2016丰台区高三数学（文）期末试题及答案

丰台区 2015—2016 学年度第一学期期末练习 2016.01 高三数学（文科） 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 1.函数 0.5( ) log ( 1)f x x  的定义域为 （A） ( 1, )  （B） (1, ) （C） (0, ) （D） ( , 0) 2.在复平面内，复数 (1 i)(2 i)z    对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3．“ 1x  ”是“ 2 1 0x   ”的 （A）充分必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件 4.已知向量 (3, -4)a   ， ( , )b x y  ，若 a  // b  ，则 （A）3 4 0x y  （B）3 4 0x y  （C）4 3 0x y  （D）4 3 0x y  5.已知圆 O： 2 2 1x y  ，直线 l过点（-2，0），若直线 l上任意一点到圆心距离 的最小值等于圆的半径，则直线 l的斜率为 （A） 3 3  （B） 3 （C） 2 （D） 1 6. 函数 ( )=sin2 cos 2f x x x 的一个单调递增区间是 （A） 3[ , ] 4 4    （B） 3[ , ] 4 4    （C） 3[ , ] 8 8    （D） 3[ , ] 8 8    7.如图，在圆 2 2 4x y  上任取一点 P，过点 P作 x轴的 垂线段 PD，D为垂足.当点 P在圆上运动时，线段 PD 的中点M 的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是 （A） 1 2 （B） 1 4 （C） 2 2 （D） 3 2 8. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年 1月 1日至 12 月 31 日)为周期执行居民阶 梯电价，即：一户居民用户全年不超过 2880 度（1度=千瓦时）的电量，执行 第一档电价标准，每度电 0.4883 元；全年超过 2880 度至 4800 度之间的电量， 执行第二档电价标准，每度电 0.5383 元；全年超过 4800 度以上的电量，执行 第三档电价标准，每度电 0.7883 元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正 确的有 1 ② ③ 参考数据：0.4883元/度2880度=1406.30元， 0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元. (A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③ 第二部分 （非选择题共 110 分） 二、填空题共 6小题，每小题 5分，共 30 分。 9.设等差数列{ }na 的前n项和为 nS ，若 9 =72S ,则 2 4 9+ +a a a =______ . 10.已知实数 ,x y满足 1, 3, 4, y x x x y        则 2z x y  的最大值是_____ . 11.已知下列函数：① 3( )f x x x  ；② ( ) cos 2f x x ；③ ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x    ， 其中奇函数有_________个. 12.下图是计算 1 1 11+ + + + 2 3 2016  的程序框图，判断框内的条件是_______. 13.已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是_______. 14.已知函数 2 2 ( 1), ( ) log ( )( 1). x a x f x x a x        ( 1)a   .①当 0a  时，若 ( ) 0f x  ，则 x  _______；②若 ( )f x 是 ( , )  上的增函数，则 a的取值范围是___________. 三、解答题共 6小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题 13 分） 如图，在 ABC 中，点D在BC边上， AD AC ， 6cos 3 B  ， 3 2AB  ， 3BD  . （Ⅰ）求 ABD 的面积； （Ⅱ）求线段DC的长. 16.（本小题 13 分） 倡导全民阅读是传承文明、更新知识、提高民族素质的基本途径.某调查公司 随机调查了 1000 位成年人一周的平均阅读时间（单位：小时），他们的阅读时间 都在[0,20]内，将调查结果按如下方式分成五组：第一组[0,4)，第二组[4,8)，第 三组 [8,12)，第四组[12,16) ，第五组[16,20]，并绘制了频率分布直方图，如图. 假设每周平均阅读时间不少于 12 小时的人，称为“阅读达人”. （Ⅰ）求这 1000 人中“阅读达人”的人数； （Ⅱ）从阅读时间为[8,20]的成年人中按分层抽样抽 取 9人做个性研究.从这 9人中随机抽取 2人，求这 2人都不是“阅读达人”的概率. 17.