2016丰台区高三数学（理）期末试题及答案

丰台区 2015—2016 学年度第一学期期末练习 2016.01 高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1. 复数(1 i)(1 i)a  是实数，则实数 a 等于 （A）2 （B）1 （C）0 （D）-1 2.“ 2 0x  ”是“ 0x  ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 3.已知数列{ }na 中， 1 1 11, 1n n a a a   ，若利用下 面程序框图计算该数列的第 2016 项，则判断 框内的条件是 （A） 2014n （B） 2016n  （C） 2015n （D） 2017n  4.若点 P 为曲线 1 cos 1 sin x y        （ 为参数）上一点，则点 P 与坐标原点的最短距离为 （A） 2 1 （B） 2+1 （C） 2 （D）2 5.函数 ( )=sin2 + 3cos2f x x x 在区间[0, ] 上的零点之和是 （A） 2 3  （B） 7 12  （C） 7 6  （D） 4 3  6. 若 2 1 2xa dx  ， 2 1 b xdx  ， 2 21 logc xdx  ，则 , ,a b c 的大小关系是 （A）c b a  （B）b c a  （C）c a b  （D） a b c  7. 若 F（c,0）为椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点，椭圆 C 与直线 1x y a b   交于 A,B 两点，线段 AB 的中点在直线 x c 上，则椭圆的离心率为 （A） 3 2 （B） 1 2 （C） 2 2 （D） 3 3 8.在下列命题中： ①存在一个平面与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的 6 个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的 6 个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9.在 71)x （2 的展开式中， 2x 的系数等于_____.（用数字作答） 10.若 ,x y 的满足 3 0, 3 0, 1. x y x y x          则 2z x y  的最小值为 . 11.设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 7 =42S ,则 2 3 7a a a  = . 12.在 ABC 中， 3,1  BCAC ,点 ,M N 是线段 AB 上的动点，则CM CN  的最大值为 _______. 13. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 . 14.设函数 ( 1),( ) ln( )( 1). x a xf x x a x       e 其中 1a   . ①当 0a  时，若 ( ) 0f x  ，则 x  __________； ②若 ( )f x 在 ），（ - 上是单调递增函数，则 a 的取值范围 ________. 二、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题 13 分） 如图，在 ABC 中， =12AB ， =3 6AC ， =5 6BC ，点 D 在边 BC 上，且 60OADC  . （Ⅰ）求cosC ； （Ⅱ）求线段 AD 的长. 16.（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，E 是 AB 的中点，AB=AD=PA=PB=2， BC=1，PC= 5 . （Ⅰ）求证：CF∥平面 PAB； （Ⅱ）求证：PE⊥平面 ABCD； (Ⅲ)求二面角 B-PA-C 的余弦值. 17.（本小题 14 分） 随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业 园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的 10 位员工中，有 3 人 是志愿者. （Ⅰ）在这 10 人中随机抽取 4 人填写调查问卷，求这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概 率 1P ； （Ⅱ）已知该创业园区有 1 万多名员工，从中随机调查 1 人是志愿者的概率为 3 10 ， 那么在该创业园区随机调查 4 人，求其中恰有 1 人是志愿者的概率 2P ； （Ⅲ）该创业园区的 A 团队有 100 位员工，其中有 30 人是志愿者. 若在 A 团队随机调 查 4 人，则其中恰好有 1 人是志愿者的概率为 3P . 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的 1P 和 2P 的值，写出 1P ， 2P ， 3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）. 18.（本小题 13 分） 已知函数 3 21( ) ( 0)3f x ax x a   . （Ⅰ）求函数 ( )y f x 的极值； （Ⅱ）若存在实数 0 ( 1,0)x   ，且 0 1 2x   ，使得 0 1( ) ( )2f x f  ，求实数 a 的取值范围. 19.（本小题 13 分） 已知定点 (1,0)M 和直线 1x   上的动点 ( 1, )N t ，线段 MN 的垂直平分线交直线 y t 于点 R ，设点 R 的轨迹为曲线 E . （Ⅰ）求曲线 E 的方程； （Ⅱ）直线 ( 0)y kx b k   交 x 轴于点C ，交曲线 E 于不同的两点 ,A B ，点 B 关于 x 轴 的对称点为点 P.点C 关于 y 轴的对称点为Q ，求证：A，P，Q 三点共线. 20.（本小题 13 分） 已知数列{ }na 的各项均为正数，满足 1 1a  ， 1k k ia a a   . , 1,2,i k k （ 3, , 1)n  （Ⅰ）求证： 1 1 1,2,3, , 1)k ka a k n    （ ； （Ⅱ）若{ }na 是等比数列，求数列{ }na 的通项公式； （Ⅲ）设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，求证： 12)1(2 1  n nSnn . 丰台区 2015-2016 年第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C A B D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 9．-84 10．-2 11. 18 12. 3 13． 16 3 14．1 ,  1,e   三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．