北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2016.1
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项．
1．设集合 { | 1}A x x ，集合 { 2}B a ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是（ ）
（A）( , 1] （B）( ,1] （C）[ 1, ) （D）[1, )
2. 下列函数中，值域为 R 的偶函数是（ ）
（A） 2 1y x （B） e ex xy （C） lg | |y x （D） 2y x
3. 设命题 p：“若 1sin 2
，则 π
6
”，命题 q：“若 a b ，则 1 1
a b
”，则（ ）
（A）“ p q ”为真命题 （B）“ p q ”为假命题
（C）“ q ”为假命题 （D）以上都不对
4. 在数列{ }na 中，“对任意的 *n N ， 2
1 2n n na a a ”是“数列{ }na 为等比数列”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个
几何体的表面积是（ ）
（A）16 2 3
（B）16 2 5
（C） 20 2 3
（D） 20 2 5
侧(左)视图正(主)视图
俯视图
2
2
1 1
开始
4x
输出 y
结束
否是
输入 x
y=12○1
6. 设 x ，y 满足约束条件
1,
3,
,
x y
y m
y x
≤
≤
≥
若 3z x y 的最大值与最小值的差为 7，则实数 m （ ）
（A） 3
2
（B） 3
2
（C） 1
4
（D） 1
4
7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：
不超过 4 千米的里程收费 12 元;
超过 4 千米的里程按每千米 2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于
0.5 千米则不收费，若其大于或等于 0.5 千米则按 1 千米收费）；
当车程超过 4 千米时，另收燃油附加费 1 元.
相应系统收费的程序框图如图所示，其中 x （单位：千米）为行驶里程， y （单位：元）为所
收费用，用[x]表示不大于 x 的最大整数，则图中○1 处应填（ ）
（A） 12[ ] 42y x
（B） 12[ ] 52y x
（C） 12[ ] 42y x
（D） 12[ ] 52y x
8. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E ， F 分别在边 AD ， BC 上，且 2DE AE ， 2CF BF .
如果对于常数 ，在正方形 ABCD 的四条边上，有且只有 6 个不同的点 P 使得 =PE PF 成立，那
么 的取值范围是（ ）
（A） (0,7)
（B）(4,7)
（C）(0,4)
（D） ( 5,16)
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
E F
D P C
A B
B O C
A
N
M
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9. 已知复数 z 满足 (1 i) 2 4iz ，那么 z ____.
10．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 若 A B ， 3a ， 2c ，则cosC ____.
11．双曲线 C：
2 2
116 4
x y 的渐近线方程为_____；设 1 2,F F 为双曲线 C 的左、右焦点，P 为 C 上一
点，且 1| | 4PF ，则 2| |PF ____.
12．如图，在 ABC 中， 90ABC ， 3AB ， 4BC ，点O 为 BC 的中点，
以 BC 为直径的半圆与 AC ， AO 分别相交于点 M ， N ，则
AN ____； AM
MC
____.
13. 现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴 趣 小 组
的带队教师至多 2 人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数
字作答）
14. 某食品的保鲜时间 t（单位：小时）与储藏温度 x（单位： C ）满足函数关系 6
0,
2
64,
, 0.kx
xt
x
≤
且
该食品在 4 C 的保鲜时间是 16 小时.
已知甲在某日上午 10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图
所示. 给出以下四个结论：
○1 该食品在6 C 的保鲜时间是 8 小时；
○2 当 [ 6,6]x 时，该食品的保鲜时间 t 随着 x 增大而逐渐减少；
○3 到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；
○4 到了此日 14 时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.
其中，所有正确结论的序号是____.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
已知函数 3( ) cos (sin 3cos ) 2f x x x x ， x R .
（Ⅰ）求 ( )f x 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）设 0 ，若函数 ( ) ( )g x f x 为奇函数，求 的最小值.
16．（本小题满分 13 分）
甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得
0 分. 两人 4 局的得分情况如下：
甲 6 6 9 9
乙 7 9 x y
（Ⅰ）若从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，求这 2 局的得分恰好相等的概率；
（Ⅱ）如果 7x y ，从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，记这 2 局的得分和为 X ，
求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x 的所有可能
取值.（结论不要求证明）
17．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， 135BCD ，侧面 PAB 底面 ABCD ，
90BAP , 2AB AC PA , ,E F 分别为 ,BC AD的中点，点 M 在线段 PD上.
（Ⅰ）求证： EF 平面 PAC ；
（Ⅱ）若 M 为 PD的中点，求证： //ME 平面 PAB ；
（Ⅲ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线
M E 与平面 ABCD 所成的角相等，求 PM
PD
的值.