（本小题 14 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是边长为 4 的菱形， 4PD PB  ， 060BAD  ， E为 PA中点. （Ⅰ）求证： //PC 平面 EBD； （Ⅱ）求证：平面 EBD 平面 PAC； （Ⅲ）若PA PC ，求三棱锥C ABE 的体积. 18.（本小题 13 分） 设数列 na 的前 n项和为 nS ，满足 1=1a ， 12 1n nS a   . （I）求 2 3,a a 的值； （II）求数列 na 的通项公式,并求数列 2 1na n  的前 n项和 nT . 19.（本小题 14 分） 已知点 F 为抛物线 C: 2 2 ( 0)y px p  的焦点，过点 F 的动直线 l与抛物线 C交 于M ,N两点，如图.当直线 l与 x轴垂直时，| | 4MN  . （Ⅰ）求抛物线 C的方程； （Ⅱ）已知点 ( 1,0)P  ,设直线 PM的斜率为 1k ，直线 PN 的斜率为 2k .请判断 1 2k k 是否为定值，若是，写 出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由. 20.（本小题 13 分） 设函数 3 2( )f x x ax bx   的图象与直线 3 8y x   相切于点 (2,2)P ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的解析式； （Ⅱ）求函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅲ）设函数 3 21 1 1( ) ( 1) 3 2 3 mg x x x mx m      ，对于  1 0,4x  ,   2 0,4x  ，使得 1 2( ) ( )f x g x ，求实数m的取值范围. 丰台区 2015-2016 年第一学期期末练习 高三数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C A D D B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． 24 10．5 11．2 12． 2016n  13. 4 3 3 14. 1， 1, 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程． 15.（本小题 13分） 解（Ⅰ）∵ 6cos 3 B  ，且0 B   ， ∴0 2 B    ． 又∵ 2 2sin cos 1B B  ， ∴ 3sin 3 B   ．∴ 3sin 3 B  ． ∵ 3 2AB  , 3BD  ， ∴ 1 sin 2ABDS AB BD B   1 33 2 3 2 3     3 2 2  ．………………………………………………………5分 （Ⅱ） ∵ 2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD B    ， 且 3 2AB  , 3BD  ， 6cos 3 B  ， ∴ 2 618 3 2 3 2 3 9 3 AD        ， ∴ 3AD  ． 又∵ 2 2 2 3 9 18 3 2 32 3 3 BD AD ABcos ADB BD AD             ， ∴ 3 3 cos ADC  ． 又∵在 tR DAC 中, 090DAC  , ∴ ADcos ADC DC   ,即 3 3 3 DC  , ∴ 3 3DC  ． ………………………………………………………13 分 16.（本小题 13分） 解（Ⅰ）由题知“每周平均阅读时间不少于 12 小时的人，称为‘阅读达人’”. 由频率分布直方图知，事件 A：“是阅读达人”的频率为0.10 4 0.02 4 0.48    ∴这 1000 人中“阅读达人”的人数为：1000 0.48 480  ．……………5分 （Ⅱ）按照分层抽样抽取 9人做个性研究，则从小组[8,12)，[12,16) ，[16,20] 分别抽取的人数为：3，5，1， 分别标记为 1 2 3, ,a a a ， 1 2 3 4 5, , , ,b b b b b ， c． 从 9人中随机抽取 2人，共有 36n  种，结果如下： 设事件B：“这 2人都不是‘阅读达人’”, 事件B共有 3m  种， 结果如下： 1 2a a ， 1 3a a ， 2 3a a 所以 3 1( ) 36 12 mP B n    ．……………………………………………………13 分 17.（本小题 14分） 解（Ⅰ）设 AC BD O ，连结 EO， ∵ E为 PA中点，O为 AC中点， ∴ EO∥ PC． 又∵ EO 平面 EBD， PC 平面 EBD， ∴ PC∥平面 EBD． …………5分 （Ⅱ）连结 PO， ∵ PD PB ,O为 BD中点， ∴ PO BD ． 又∵底面 ABCD为菱形， ∴ AC BD . ∵ PO AC O , ∴ BD 平面 PAC . 又∵ BD 平面 EBD , ∴平面 EBD 平面 PAC .……………10 分 （Ⅲ） C ABE E ABCV V  ………12 分 1 1 3 2 2 POAC OB     1 4 3 2 3 4 6      ． ……………14 分 18. (本小题 13分) 解：（Ⅰ） ∵ 12 1n nS a   ， ∴ 1 22 1a a  ． 