坐标轴上的
两点 1P， 2P ，记直线 1OP， 2OP 的斜率分别为 1k ， 2k ，求证： 1 2k k 为定值.
20．（本小题满分 13 分）
已知函数 2
1( ) 2f x x
x
，直线 1l y kx ： .
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的极值；
（Ⅱ）求证：对于任意 kR，直线 l都不是曲线 ( )y f x 的切线；
（Ⅲ）试确定曲线 ( )y f x 与直线 l的交点个数，并说明理由.
北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2016.1
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.
1．D 2．C 3．D 4．B
5．B 6．B 7．C 8．D
二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分.
9． 1 3i 10．6 3x
11. 9 12．1
13．
7
9 2 2 14．4 是
注：第 10，13，14题第一问 2分，第二问 3分.
三、解答题：本大题共 6小题，共 80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：设等比数列{ }na 的公比为 q，
因为 1 2 3, 1,a a a 是公差为 3 的等差数列，
所以
2 1
3 2
1 3,
( 1) 3,
a a
a a
……………… 2 分
即
1 1
2
1 1
4,
2,
a q a
a q a q
……………… 3 分
解得 1
18,
2
a q . ……………… 5 分
所以
1 1 4
1
18 ( ) 2
2
n n n
na a q ． ……………… 7 分
（Ⅱ）证明：因为
1 2 2
2
1
4
n n
n n
b a
b a
，
所以数列{ }nb 是以 1 2 4b a 为首项，
1
4
为公比的等比数列. ……………… 8 分
所以
14[1 ( ) ]
4
11
4
n
nS
……………… 11 分
16 1 16[1 ( ) ]
3 4 3
n . ……………… 13 分
16．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：
3( ) cos (sin 3 cos )
2
f x x x x
23sin cos (2cos 1)
2
x x x
1 3sin 2 cos 2
2 2
x x ……………… 4 分
πsin(2 )
3
x ， ……………… 6 分
所以函数 ( )f x 的最小正周期
2π =π
2
T . ……………… 8 分
（Ⅱ）解：由
π π ππ 2 π+
2 3 2
2 2xk k ≤ ≤ ， kZ， ……………… 9 分
得
5π ππ π+
12 12
xk k ≤ ≤ ，
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为
5π ππ π+ ]
12 12
[k k , ， kZ . ……………… 11 分
所以当 (0, π)x 时， ( )f x 的增区间为
π(0 ]
12
, ，
7π[ ,π)
12
. ……………… 13 分
（注：或者写成增区间为
π(0 )
12
, ，
7π( ,π)
12
. ）
17．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）证明：在平行四边形 ABCD中，因为 AB AC ， 135BCD ，
所以 AB AC .
由 ,E F分别为 ,BC AD的中点，得 //EF AB，
所以 EF AC . ………………1 分
因为侧面PAB 底面 ABCD，且 90BAP ，
所以PA底面 ABCD . ………………2 分
又因为 EF 底面 ABCD，
所以 PA EF . ………………3 分
又因为 PA AC A ， PA平面PAC， AC 平面PAC，
所以 EF 平面PAC . ………………5 分
（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点， F 分别为 AD的中点，
所以 //MF PA，
又因为MF 平面PAB，PA平面PAB，
所以 //MF 平面PAB . ………………7 分
同理，得 //EF 平面PAB .
又因为 =MF EF F ，MF 平面MEF，EF 平面MEF，
所以平面 //MEF 平面PAB . ………………9 分
又因为ME 平面MEF，
所以 //ME 平面PAB . ………………10 分
（Ⅲ）解：在 PAD 中，过M作 //MN PA交 AD于点 N （图略），
由
1
2
PM
MD
，得
2
3
MN
PA
，
又因为 6PA ，
所以 4MN ， ……………… 12 分
因为PA底面 ABCD，
所以MN 底面 ABCD，
所以四棱锥M ECDF 的体积
1 1 6 6 4 24
3 3 2M ECDF ECDFV S MN
. …… 14 分
18．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：由题意，得 7 9 6 6 9 9
4 4
x y
，即 14x y . ……………… 2 分
因为在乙的 4 局比赛中，随机选取 1 局，则此局得分小于 6 分的概率不为零，
所以 ,x y中至少有一个小于 6， ……………… 4 分
又因为 10, 10x y≤ ≤ ，且 ,x yN，
所以 15x y ≤ ，
所以 15x y . ……………… 5 分
（Ⅱ）解：设 “从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，且得分满足 ba≥ ”为事件M ，
……………… 6 分
记甲的 4 局比赛为 1A， 2A ， 3A ， 4A ，各局的得分分别是 6，6，9，9；乙的 4 局比赛
为 1B ， 2B ， 3B ， 4B ，各局的得分分别是 7，9，6，10.