18．（本小题满分 13 分）
F
C
A D
P
M
B E
已知函数 2( ) 1f x x ，函数 ( ) 2 lng x t x ，其中 1t ≤ ．
（Ⅰ）如果函数 ( )f x 与 ( )g x 在 1x 处的切线均为 l ，求切线 l 的方程及 t 的值；
（Ⅱ）如果曲线 ( )y f x 与 ( )y g x 有且仅有一个公共点，求 t 的取值范围．
19．（本小题满分 14 分）
已知椭圆 C: )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的离心率为
2
3 ，点 3(1, )2A 在椭圆 C 上.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设动直线l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 O 为圆心的圆，满足此
圆与 l 相交两点 1P ， 2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线 1OP ， 2OP 的斜率之积为定值？若存
在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分 13 分）
在数字 21,2, , ( )n n ≥ 的任意一个排列 A： 1 2, , , na a a 中，如果对于 , ,i j i j N ，有 i ja a ，
那么就称 ( , )i ja a 为一个逆序对. 记排列 A 中逆序对的个数为 ( )S A .
如 =4n 时，在排列 B：3, 2, 4, 1 中，逆序对有 (3,2) ，(3,1)， (2,1) ，(4,1) ，则 ( ) 4S B .
（Ⅰ）设排列 C：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出 ( )S C 的值；
（Ⅱ）对于数字 1，2，，n 的一切排列 A，求所有 ( )S A 的算术平均值；
（Ⅲ）如果把排列 A： 1 2, , , na a a 中两个数字 , ( )i ja a i j 交换位置，而其余数字的位置保持不变，
那么就得到一个新的排列 A： 1 2, , , nb b b ，求证： ( ) ( )S A S A 为奇数.
北京市西城区 2015 — 2016 学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2016.1
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1．A 2．C 3．B 4．B
5．B 6．C 7．D 8．C
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9． 1 3i 10． 7
9
11． 1
2y x 12 12． 13 2 9
16
13．54 14．○1 ○4
注：第 11，12 题第一问 2 分，第二问 3 分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解： 3( ) cos (sin 3cos ) 2f x x x x
23sin cos (2cos 1)2x x x
1 3sin 2 cos22 2x x ………………4 分
πsin(2 )3x ， ………………6 分
所以函数 ( )f x 的最小正周期 2π =π2T . ………………7 分
由 π π ππ 2 π+2 3 22 2xk k ≤ ≤ ， k Z ，
得 5π ππ π+12 12xk k ≤ ≤ ，
所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 5π ππ π+ ]12 12[k k , ， k Z . ………………9 分
（注：或者写成单调递增区间为 5π ππ π+ )12 12(k k , ， k Z . ）
（Ⅱ）解：由题意，得 π( ) ( ) sin(2 2 )3g x f x x ，
因为函数 ( )g x 为奇函数，且 x R ，
所以 (0) 0g ，即 πsin(2 ) 03
， ………………11 分
所以 π2 π3 k ， k Z ，
解得 π π
2 6
k ， k Z ，验证知其符合题意.
又因为 0 ，
所以 的最小值为 π
3 . ………………13 分
16．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：记 “从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局的得分恰好相等”为事件 A ，
………………1 分
由题意，得 2
4
2 1( ) C 3P A ，
所以从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局得分恰好相等的概率为 1
3 . ……4 分
（Ⅱ）解：由题意， X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5 分
且 3( 13) 8P X ， 1( 15) 8P X ， 3( 16) 8P X ， 1( 18) 8P X ，………………7 分
所以 X 的分布列为：
X 13 15 16 18
P 3
8
1
8
3
8
1
8
……………… 8 分
所以 3 1 3 1( ) 13 15 16 18 158 8 8 8E X . ………………10 分
（Ⅲ）解： x 的可能取值为6 ，7 ，8 . ………………13 分
17．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）证明：在平行四边形 ABCD中，因为 AB AC ， 135BCD ，
所以 AB AC .
由 ,E F 分别为 ,BC AD 的中点，得 //EF AB，
所以 EF AC . ………………1 分
因为侧面 PAB 底面 ABCD，且 90BAP ，
所以 PA 底面 ABCD. ………………2 分
又因为 EF 底面 ABCD，
所以 PA EF . ………………3 分
又因为 PA AC A ， PA 平面 PAC ， AC 平面 PAC ，
所以 EF 平面 PAC . ………………4 分
（Ⅱ）证明：因为 M 为 PD的中点， F 分别为 AD 的中点，
所以 //MF PA，
又因为 MF 平面 PAB， PA平面 PAB，
F
A D
P
M
z
所以 //MF 平面 PAB. ………………5 分
同理，得 //EF 平面 PAB.