又∵ 1=1a ， ∴ 2 3a  ． ∵ 12 1n nS a   ， ∴ 2 32 1S a  ，即 1 2 32( ) 1a a a   ， ∴ 3 9a  ． ……………………………………………………4分 （Ⅱ） ∵ 12 1n nS a   ， ∴当 2n  时， 12 1n nS a   ， ∴ 12 n n na a a  ，即 1 3n na a  ， ∴ 1 =3 ( 2) n n a n a   ． 由 1 21, 3a a  ，得 2 1 3a a  ， ∴ na 是以 1为首项，3 为公比的等比数列． ∴ 1 *3 ( )n na n  ， ……………………………………………10 分 ∴ 0 1 2 13 1 3 3 3 5 3 2 1n nT n          0 1 2 1 =(3 +3 +3 + 3 )+(1+3+5+ +2 1)n n   21 3 (1 2 1) 3 1= 1 3 2 2 n nn n n        23 1 2 n n   ． …………………………………………………13 分 19.（本小题 14分） 解（Ⅰ）∵ F 为抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点， ∴ ( ,0) 2 pF ．…………1分 又∵ l与 x轴垂直，且 4MN  ， ∴ ( , 2) 2 pM ．…………2分 又∵点M 在抛物线上， ∴ 24 2 2 pp p   ， ∴ 2p  ， ∴求抛物线 C的方程为 2 4y x ．……………5分 （Ⅱ）结论： 1 2 0k k  ，为定值． 设直线 l与抛物线交于不同两点 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ， ①当直线 l斜率不存在时，知直线 PM 与 PN 关于 x轴对称， ∴ 1 2 0k k  ． ②当直线 l斜率存在时，直线 l的方程设为 ( 1)y k x  ， 联立 2 ( 1) 4 y k x y x     ，得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    ， ∴ 2 1 2 2 2 4kx x k    ， 1 2 1x x  ． 又∵ 1 1 1 1 yk x   ， 2 2 2 1 yk x   ， 且 1 1( 1)y k x  ， 2 2( 1)y k x  ， ∴ 1 2 1 2 1 21 1 y yk k x x      1 2 2 1 1 2 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) y x y x x x       1 2 2 1 1 2 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) k x x k x x x x         1 2 1 2 1 2 2 ( 1) ( ) 1 k x x x x x x      ． ∵ 1 2 1x x  ， ∴ 1 2 0k k  ． 综上所述 1 2 0k k  ． ……………………14 分 20.（本小题 13分） 解（Ⅰ）∵函数 3 2( )f x x ax bx   的图象与直线 3 8y x   相切于点 (2,2)P ， ∴ '(2) 3f   ， (2) 2f  ． ∵ 2'( ) 3 2f x x ax b   ， ∴ 2 8 4 2 2 3 2 2 2 3 a b a b           解得 6 9 a b     ． ∴ 3 2( ) 6 9f x x x x   ． ……………………4分 （Ⅱ） 2'( ) 3 12 9 3( 1)( 3)f x x x x x      ， 令 '( ) 0f x  ，得 1x  或 3x  ； 令 '( ) 0f x  ，得1 3x  ． ∴ ( )f x 的单调递增区间为 ( ,1) ， (3, ) ；单调递减区间为 (1,3)． …8分 （Ⅲ）记 ( )f x 在 0,4 上的值域为 A , ( )g x 在 0,4 上的值域为 B， ∵对于  1 0,4x  ，  2 0,4x  ，使得 1 2( ) ( )f x g x ， ∴ A B ． 由（Ⅱ）得： ( )f x 在 0,1 上单调递增，在 (1,3)上单调递减，在 3,4 上单调递增， (0) 0f  ， (1) 4f  ， (3) 0f  ， (4) 4f  ， ∴  0,4A  ． ∵ 3 21 1 1( ) ( 1) 3 2 3 mg x x x mx m      ， ∴ 2'( ) ( 1) ( 1)( )g x x m x m x x m       ． 1 当1 4m  时， ( )g x 在  0,1 上单调递增，在  1,m 上单调递减，在  , 4m 上单 调递增， ∴ ( )g x 的最小值为 (0)g 或 ( )g m ， ( )g x 的最大值为 (1)g 或 (4)g ． ∵ 1(0) 0 3 g    ，且 A B ， ∴ (1) 4g  或 (4) 4g  ， ∴ 1 1(1) 4 2 2 g m   或 (4) 4 13 4g m    ， 即 9m  或 9 4 m  ． 又∵1 4m  ， ∴ 91 4 m  ． 2 当 4m  时， ( )g x 在 0,1 上单调递增， 1,4 上单调递减， ∴ ( )g x 的最小值为 (0)g 或 (4)g ， ( )g x 的最大值为 (1)g ． ∵ 1(0) 0 3 g    ，且 A B ， ∴ (1) 4g  ， ∴ 1 1 4 2 2 m  ，即 9m  ． 综上所述： 91 4 m  或 9m  ． ……………………13 分