海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（文科）2016.1
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1. 复数 (1 i)(1 i)
A. 2 B.1 C. 1 D. 2
2. 已知数列{ }na 是公比为 2 的等比数列，且满足 4
3
2
0a aa
，则 4a 的值为
A. 2 B. 4 C.8 D.16
3. 如图, 正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AE AB AC ，
则 的值为
A. 1
2
B. 1
2
C. 1 D. 1
4 . 如图，在边长为 3 的正方形内有区域 A （阴影部分所示），张明同学用随
机模拟的方法求区域 A 的面积. 若每次在正方形内每次随机产生10000 个点,
并记录落在区域 A 内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域 A 内点的个
数平均值为 6600个，则区域 A 的面积约为
A. 5 B. 6 C. 7 D.8
5. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的 a 值为 1，则输出的 a 值为
A.1 B. 2 C. 3 D.5
6. 若点 (2, 3) 不在．．不等式组
0,
2 0,
1 0
x y
x y
ax y
表示的平面区域内，则实数 a 的取值
范围是
A. ( ,0) B. ( 1, ) C. (0, ) D. ( , 1)
7. 已知函数
, 1,
( ) πsin , 1,2
x x
f x
x x
则下列结论正确的是
A． 0 0 0, ( ) ( )x f x f x R B． , ( ) ( )x f x f x R
C．函数 ( )f x 在 π π[ , ]2 2
上单调递增 D．函数 ( )f x 的值域是[ 1,1]
8. 已知点 (5,0)A ，抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线 C 上，若点 F 恰好在 PA 的
垂直平分线上，则 PA 的长度为
A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 4
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9. 若lg lg 1a b ，则 ___.ab
10. 已知双曲线
2
2
2 1( 0)yx bb
的一条渐近线通过点 (1,2) , 则 ___,b
其离心率为 __.
11. 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为 ___.
12. 直线 l 经过点 ( ,0)A t ，且与曲线 2y x 相切，若直线 l 的倾斜角为 45 ，则
___.t
13. 已知圆 2 2( ) 4x a y 截直线 4y x 所得的弦的长度为为 2 2 ，则 __.a
14. 已知 ABC ，若存在 1 1 1A B C ，满足
1 1 1
cos cos cos 1sin sin sin
A B C
A B C
,则称 1 1 1A B C 是 ABC 的
一个“友好”三角形.
(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的
条件的序号）
① 90 , 60 , 30A B C ；② 75 , 60 , 45A B C ；
③ 75 , 75 , 30A B C .
(ii) 若 ABC 存在“友好”三角形，且 70A ，则另外两个角的度数分别为___.
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. （本小题满分 13 分）
等差数列{ }na 的首项 1 1a ，其前 n 项和为 nS ，且 3 5 4 7a a a .
（Ⅰ）求{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）求满足不等式 3 2n nS a 的 n 的值.
16.（本小题满分 13 分）
已知函数 ( ) 2cos (sin cos ) 1f x x x x .
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 ( )f x 在区间 π π[ , ]6 12
上的最大值与最小值的和.
17.（本小题满分 13 分）
为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度 t 满足：27 c 30 ct ）的生长状
况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区 10 月份
历年 10 月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位： c ）的记录如下：
(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.
(Ⅱ)设该地区今年 10 月上旬（10 月 1 日至 10 月 10 日）的最高温度的方差和最低温度的
方差分别为 1 2,D D ，估计 1 2,D D 的大小？（直接写出结论即可）.
(Ⅲ)从 10 月份 31 天中随机选择连续三天，求所选 3 天每天日平均最高温度值都．在
[27，30]之间的概率.
18.（本小题满分 14 分）
如图，四边形 ABCD 是菱形， PD 平面 ABCD ， PD BE ， 2 2AD PD BE ,
60DAB ，点 F 为 PA 的中点.
（Ⅰ）求证： EF 平面 ABCD ；
（Ⅱ）求证：平面 PAE 平面 PAD ；
（Ⅲ）求三棱锥 P ADE 的体积.
温
度
19.（本小题满分 13 分）
已知函数 1( ) ln , 0.f x k x kx
（Ⅰ）当 1k 时，求函数 ( )f x 单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于 x 的方程 ( )f x k 有解，求实数 k 的取值范围.