则从甲、乙的 4 局比赛中随机各选取 1 局，所有可能的结果有 16 种， 它们是： 1 1( , )A B ，
1 2( , )A B ， 1 3( , )A B ， 1 4( , )A B ， 2 1( , )A B ， 2 2( , )A B ， 2 3( , )A B ， 2 4( , )A B ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 3 3( , )A B ，
F
C
A D
P
M
B E
3 4( , )A B ， 4 1( , )A B ， 4 2( , )A B ， 4 3( , )A B ， 4 4( , )A B . ……………… 7 分
而事件M 的结果有 8 种，它们是： 1 3( , )A B ， 2 3( , )A B ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 3 3( , )A B ， 4 1( , )A B ，
4 2( , )A B ， 4 3( , )A B ， ……………… 8 分
因此事件M 的概率 8 1( )
16 2
P M . ……………… 10 分
（Ⅲ）解： x的可能取值为6 ，7 ，8 . ……………… 13 分
19．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）解：由题意，得
3
2
c
a
， 2 2 2a b c ， ……………… 2 分
又因为点
3(1, )
2
A 在椭圆C上，
所以
2 2
1 3 1
4a b
， ……………… 3 分
解得 2a ， 1b ， 3c ，
所以椭圆 C的方程为 1
4
2
2
yx . ……………… 5 分
（Ⅱ）证明：当直线 l的斜率不存在时，由题意知 l的方程为 2x ，
易得直线 1OP， 2OP 的斜率之积 1 2
1
4
k k . …………… 6 分
当直线 l的斜率存在时，设 l的方程为 mkxy . …………… 7 分
由方程组 2
2
,
1,
4
y kx m
x y
得 0448)14( 222 mkm ， ……………… 8 分
因为直线 l与椭圆 C有且只有一个公共点，
所以 2 2 2(8 ) 4(4 1)(4 4) 0km k m ，即 2 24 1m k . ……………… 9 分
由方程组 2 2
,
5,
y kx m
x y
得 2 2 2( 1) 2 5 0k x kmx m ， ……………… 10 分
设 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ，则 1 2 2
2
1
kmx x
k
，
2
1 2 2
5
1
mx x
k
， ……………… 11 分
所以
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x mk k
x x x x x x
2
2 2
2 22 2
2 2
2
5 2
51 1
5 5
1
m kmk km m m kk k
m m
k
， ……………… 13 分
将 2 24 1m k 代入上式，
得
2
1 2 2
1 1
4 4 4
kk k
k
.
综上， 1 2k k 为定值
1
4
. ……………… 14 分
20．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：函数 ( )f x 定义域为{ | 0}x x ， ……………… 1 分
求导，得 3
2( ) 2f x
x
， ……………… 2 分
令 ( ) 0f x ，解得 1x ．
当 x变化时， ( )f x 与 ( )f x 的变化情况如下表所示：
x ( ,0) (0,1) 1 (1, )
( )f x 0
( )f x ↗ ↘ ↗
所以函数 ( )y f x 的单调增区间为 ( ,0) ， (1, ) ，单调减区间为 (0,1)，
……………… 3 分
所以函数 ( )y f x 有极小值 (1) 3f ，无极大值． ……………… 4 分
（Ⅱ）证明：假设存在某个 kR，使得直线 l与曲线 ( )y f x 相切， ……………… 5 分
设切点为 0 0 2
0
1( , 2 )A x x
x
，又因为 3
2( ) 2f x
x
，
所以切线满足斜率 3
0
22k
x
，且过点 A，
所以 0 02 3
0 0
1 22 (2 ) 1x x
x x
， ……………… 7 分
即 2
0
3 1
x
，此方程显然无解，
所以假设不成立．
所以对于任意 kR，直线 l都不是曲线 ( )y f x 的切线. ……………… 8 分
（Ⅲ）解：“曲线 ( )y f x 与直线 l的交点个数”等价于“方程 2
12 1x kx
x
的根的个数”.
由方程 2
12 1x kx
x
，得 3
1 1 2k
x x
. ……………… 9 分
令
1t
x
，则 3 2k t t ，其中 tR，且 0t .
考察函数 3( ) 2h t t t ，其中 tR，
因为 2( ) 3 1 0h t t 时，
所以函数 ( )h t 在R单调递增，且 ( )h t R . ……………… 11 分
而方程 3 2k t t 中， tR，且 0t .
所以当 (0) 2k h 时，方程 3 2k t t 无根；当 2k 时，方程 3 2k t t 有且仅有一
根，
故当 2k 时，曲线 ( )y f x 与直线 l没有交点，而当 2k 时，曲线 ( )y f x 与直线 l有
且仅有一个交点. ……………… 13 分
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