又因为 =MF EF F ， MF 平面 MEF ， EF 平面 MEF ，
所以平面 //MEF 平面 PAB. ………………7 分
又因为 ME 平面 MEF ，
所以 //ME 平面 PAB. ………………9 分
（Ⅲ）解：因为 PA 底面 ABCD， AB AC ，所以 , ,AP AB AC 两两垂直，故以 , ,AB AC AP
分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴，如上图建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), ( 2,2,0), (1,1,0)A B C P D E ，
所以 (2,0, 2)PB ， ( 2,2, 2)PD ， ( 2,2,0)BC ， ………………10 分
设 ( [0,1])PM
PD
，则 ( 2 ,2 , 2 )PM ，
所以 ( 2 ,2 ,2 2 )M ， (1 2 ,1 2 ,2 2)ME ，
易得平面 ABCD的法向量 (0,0,1)m . ………………11 分
设平面 PBC 的法向量为 ( , , )x y zn ，
由 0BC
n ， 0PB
n ，得 2 2 0,
2 2 0,
x y
x z
令 1x , 得 (1,1,1)n . ………………12 分
因为直线 ME 与平面 PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD所成的角相等，
所以| cos , | | cos , |ME ME
m n ，即 | | | |
| | | | | | | |
ME ME
ME ME
m n
m n
， ………………13 分
所以 2| 2 2| | |
3
，
解得 3 3
2
，或 3 3
2
（舍）. ………………14 分
18.（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解：求导，得 ( ) 2f x x ， 2( ) tg x x
，( 0)x ． ………………2 分
由题意，得切线 l 的斜率 (1) (1)k f g ，即 2 2k t ，解得 1t ． ……………3 分
又切点坐标为(1,0) ，所以切线 l 的方程为 2 2 0x y ． ………………4 分
（Ⅱ）解：设函数 2( ) ( ) ( ) 1 2 lnh x f x g x x t x ， (0, )x ． ………………5 分
“曲线 ( )y f x 与 ( )y g x 有且仅有一个公共点”等价于“函数 ( )y h x 有且仅有一
个零点”．
求导，得
22 2 2( ) 2 t x th x x x x
. ………………6 分
① 当 0t≤ 时，
由 (0, )x ，得 ( ) 0h x ，所以 ( )h x 在(0, ) 单调递增．
又因为 (1) 0h ，所以 ( )y h x 有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8 分
② 当 1t 时，
当 x 变化时， ( )h x 与 ( )h x 的变化情况如下表所示：
x (0,1) 1 (1, )
( )h x 0
( )h x ↘ ↗
所以 ( )h x 在(0,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增，
所以当 1x 时， min( ) (1) 0h x h ，
故 ( )y h x 有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10 分
③ 当0 1t 时，
令 ( ) 0h x ，解得 x t ．
当 x 变化时， ( )h x 与 ( )h x 的变化情况如下表所示：
x (0, )t t ( , )t
( )h x 0
( )h x ↘ ↗
所以 ( )h x 在(0, )t 上单调递减，在( , )t 上单调递增，
所以当 x t 时， min( ) ( )h x h t ． ………………11 分
因为 (1) 0h ， 1t ，且 ( )h x 在( , )t 上单调递增，
所以 ( ) (1) 0h t h .
又因为存在 1
2e (0,1)t
， 1 1 1 1
2 2( ) 1 2 ln 0t t t th t
e e e e ，
所以存在 0 (0,1)x 使得 0( ) 0h x ，
所以函数 ( )y h x 存在两个零点 0x ，1，与题意不符.
综上，曲线 ( )y f x 与 ( )y g x 有且仅有一个公共点时，t 的范围是 0{ |t t≤ ，或 1}t .
………………13 分
19．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）解：由题意，得 3
2
c
a
， 2 2 2a b c ， ………………2 分
又因为点 3(1, )2A 在椭圆C 上，
所以 2 2
1 3 14a b
， ………………3 分
解得 2a ， 1b ， 3c ，
所以椭圆 C 的方程为 14
2
2
yx . ………………5 分
（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为 2 2 5x y . ………………6 分
证明如下：
假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 2 2 2 ( 0)x y r r .