20.（本小题满分 14 分）
如图，椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yW a ba b
的离心率为 3
2
，其
左顶点 A在圆 2 2: 16O x y 上.
（Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）直线 AP 与椭圆W 的另一个交点为 P ，与圆O 的另一个
交点为Q .
（i）当 8 2| | 5AP 时，求直线 AP 的斜率；
（ii）是否存在直线 AP ，使得 | | 3| |
PQ
AP
? 若存在，求出直线 AP 的斜率；若不存在，
说明理由.
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案
数 学 （文科） 2016.1
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A B C B D D
二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
题号 9 10 11 12 13 14
答案 10 2 , 5 4 1
4
2 或 6 ②； 45 65 ，
说明： 第 1３题少写一个减３分，错的则不得分
第 14 题第一空 3 分，第二空 2 分，第二问少或错写的都不得分
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.
15．解：
（Ⅰ）设数列{ }na 的公差为 d . …………………………….1 分
因为 3 5 4 7a a a ，所以 1 12 6 3 7a d a d . ………………………….3 分
因为 1 1a ，所以 3 6d ，即 2d ,
…………………………….5 分
所以 1 ( 1) 2 1na a n d n .
…………………………….7 分
（Ⅱ）因为 1 1a ， 2 1na n ，所以 21
2
n
n
a aS n n , …………………………….9 分
所以 2 3(2 1) 2n n ，所以 2 6 5 0n n , …………………………….11 分
解得1 5n ，所以 n 的值为 2,3,4 . ……………………….13 分
16.解：
（Ⅰ）因为 ( ) 2cos (sin cos ) 1f x x x x
sin2 cos2x x …………………………….4 分
π2 sin(2 )4x …………………………….6 分
所以函数 ( )f x 的最小正周期 2π π| |T . …………………………….8 分
（Ⅱ）因为 π π[ , ]6 12x ，
所以 π π2 [ , ]3 6x ，所以 π π π(2 ) [ ]4 12 12x ， , ………………………….9 分
根据函数 ( ) sinf x x 的性质，
当 π π2 4 12x 时，函数 ( )f x 取得最小值 π2 sin( )12
， …………………….10 分
当 π π2 4 12x 时，函数 ( )f x 取得最大值 π2 sin12 . ………………………….11 分
因为 π π2 sin( ) 2 sin( ) 012 12
，
所 以 函 数 ( )f x 在 区 间 π π[ , ]6 12x 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 为
0 . …………………………….13 分
17．解：
（Ⅰ）农学家观察试验的起始日期为 7 日或 8 日. ……………………….3 分
（少写一个扣 1 分）
（Ⅱ）最高温度的方差大. …………………………….6 分
（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件 A， ……………………….7 分
则基本事件空间可以设为 {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),...,(29,20,31)} ，共计 29 个基本事件
…………………………….9 分
由图表可以看出，事件 A 中包含 10 个基本事件， ……………………….11 分
所以 10( ) 29P A ， …………………………….13 分
所选 3 天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为 10
29 .
18．解：
（Ⅰ）取 AD 中点 G ，连接 ,FG BG
因为点 F 为 PA 的中点，
所以 FG PD 且 1
2FG PD …………………………….1 分
又 BE PD ，且 1
2BE PD ，
所以 , ,BE FG BE FG
所以四边形 BGFE 为平行四边形. …………………………….2 分
所以 ,EF BG
又 EF 平面 ABCD ， BG 平面 ABCD , …………………………….3 分
所以 EF 平面 ABCD . …………………………….4 分
（Ⅱ）连接 BD .
因为四边形 ABCD 为菱形， =60DAB ，所以 ABD 为等边三角形.
因为 G 为 AD 中点，所以 BG AD ， …………………………….6 分
又因为 PD 平面 ABCD ，BG 平面 ABCD ，所以 PD BG ， ………………………….7 分
又 PD AD D ， ,PD AD 平面 PAD ， …………………………….8 分
所以 BG 平面 PAD . …………………………….9 分
又 ,EF BG 所以 EF 平面 PAD ，
又 EF 平面 PAE ，所以平面 PAE 平面 PAD . …………………………….10 分
法二：因为四边形 ABCD 为菱形， =60DAB ，所以 ABD 为等边三角形.