(本小题共 13 分) 解：（Ⅰ）根据余弦定理： 2 2 2 cos 2 AC BC ABC AC BC    2 2 2(3 6) (5 6) 12 1 32 3 6 5 6      ………6 分 （Ⅱ）因为 0 C   ，所以 sin 0C  2 21 2 2sin 1 cos 1 ( )3 3C C     根据正弦定理得： sin sin AD AC C ADC   sin sin AC CAD ADC   8 …………………………13 分 16．(本小题共 14 分) 解：（Ⅰ）取 AP 的中点 M ，连接 ,MF MB ， 因为 M 是 AP 中点， F 是 PD 中点， 所以 1, 2MF AD MF AD ， 又因为 1, 2BC AD BC AD ， 所以四边形 BCFM 是平行四变形 ,FC BM FC  面 ABP ， BM  面 ABP 所以 FC  面 ABP …………………………5 分 （Ⅱ）连接 CE ， 因为在 ABP 中， AB AP BP  ，点 E 是边 AB 在的中点， 所以 PE AB 且 2 22 1 3PE    ， 在 Rt BEC 中， 1BE EC  ， EB BC ，所以 2EC  在 PEC 中， 3PE  ， 2EC  ， 5PC  ， 所以 PE EC 又因为 ,AB EC E AB  面 ABCD ， EC  面 ABCD 所以 PE  面 ABCD …………………………9 分 （Ⅲ）取 CD 中点 N ，以 EB ， EN ， EP 分别为轴 x ， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，各点坐标 为： (1,0,0)B ， (1,1,0)C ， (1,0,0)B ， (0,0, 3)P ， ( 1,0,0)A  因为： BC PE ， AB BC 所以 BC  面 ABP 面 ABP 的法向量为 (0,1,0)BC  设面 ABP 的法向量为 2 0 0 0( , , )n x y z (1,0, 3)AP  ， (2,1,0)AC  2 0 0 0 02 0 3 0 2 00 AP n x z x yAC n                 2 3(1, 2, )3n    由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为 1 2 1 2 3cos | || | | | 2 n n n n    二面角 B PA C  余弦值为： 1 2 1 2 3cos | || | | | 2 n n n n    ………………………14 分 17．(本小题共 14 分) 解：（Ⅰ） 1 3 3 7 1 4 10 1 2 C CP C   所以这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概率为 1 2 …………………………5 分 （Ⅱ） 1 1 3 2 4 3 7( ) ( ) 0.411610 10P C   所以这 4 人中恰好有 1 人是志愿者的概率为 1 2 …………………………10 分 （Ⅲ） 1 3 2P P P  …………………………14 分 18．(本小题共 13 分) 解：（Ⅰ） / 2( ) 2f x ax x  ， 令 / ( ) 0f x  得 2 0x  ， 3 2x a   . x 2( , )a   2 a  2( ,0)a  0 (0, ) / ( )f x + 0 _ 0 + ( )f x  极大值  极小值  ∴函数 ( )y f x 的极大值为 3 2 2 2 1 2 2 4( ) ( ) ( )3 3f aa a a a        ； 极小值为 (0) 0f  . …………………………8 分 (Ⅱ) 若存在 0 1 1( 1, ) ( ,0)2 2x     ，使得 0 1( ) ( )2f x f  ，则 由（Ⅰ）可知，需要 2 1 2 2 1, 1( 1) ( )2 a a f f            （如图 1）或 3 1 2 2a a      （如图 2）. （图 1） （图 2） 于是可得 18( ,4) (4,6)7a  . …………………………13 分 19．(本小题共 13 分) （Ⅰ）有题意可知： RN RM ，即点 R 到直线 1x   和点 M 的距离相等. 根据抛物线的定义可知： R 的轨迹为抛物线，其中 M 为焦点. 设 R 的轨迹方程为： 2 2y px ， 12 p  ， 2p  所以 R 的轨迹方程为： 2 4y x . …………………………5 分 （Ⅱ）由条件可知 ( ,0)bC k  ，则 ( ,0)bQ k . 联立 2 4 y kx b y x     ,消去 y 得 2 2 2(2 4) 0k x bk x b    ， 2 2 2(2 4) 4 16(1 ) 0bk b k bk       . 设 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( )A x y B x y x x ，则 2 2( , )P x y 1 2 2 4 2bkx x k   ， 1 2 4 2 4 1 2 bk bkx k    ， 2 2 4 2 4 1 2 bk bkx k    . 因为 1 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 8 1 1 2 AP y y k x x b kk x x bk bk k          ， 1 1 1 1 0 ( ) 2(1 1 ) 2 2[(1 ) 1 ] 1 2 AQ y k kx b bk kk b kx b bk bk bkx k k             所以 AP AQk k , , ,A P Q 三点共线 . …………………………13 分 20. （本小题共 13 分） （Ⅰ）证明：因为 1 , 1,2,3, , 1)k k ia a a i k k n      0（ ， 所以数列{ }na 是递增数列，即 2 31 na a a    . 又因为 1 1 , 1,2,3, , 1)k k ia a a i k k n      （ ， 所以 1 1 1,2,3, , 1)k ka a k n    （ . …………………………3 分 （Ⅱ）解：因为 2 1 1a a a  ，所以 2 12a a ； 因为{ }na 是等比数列，所以数列{ }na 的公比为 2. 因为 1 , 1,2,3, , 1)k k ia a a i k k n     （ ，所以当 =i k 时有 1=2k ka a . 这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列. 所以 12n na  . …………………………8 分 （Ⅲ）证明：因为 11= 1a  ， 22= 2a  ， 2 33 2a  ， 3 44 2a  … 12n nn a   由上面 n 个式子相加，得到： 0 1 2 1 1 2 3+2+3+ + 2 +2 +2 + +2n nn a a a a        1 ， 化简得 1 2 3 1) ) (2 1)2 n n n n a a a a        （ （ 所以 12)1(2 1  n nSnn . ………13 分