当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 mkxy . ………………7 分
由方程组 2
2
,
1,4
y kx m
x y
得 0448)14( 222 mkm ， ………………8 分
因为直线 l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，
所以 2 2 2
1 (8 ) 4(4 1)(4 4) 0km k m ，即 2 24 1m k . ………………9 分
由方程组 2 2 2
,
,
y kx m
x y r
得 2 2 2 2( 1) 2 0k x kmx m r ， ………………10 分
则 2 2 2 2
2 (2 ) 4( 1)( ) 0km k m r .
设 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ，则 1 2 2
2
1
kmx x k
，
2 2
1 2 2 1
m rx x k
， ………………11 分
设直线 1OP ， 2OP 的斜率分别为 1k ， 2k ，
所以
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x mk k x x x x x x
2 2
2 2
2 2 22 2
2 2 2 2
2
2
1 1
1
m r kmk km m m r kk k
m r m r
k
， ………………12 分
将 2 24 1m k 代入上式，得
2 2
1 2 2 2
(4 ) 1
4 (1 )
r kk k k r
.
要使得 1 2k k 为定值，则
2
2
4 1
4 1
r
r
，即 2 5r ，验证符合题意.
所以当圆的方程为 2 2 5x y 时，圆与 l 的交点 1 2,P P 满足 1 2k k 为定值 1
4
.
………………13 分
当直线 l 的斜率不存在时，由题意知 l 的方程为 2x ，
此时，圆 2 2 5x y 与 l 的交点 1 2,P P 也满足 1 2
1
4k k .
综上，当圆的方程为 2 2 5x y 时，圆与 l 的交点 1 2,P P 满足斜率之积 1 2k k 为定值 1
4
.
………………14 分
20．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）解： ( ) 10S C ； ………………2 分
（Ⅱ）解：考察排列 D： 1 2 1, , , ,n nd d d d 与排列 1 1 2 1, , , ,n nD d d d d ： ，
因为数对( , )i jd d 与( , )j id d 中必有一个为逆序对（其中1 i j n≤ ≤ ），
且排列 D 中数对( , )i jd d 共有 2 ( 1)C 2n
n n 个， ………………3 分
所以 1
( 1)( ) ( ) 2
n nS D S D . ………………5 分
所以排列 D 与 1D 的逆序对的个数的算术平均值为 ( 1)
4
n n . ………………6 分
而对于数字 1，2， ，n 的任意一个排列 A： 1 2, , , na a a ，都可以构造排列 A1 ：
1 2 1, , , ,n na a a a ，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为 ( 1)
4
n n .
所以所有 ( )S A 的算术平均值为 ( 1)
4
n n . ………………7 分
（Ⅲ）证明：○1 当 1j i ，即 ,i ja a 相邻时，
不妨设 1i ia a ，则排列 A为 1 2 1 1 2, , , , , , , ,i i i i na a a a a a a ，
此时排列 A与排列 A： 1 2, , , na a a 相比，仅多了一个逆序对 1( , )i ia a ，
所以 ( ) ( ) 1S A S A ，
所以 ( ) ( ) 2 ( ) 1S A S A S A 为奇数. ………………10 分
○2 当 1j i ，即 ,i ja a 不相邻时，
假设 ,i ja a 之间有 m 个数字，记排列 A： 1 2 1 2, , , , , , , , , ,i m j na a a k k k a a ，
先将 ia 向右移动一个位置，得到排列 A1： 1 2 1 1 2, , , , , , , , , , , ,i i m j na a a k a k k a a ，
由○1 ，知 1( )S A 与 ( )S A 的奇偶性不同，
再将 ia 向右移动一个位置，得到排列 A2： 1 2 1 1 2 3, , , , , , , , , , , ,i i m j na a a k k a k k a a ，
由○1 ，知 2( )S A 与 1( )S A 的奇偶性不同，
以此类推， ia 共向右移动 m 次，得到排列 Am： 1 2 1 2, , , , , , , , , ,m i j na a k k k a a a ，
再将 ja 向左移动一个位置，得到排列 Am+1： 1 2 1 1, , , , , , , , , ,i m j i na a a k k a a a ，
以此类推， ja 共向左移动 m+1 次，得到排列 A2m+1： 1 2 1, , , , , , , , ,j m i na a a k k a a ，
即为排列 A，
由○1 ，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，
而排列 A 经过 2 1m 次的前后两数交换位置，可以得到排列 A，
所以排列 A 与排列 A的逆序数的奇偶性不同，
所以 ( ) ( )S A S A 为奇数.
综上，得 ( ) ( )S A S A 为奇数. ………………13 分
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