因为 G 为 AD 中点，所以 BG AD ， …………………………….6 分
又因为 PD 平面 ABCD ， PD 平面 PAD ，
所以平面 PAD 平面 ABCD ， …………………………….7 分
又平面 PAD ABCD AD 平面 ， BG 平面 ABCD , ………………………….8 分
所以 BG 平面 PAD . …………………………….9 分
又 ,EF BG 所以 EF 平面 PAD ，
又 EF 平面 PAE ，所以平面 PAE 平面 PAD . ………………………….10 分
（Ⅲ）因为 1 22PADS PD AD ， …………………………….12 分
3EF BG , 所以 1 2 3
3 3P ADE PADV S EF . …………………………….14 分
19．解：（Ⅰ）函数 1( ) lnf x k xx
的定义域为 (0 ) ， . …………………………….1 分
2
1'( ) kf x x x
. …………………………….3 分
当 1k 时， 2 2
1 1 1'( ) xf x x x x
,
令 '( ) 0f x ，得 1x ， …………………………….4 分
所以 '( ), ( )f x f x 随 x 的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1, )
'( )f x 0
( )f x 极小值
…………………………….6 分
所以 ( )f x 在 1x 处取得极小值 (1) 1f , 无极大值. ………………….7 分
( )f x 的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为 (1, ) . ……………….8 分
（Ⅱ）因为关于 x 的方程 ( )f x k 有解,
令 ( ) ( )g x f x k ，则问题等价于函数 ( )g x 存在零点, …………………….9 分
所以 2 2
1 1'( ) k kxg x x x x
. …………………………….10 分
令 '( ) 0g x ，得 1x k
.
当 0k 时， '( ) 0g x 对(0, ) 成立，函数 ( )g x 在 (0, ) 上单调递减，
而 (1) 1 0g k ，
11
1 11 1
1 1 1 1( ) (1 ) 1 1 0ee e
k
k k
g e k kk
，
所以函数 ( )g x 存在零点. …………………………….11 分
当 0k 时， '( ), ( )g x g x 随 x 的变化情况如下表：
x 1(0, )k
1
k
1( , )k
'( )g x 0 +
( )g x ↘ 极小值 ↗
所以 1 1( ) ln lng k k k k kk k
为函数 ( )g x 的最小值,
当 1( ) 0g k
时，即 0 1k 时，函数 ( )g x 没有零点,
当 1( ) 0g k
时，即 1k 时，注意到 1( ) 0g k k e e , 所以函数 ( )g x 存在零点.
综上，当 0k 或 1k 时，关于 x 的方程 ( )f x k 有解. ………………….13 分
法二：
因为关于 x 的方程 ( )f x k 有解，
所以问题等价于方程1 (ln 1) 0kx x 有解， ………………………….9 分
令 g( ) (ln 1) 1x kx x ，所以 '( ) lng x k x , ………………………….10 分
令 '( ) 0g x ，得 1x
当 0k 时， '( ), ( )g x g x 随 x 的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1, )
'( )g x 0
( )g x ↗ 极大值 ↘
所以函数 g( )x 在 1x 处取得最大值，而 g(1) ( 1) 1 0k .
1 1 11 1 11(e ) 1 e (1 1) 1 e 0k k kg k k
，
所以函数 ( )g x 存在零点. …………………………….11 分
当 0k 时， '( ), ( )g x g x 随 x 的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1, )
'( )g x 0
( )g x ↘ 极小值 ↗
所以函数 g( )x 在 1x 处取得最小值，而 g(1) ( 1) 1 1k k .
当 g(1) ( 1) 1 1 0k k 时，即 0 1k 时，函数 ( )g x 不存在零点.
当 g(1) ( 1) 1 1 0k k ，即 1k 时， g(e) e(lne 1) 1 1 0k
所以函数 ( )g x 存在零点. …………………………….13 分
综上，当 0k 或 1k 时，关于 x 的方程 ( )f x k 有解.
法三：因为关于 x 的方程 ( )f x k 有解，
所以问题等价于方程 1 (1 ln )x xk
有解， …………………………….9 分
设函数 ( ) (1 ln )g x x x ，所以 '( ) lng x x . …………………………….10 分
令 '( ) 0g x ，得 1x ，
'( ), ( )g x g x 随 x 的变化情况如下表：
x (0,1) 1 (1, )
'( )g x 0
( )g x ↗ 极大值 ↘
所以函数 g( )x 在 1x 处取得最大值，而 g(1) 1 ， …………………….11 分
又当 1x 时，1 ln 0x , 所以 (1 ln ) 1 lnx x x ,
所以函数 g( )x 的值域为 ( ,1] , …………………………….12 分
所以当 1 ( ,1]k
时，关于 x 的方程 ( )f x k 有解，
所以 ( ,0) [1, )k . …………………………….13 分
20. 解：（Ⅰ）
因为椭圆W 的左顶点 A在圆 2 2: 16O x y 上，所以 4a . ………………………….1 分
又离心率为 3
2
，所以 3e 2
c
a
，所以 2 3c , ………………………….2 分
所以 2 2 2 4b a c , …………………………….3 分
所以W 的方程为
2 2
116 4
x y . …………………………….4 分
（Ⅱ）（i）
法一：设点 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，显然直线 AP 存在斜率，
设直线 AP 的方程为 ( 4)y k x ， ………………………….5 分
与椭圆方程联立得 2 2
( 4)
116 4
y k x
x y
,
化简得到 2 2 2 2(1 4 ) 32 64 16 0k x k x k ， ………………………….6 分
因 为 4 为 上 面 方 程 的 一 个 根 ， 所 以
2
1 2
32( 4) 1 4
kx k
， 所 以
2
1 2
4 16
1 4
kx k
.…………………………….7 分
由 2
1
8 2| | 1 | ( 4) | 5AP k x ， …………………………….8 分
代入得到
2
2
8 1 8 2| | 1 4 5
kAP k
，解得 1k , ……………………….9 分
所以直线 AP 的斜率为1, 1 .
（ii）因为圆心到直线 AP 的距离为 2
| 4 |
1
kd
k
， …….10 分
所以 2
2 2
16 8| | 2 16 2 1 1
AQ d k k
. …………………………….11 分
因为 | | | | | | | | 1| | | | | |
PQ AQ AP AQ
AP AP AP
， …………………………….12 分
代入得到
2 22
2 2 22
2
8
| | 1 4 3 31 1 1 3| | 1 1 18 1
1 4
PQ k kk
AP k k kk
k
. …………………………….13 分
显然 2
33 31 k
，所以不存在直线 AP ，使得 | | 3| |
PQ
AP
. …………….14 分
法二：（i）设点 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，显然直线 AP 存在斜率且不为 0 ，
设直线 AP 的方程为 4x my ， ………………………….5 分
与椭圆方程联立得 2 2
4
116 4
x my
x y
,
化简得到 2 2( 4) 8 0m y my , …………………………….6 分
显 然 4 上 面 方 程 的 一 个 根 ， 所 以 另 一 个 根 ， 即
1 2
8
4
my m
, …………………………….7 分
由 2
1
8 2| | 1 | 0 | 5AP m y ， …………………………….8 分
代入得到 2
2
8 | | 8 2| | 1 4 5
mAP m m
，解得 1m . ……………………….9 分
所以直线 AP 的斜率为1, 1
（ii）因为圆心到直线 AP 的距离为 2
| 4 |
1
d
m
， …………………………….10 分
所以
2
2
2 2
16 8 | || | 2 16 2 1 1
m mAQ d m m
. …………………………….11 分
因为 | | | | | | | | 1| | | | | |
PQ AQ AP AQ
AP AP AP
， …………………………….12 分
代入得到
22
2 22
2
8 | |
| | 4 31 1 18 | || | 1 11 4
m
PQ mm
mAP m mm m
. …………………………….13 分
若 2
3 31 m
，则 0m ，与直线 AP 存在斜率矛盾，
所以不存在直线 AP ，使得 | | 3| |
PQ
AP
. …………………………….14 分
微信/支付宝扫码支付